Homomorphismus

Als Homomorphismus (zusammengesetzt aus altgriech. ὁμός (homós) ‚gleich‘ oder ‚ähnlich‘, und μορφή (morphé) ‚Form‘; nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus) werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, die mit (oft algebraischen) mathematischen Strukturen gleichen Typs verträglich sind.

Definition

Es seien ${\boldsymbol {A}}=(A,(R_{i}))$ und ${\boldsymbol {B}}=(B,(S_{i}))$ zwei mathematische Strukturen vom gleichen Typ und $\sigma _{i}$ bezeichne für jedes $i$ die Stelligkeit der Relationen $R_{i}$ und $S_{i}.$ Eine Abbildung $\varphi \colon A\to B$ heißt dann eine homomorphe Abbildung oder ein Homomorphismus von ${\boldsymbol {A}}$ in ${\boldsymbol {B}},$ wenn für jedes $i$ und für alle $a_{1},\ldots ,a_{\sigma _{i}}\in A$ gilt:

$(a_{1},\ldots ,a_{\sigma _{i}})\in R_{i}\Rightarrow (\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{\sigma _{i}}))\in S_{i}.$

Schreibweise:

$\varphi \colon {\boldsymbol {A}}\to {\boldsymbol {B}}.$

Bemerkung

Manche Autoren nennen einen Homomorphismus auch nur kurz Morphismus, während andere jede strukturverträgliche Abbildung „Morphismus“ nennen und nur einen Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen als „Homomorphismus“ bezeichnen.

Homomorphismus algebraischer Strukturen

Für algebraische Strukturen gilt speziell:

Es seien ${\boldsymbol {A}}=(A,(f_{i}))$ und ${\boldsymbol {B}}=(B,(g_{i}))$ zwei algebraische Strukturen vom gleichen Typ und $\sigma _{i}'$ bezeichne für jedes $i$ die Stelligkeit der fundamentalen Operationen $f_{i}$ und $g_{i}.$ Eine Abbildung $\varphi \colon A\to B$ ist genau dann ein Homomorphismus von ${\boldsymbol {A}}$ in ${\boldsymbol {B}},$ wenn für jedes $i$ und für alle $a_{1},\ldots ,a_{\sigma _{i}}\in A$ gilt:

$\varphi (f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{\sigma _{i}'}))=g_{i}(\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{\sigma _{i}'})).$

Beispiele

• Ordnungshomomorphismus
• Graphenhomomorphismus
• Homomorphismen in der Inzidenzgeometrie, zum Beispiel Homomorphismus projektiver Räume
• Homomorphismen algebraischer Strukturen
• Homomorphismus zwischen Modellen

Verallgemeinerungen

Auch Abbildungen, die verträglich sind mit Strukturen, die unendlichstellige Operationen besitzen, werden Homomorphismus genannt:

• ein vollständiger Verbandshomomorphismus ist verträglich mit beliebigen (auch unendlichen) Vereinigungen und Durchschnitten

In einigen Teilgebieten der Mathematik beinhaltet der Begriff des Homomorphismus, dass die Verträglichkeit noch weitere Zusatzstrukturen umfasst:

• ein Homomorphismus topologischer Gruppen ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus
• ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist ein differenzierbarer Gruppenhomomorphismus

Ein Mengendiagramm verschiedener Homomorphismen.

Weitere Begriffe

Ein Homomorphismus $\varphi$ heißt

• Epimorphismus, wenn $\varphi$ surjektiv ist,
• Monomorphismus, wenn $\varphi$ injektiv ist,
• Isomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv ist und zusätzlich $\varphi ^{-1}$ homomorph ist,
• Endomorphismus auf $A,$ wenn $\varphi \colon A\to A$ ($\varphi$ bildet $A$ in sich selbst ab),
• Automorphismus auf $A,$ wenn $\varphi \colon A\to A$ ein Isomorphismus ist.

Bemerkung

Ein Homomorphismus $\varphi$ zwischen algebraischen Strukturen ist sogar schon dann ein

• Isomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv ist.

Siehe auch

• Morphismus (Kategorientheorie)
• Verträglichkeit (Mathematik)

Literatur

• Gunther Schmidt, Thomas Ströhlein: Relationen und Graphen. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1989, ISBN 3-540-50304-8, S. 144–153. 
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. 8. Auflage der Modernen Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1971, ISBN 978-3-540-03561-3(?!), S. 27–30. 
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8, S. 48, 19.