Koordinatenraum

Der Koordinatenraum, auch Standardvektorraum oder Standardraum, ist in der Mathematik der Vektorraum bestehend aus den Tupeln mit Komponenten aus einem gegebenen Körper, beispielsweise den reellen oder komplexen Zahlen. Die Standardbasis für den Koordinatenraum besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren. Die Koordinatenräume besitzen in der linearen Algebra eine besondere Bedeutung, da jeder endlichdimensionale Vektorraum zu einem Koordinatenraum isomorph (strukturell gleich) ist.

Definition

Ist $K$ ein Körper und $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ein $n$-Tupel mit Komponenten aus $K$, so bezeichnet

$K^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1},\ldots ,x_{n}\in K\}$

die Menge aller solcher $n$-Tupel. Für zwei solche Tupel definiert man nun eine komponentenweise Addition durch

$(x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})$

sowie eine komponentenweise Multiplikation mit einem Skalar $a\in K$ durch

$a\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(a\cdot x_{1},\ldots ,a\cdot x_{n})$.

Den so entstehenden Vektorraum $(K^{n},+,\cdot )$ bezeichnet man als Koordinatenraum oder Standardraum der Dimension $n$ über dem Körper $K$ und seine Elemente nennt man Vektoren.

Beispiele

Addition zweier Vektoren in der euklidischen Ebene (oben) und Multiplikation eines Vektors mit der Zahl zwei (unten).

Die Vektoren eines Koordinatenraums werden häufig auch als Spaltenvektoren notiert. In zwei Dimensionen können reelle Zahlentupel als Ortsvektoren in der euklidischen Ebene interpretiert werden und man erhält so die Vektoraddition

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}+w_{1}\\v_{2}+w_{2}\end{pmatrix}}$

sowie die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

$a\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\cdot v_{1}\\a\cdot v_{2}\end{pmatrix}}$.

Anschaulich entspricht die Vektoraddition dann der Addition der Vektorpfeile und die Skalarmultiplikation der Streckung (oder Stauchung) eines Vektorpfeils um den Faktor $a$. Insbesondere erhält man durch Addition zweier Vektoren oder Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl wieder einen Vektor in der euklidischen Ebene.

Entsprechend können die Vektoren des dreidimensionalen reellen Koordinatenraums als Ortsvektoren im euklidischen Raum interpretiert werden.

Eigenschaften

Vektorraumaxiome

Der Koordinatenraum erfüllt tatsächlich die Axiome eines Vektorraums. Das neutrale Element ist der Nullvektor

$(0,\ldots ,0)$,

wobei $0$ das Nullelement des Körpers $K$ ist. Das zu einem Vektor $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ inverse Element ist der Vektor

$(-x_{1},\ldots ,-x_{n})$,

wobei $-x_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$ jeweils das inverse Element zu $x_{i}$ in $K$ist. Weiter gelten für $x,y,z\in K^{n}$ und $a,b\in K$

• das Assoziativgesetz $x+(y+z)=(x+y)+z$
• das Kommutativgesetz $x+y=y+x$
• das gemischte Assoziativgesetz $a\cdot (b\cdot x)=(a~b)\cdot x$
• die Distributivgesetze $a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y$ und $(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x$
• und die Neutralität der Eins $1\cdot x=x$, wobei $1$ das Einselement des Körpers $K$ ist

Diese Gesetze folgen direkt aus der Assoziativität, der Kommutativität und der Distributivität der Addition und Multiplikation im Körper $K$ durch Anwendung auf jede Komponente eines $n$-Tupels.

Basis

Die Standardbasis für den Koordinatenraum besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren

$\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}=\{(1,0,\ldots ,0),(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1)\}$.

Jeder Vektor $x\in K^{n}$ lässt sich somit als Linearkombination

$x=x_{1}\cdot e_{1}+\ldots +x_{n}\cdot e_{n}$

darstellen. Durch Basistransformation der Standardbasis können alle weiteren Basen des Koordinatenraums ermittelt werden.

Isomorphie

Ist nun $V$ ein beliebiger $n$-dimensionaler Vektorraum über dem Körper $K$, dann gilt

$V\cong K^{n}$,

das heißt $V$ ist isomorph zu dem entsprechenden Koordinatenraum. Wählt man nämlich eine Basis $b_{1},\ldots ,b_{n}$ für $V$, so hat jeder Vektor $v\in V$ die Darstellung

$v=c_{1}\cdot b_{1}+\ldots +c_{n}\cdot b_{n}$

mit $c_{1},\ldots ,c_{n}\in K$. Jeder Vektor $v\in V$ lässt sich so eindeutig als Koordinatentupel $(c_{1},\ldots ,c_{n})\in K^{n}$ darstellen. Umgekehrt entspricht jedem Koordinatentupel $(c_{1},\ldots ,c_{n})\in K^{n}$ genau ein Vektor $v\in V$. Demnach ist die Abbildung

$K^{n}\to V,\quad (c_{1},\ldots ,c_{n})\mapsto c_{1}\cdot b_{1}+\ldots +c_{n}\cdot b_{n}$

bijektiv. Nachdem sie zudem linear ist, handelt es sich hierbei um einen Isomorphismus zwischen $K^{n}$ und $V$.

Diese Identifizierung erklärt auch den Namen „Standardraum“ für den $K^{n}$. Dennoch arbeitet man in der Mathematik häufig lieber mit abstrakten Vektorräumen statt mit Koordinatenräumen, da man gerne koordinatenfrei, das heißt ohne eine besonders ausgewählte Basis, argumentieren möchte.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger. Springer, 2008, ISBN 3-8348-9574-1. 
• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I. Springer, 2006, ISBN 3-7643-7756-9.