Endliche Gruppe

Eine endliche Gruppe tritt in der mathematischen Disziplin der Gruppentheorie auf. Endliche Gruppen sind Gruppen, deren Trägermenge M eine endliche Anzahl von Elementen enthält.

Axiome

Die Annahme der Endlichkeit ermöglicht ein vereinfachtes Axiomensystem (siehe van der Waerden S. 15–17):

Ein Paar $(G,\circ )$ mit einer endlichen Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung $\circ \,\colon \,G\times G\rightarrow G$ heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

• Assoziativität: Für alle Gruppenelemente $a$, $b$ und $c$ gilt: $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

• Eindeutigkeit der Kürzung: Aus $a\circ x=a\circ x'$ wie auch aus $x\circ a=x'\circ a$ folgt: $x=x'$.

Aus der Eindeutigkeit der Kürzung folgt, dass die Links- und Rechtsmultiplikationen $x\mapsto a\circ x$ und $x\mapsto x\circ a$ injektiv sind, woraus wegen der Endlichkeit auch die Surjektivität folgt. Daher gibt es ein $x$ mit $a\circ x=a$, was zur Existenz des neutralen Elementes $e$ führt, und dann ein $x$ mit $a\circ x=e$, was die Existenz der inversen Elemente zeigt.

Einfache Gruppen

Jede endliche Gruppe ist zusammengesetzt aus einer endlichen Anzahl von endlichen einfachen Gruppen. Allerdings kann diese Zusammensetzung kompliziert sein, und trotz der Kenntnis der Bausteine (der einfachen Gruppen) ist man noch weit davon entfernt, alle endlichen Gruppen zu kennen.

Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert:

• Fast alle dieser Gruppen lassen sich einer von 18 Familien endlicher einfacher Gruppen zuordnen.
• Es existieren 26 Ausnahmen – diese Gruppen werden als sporadische Gruppen bezeichnet.

Beispiele

Endliche Gruppen sind etwa die zyklischen Gruppen oder die Permutationsgruppen (siehe: Symmetrische Gruppe, Alternierende Gruppe).

Zu den sporadischen Gruppen zählen die Conway-Gruppe, das Babymonster und die Monstergruppe (mit fast 10⁵⁴ Elementen die größte sporadische Gruppe).

Anwendungen

Symmetrien von Körpern, namentlich in der Molekülphysik, werden durch Punktgruppen beschrieben; Symmetrien von Kristallen durch 230 verschiedene Raumgruppen.

Siehe auch

• Liste kleiner Gruppen

Weblinks

• Endliche Gruppen auf www.mathworld.wolfram.com (englisch)

Literatur

• B. L. van der Waerden: Algebra I. Springer-Verlag, Berlin 1993, ISBN 978-354-056799-8, doi:10.1007/978-3-662-01513-1
• Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung, Springer-Verlag, ISBN 3-540-60331-X, doi:10.1007/978-3-642-58816-7