Separabler Raum

Der mathematische Begriff separabel bezeichnet in der Topologie eine Eigenschaft von Räumen, die unter anderem Beweisführungen erleichtern kann. Oft kann man für Sätze über solche Räume auf Beweistechniken wie die Transfinite Induktion verzichten. Räume mit dieser Eigenschaft sind in gewisser Weise beherrschbar oder klein, d. h. nicht uferlos groß, da sie noch mit abzählbaren Methoden behandelt werden können. So kann man beispielsweise in einem separablen Hilbertraum stets abzählbare Orthonormalbasen finden und damit jedes Element des Raums in eine Reihe, d. h. abzählbare Summe, entwickeln.

Definition

Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.

Kriterien für separable Räume

• Ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis (zweites Abzählbarkeitsaxiom) ist separabel. Man erhält die abzählbare dichte Teilmenge, indem man aus jeder Menge in der Basis einen Punkt auswählt.
• Jeder kompakte, metrisierbare Raum ist separabel. Genauer gilt, dass für metrisierbare Räume die drei Eigenschaften zweitabzählbar, lindelöfsch und separabel zu sein äquivalent sind. Kompaktheit ist ein Spezialfall der Lindelöf-Eigenschaft, sodass sich die erstgenannte Aussage aus dieser Äquivalenz als Folgerung ergibt.
• Ein topologischer Vektorraum (über R oder C) ist genau dann separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, sodass der davon erzeugte Untervektorraum dicht liegt.

Beispiele

Beispiele für separable Räume sind etwa:

• Die Räume $\mathbb {R} ^{n}$ sind für $n\in \mathbb {N}$ separabel, da $\mathbb {Q} ^{n}$ abzählbar ist und dicht in $\mathbb {R} ^{n}$ liegt.
• Die Räume L^p($\Omega$) mit einer beschränkten, offenen Teilmenge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ und $1\leq p<\infty$ sind separabel.
• Die Folgenräume $\ell ^{p}$ für $1\leq p<\infty$ sind separabel.
• Der Raum $c_{0}$ der Nullfolgen ist mit der Supremumsnorm separabel.
• Der Raum $c_{00}$ der abbrechenden Folgen ($\forall x\in c_{00}\exists N\in \mathbb {N} :\forall n\geq Nx_{n}=0$) ist mit der $\ell ^{p}$-Norm für $1\leq p<\infty$ separabel.
• Die Räume $C^{k}(\Omega )$ sind für natürliches $k$ separabel. Dabei bezeichnet $\Omega$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$.
• Jede unendliche Menge mit kofiniter Topologie ist separabel, weil eine beliebige abzählbar unendliche Teilmenge als einzige abgeschlossene Obermenge den gesamten Raum hat.

Gegenbeispiele

• Der Raum der beschränkten Folgen $\ell ^{\infty }$ ist nicht-separabel.
• Der Raum der fast-periodischen Funktionen ist ein Beispiel eines nicht-separablen Hilbertraums.

Permanenzeigenschaften

• Bilder von separablen Räumen unter stetigen Funktionen sind wieder separabel. Als dichte Teilmenge im Bild dient einfach das Bild der dichten Teilmenge im Definitionsbereich.
• Unterräume separabler Räume sind im Allgemeinen nicht wieder separabel, beispielsweise enthält der separable Niemytzki-Raum einen nicht-separablen Unterraum, die Sorgenfrey-Ebene ist ein weiteres Beispiel. Es gilt aber, dass Unterräume separabler metrischer Räume wieder separabel sind. Dies folgt aus oben genannter Äquivalenz von Separabilität und Zweitabzählbarkeit, denn letztere überträgt sich offensichtlich auf Teilräume.
• Separabilitätssatz von Marczewski: Ist $(X_{i})_{i\in I}$ eine Familie separabler Räume und ist die Mächtigkeit von $I$ höchstens gleich der Mächtigkeit des Kontinuums $\mathbb {R}$, so ist $\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}$ mit der Produkttopologie ebenfalls separabel. Um dieses Resultat einzusehen, genügt es, die Separabilität von ${\mathbb {N} }^{\mathbb {R} }=\{f\mid f\colon {\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {N} }\}$ zu beweisen. Dazu überlegt man sich leicht, dass die abzählbare Menge der endlichen Summen von Funktionen aus $\{n\cdot \chi _{[a,b]};n\in {\mathbb {N} },a,b\in {\mathbb {Q} }\}$ dicht liegt, wobei $\chi _{[a,b]}$ die charakteristische Funktion des Intervalls $[a,b]$ ist.

Zusammenhang mit anderen Begriffen

• Der Begriff des separablen Raumes steht in keiner Beziehung zum Begriff des separierten Raums. Wie Horst Schubert im Jahre 1975 schrieb, bestanden daher Tendenzen, ihn abzuschaffen.
• Wird die Topologie eines separablen Raumes durch eine Metrik erzeugt, und ist der Raum bezüglich der Metrik vollständig, so spricht man von einem polnischen Raum.

Literatur

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 
• Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970, S. 224 ff. (MR0264581).