Ebenengleichung

Eine Ebenengleichung ist in der Mathematik eine Gleichung, die eine Ebene beschreibt. Eine Ebene besteht dabei aus denjenigen Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem, deren Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen. Man unterscheidet explizite Formen von Ebenengleichungen, bei denen jeder Punkt der Ebene direkt identifiziert wird, und implizite Formen, bei denen die Punkte der Ebene indirekt durch eine Bedingung charakterisiert werden. Zu den expliziten Formen gehören die Parameterform und die Dreipunkteform, zu den impliziten Formen die Normalenform, die Hessesche Normalform, die Koordinatenform und die Achsenabschnittsform.

Explizite Formen

Parameterform

→ Hauptartikel: Parameterdarstellung

Parameterform

Bei der Parameterform oder Punktrichtungsform wird eine Ebene durch einen Stützvektor ${\vec {r}}$ und zwei Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}={\vec {r}}+\mu \cdot {\vec {u}}+\lambda \cdot {\vec {v}}~{\text{für}}~\mu ,\lambda \in \mathbb {R} \}$.

Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene, auch Aufpunkt genannt. Die beiden Richtungsvektoren müssen in der Ebene liegen und dürfen nicht kollinear sein, das heißt ${\vec {u}}$ darf sich nicht als Vielfaches von ${\vec {v}}$ schreiben lassen und umgekehrt.

Dreipunkteform

Dreipunkteform

Bei der Dreipunkteform wird eine Ebene durch die Ortsvektoren ${\vec {r}}$, ${\vec {s}}$ und ${\vec {t}}$ dreier Punkte der Ebene beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}={\vec {r}}+\mu \cdot ({\vec {s}}-{\vec {r}})+\lambda \cdot ({\vec {t}}-{\vec {r}})~{\text{für}}~\mu ,\lambda \in \mathbb {R} \}$.

Die drei Punkte dürfen dabei nicht alle auf einer Geraden liegen. Aus der Dreipunkteform erhält man die Punktrichtungsform, indem man einen der drei Punkte als Aufpunkt auswählt und als Richtungsvektoren die Verbindungsvektoren von diesem Punkt zu den anderen beiden Punkten wählt.

Implizite Formen

Normalenform

→ Hauptartikel: Normalengleichung

Normalenform

Bei der Normalenform wird eine Ebene durch einen Stützvektor ${\vec {r}}$ und einen Normalenvektor ${\vec {n}}$ beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid ({\vec {x}}-{\vec {r}})\cdot {\vec {n}}=0\}$.

Hierbei bezeichnet $\cdot$ das Skalarprodukt zweier Vektoren. Aus zwei nicht kollinearen Richtungsvektoren der Ebene ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ lässt sich ein Normalenvektor über das Kreuzprodukt ${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$ ermitteln. In der Normalenform besteht eine Ebene demnach aus denjenigen Punkten, für die der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor der Ebene steht.

Hessesche Normalform

→ Hauptartikel: Hessesche Normalform

Hessesche Normalform

Bei der hesseschen Normalform wird eine Ebene durch einen normierten und orientierten Normalenvektor ${\vec {n}}$ und den Abstand vom Koordinatenursprung $d$ beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}=d\}$.

Der Normalenvektor muss hierbei die Länge eins haben und vom Koordinatenursprung in Richtung der Ebene zeigen. Man erhält die hessesche Normalform aus der Normalenform durch Orientierung und Normierung des Normalenvektors sowie durch anschließende Wahl von $d={\vec {r}}\cdot {\vec {n}}$. Die hessesche Normalform erlaubt eine effiziente Berechnung der Abstände beliebiger Punkte im Raum zu der Ebene.

Koordinatenform

→ Hauptartikel: Koordinatenform

Koordinatenform

Bei der Koordinatenform wird eine Ebene durch vier reelle Zahlen $a$, $b$, $c$ und $d$ in Form einer linearen Gleichung beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid a\cdot x_{1}+b\cdot x_{2}+c\cdot x_{3}=d\}$.

Hierbei muss mindestens eine der drei Zahlen $a,b,c$ ungleich null sein. Die Koordinatenform entspricht der Normalenform, wobei $a$, $b$ und $c$ die Komponenten des (nicht notwendigerweise normierten) Normalenvektors ${\vec {n}}=(a,b,c)$ sind und wiederum $d={\vec {r}}\cdot {\vec {n}}$ gesetzt wird.

Achsenabschnittsform

→ Hauptartikel: Achsenabschnittsform

Achsenabschnittsform

Bei der Achsenabschnittsform wird eine Ebene durch drei Achsenabschnitte $a_{1}$, $a_{2}$ und $a_{3}$ beschrieben:

$E=\left\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}~{\big |}~{\frac {x_{1}}{a_{1}}}+{\frac {x_{2}}{a_{2}}}+{\frac {x_{3}}{a_{3}}}=1\right\}$.

Hierbei sind $(a_{1},0,0)$, $(0,a_{2},0)$ und $(0,0,a_{3})$ die Schnittpunkte der Ebene mit den drei Koordinatenachsen. Die Achsenabschnittsform kann aus der Koordinatenform mittels Division durch $d$ errechnet werden. Verläuft eine Ebene parallel zu einer der Koordinatenachsen, fällt der entsprechende Term in der Achsenabschnittsform weg.

Siehe auch

• Geradengleichung
• Koordinatenebene
• Ursprungsebene

Literatur

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5. 
• Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-9598-1. 
• Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-77731-1. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Plane. In: MathWorld (englisch).
• pahio: equation of plane. In: PlanetMath. (englisch)