„Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)“ – Versionsunterschied
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Zu den zahlreichen Resultaten in der [[Theorie der endlichen Gruppen]], die im Zusammenhang mit den [[Sylow-Sätze]]n stehen, zählt ein als '''Fixpunktsatz''' bezeichneter [[Lehrsatz|Satz]], der nicht zuletzt eine in diesem Kontext grundlegende [[Existenzaussage]] macht.<ref name="KM-01">Kurt Meyberg: ''Algebra. Teil 1.'' 1975, S. 65 ff., S. 67</ref> Der |
Zu den zahlreichen Resultaten in der [[Theorie der endlichen Gruppen]], die im Zusammenhang mit den [[Sylow-Sätze]]n stehen, zählt ein als '''Fixpunktsatz''' bezeichneter [[Lehrsatz|Satz]], der nicht zuletzt eine in diesem Kontext grundlegende [[Existenzaussage]] macht.<ref name="KM-01">Kurt Meyberg: ''Algebra. Teil 1.'' 1975, S. 65 ff., S. 67</ref> Der Fixpunktsatz beruht auf einer allgemeinen Formel, welche nicht zuletzt die bekannte [[Klassengleichung]] in sich einschließt.<ref name="KM-01" /><ref name="GS-01">Gernot Stroth: ''Endliche Gruppen.'' 2013, S. 5 ff.</ref><ref name="CK-KM-01">Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: ''Algebra: Gruppen – Ringe – Körper.'' 2017, S. 98 ff.</ref> |
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Dieser [[Fixpunktsatz]] lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="KM-02">Meyberg, op. cit., S. 67</ref><ref name="GS-02">Stroth, op. cit., S. 5</ref> |
Dieser [[Fixpunktsatz]] lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="KM-02">Meyberg, op. cit., S. 67</ref><ref name="GS-02">Stroth, op. cit., S. 5</ref><ref name="CK-KM-02">Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99</ref> |
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: ''Gegeben seien eine [[endliche Menge]] <math>X</math> und weiter eine [[Primzahl]] <math>p</math>, eine [[natürliche Zahl]] <math>r</math> sowie eine [[endliche Gruppe]] <math>(G,\cdot)</math> der [[Gruppe (Mathematik)#Gruppenordnung|Ordnung]] <math>|G| = p^r</math>.''<ref group="A">Mit <math>|M|</math> bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge <math>M</math>. Ist <math>M</math> eine [[endliche Menge]], so ist <math>|M|</math> die [[Anzahl]] der in <math>M</math> enthaltenen [[Element (Mathematik)|Elemente]]. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.</ref> |
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: ''Dabei soll <math>(G,\cdot)</math> vermöge der [[Gruppenoperation|äußeren Operation]] <math>G \times X \to X \; , \; (g, x) \mapsto g \cdot x \; , \; </math> auf <math>X</math> operieren.''<ref group="A">Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben [[Liste mathematischer Symbole|Symbol]], nämlich <math>\cdot</math>, bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (''Punkt'') gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß <math>gx = g \cdot x</math>.</ref> |
: ''Dabei soll <math>(G,\cdot)</math> vermöge der [[Gruppenoperation|äußeren Operation]] <math>G \times X \to X \; , \; (g, x) \mapsto g \cdot x \; , \; </math> auf <math>X</math> operieren.''<ref group="A">Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben [[Liste mathematischer Symbole|Symbol]], nämlich <math>\cdot</math>, bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (''Punkt'') gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß <math>gx = g \cdot x</math>.</ref> |
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::'' '''(i)''' <math>|\operatorname{Fix}_G(X)| \equiv |X| \pmod p</math>''<ref group="A">Die [[Teilmenge]] <math>\operatorname{Fix}_G(X) \subseteq X</math> besteht aus genau den Elementen <math>x \in X</math> mit <math>g \cdot x = x</math> für alle <math>g \in G</math>. Man nennt solche Elemente ''[[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkte]]'' (unter der betreffenden Gruppenoperation).</ref><ref group="A">Mit <math>\equiv</math> wird die [[Kongruenz (Zahlentheorie)|zahlentheoretische Kongruenz]] bezeichnet.</ref> |
::'' '''(i)''' <math>|\operatorname{Fix}_G(X)| \equiv |X| \pmod p</math>''<ref group="A">Die [[Teilmenge]] <math>\operatorname{Fix}_G(X) \subseteq X</math> besteht aus genau den Elementen <math>x \in X</math> mit <math>g \cdot x = x</math> für alle <math>g \in G</math>. Man nennt solche Elemente ''[[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkte]]'' (unter der betreffenden Gruppenoperation).</ref><ref group="A">Mit <math>\equiv</math> wird die [[Kongruenz (Zahlentheorie)|zahlentheoretische Kongruenz]] bezeichnet.</ref> |
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:: '' '''(ii)''' Insbesondere existiert, wenn <math>|X|</math> und <math>p</math> [[teilerfremd]] sind, mindestens ein Fixpunkt.'' |
:: '' '''(ii)''' Insbesondere existiert, wenn <math>|X|</math> und <math>p</math> [[teilerfremd]] sind, mindestens ein Fixpunkt.'' |
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== Allgemeine Formel == |
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Die oben erwähnte allgemeine Formel lässt sich wie folgt angeben:<ref name="KM-02" /><ref name="CK-KM-02" /> |
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: ''Gegeben seien eine Menge <math>X</math> und eine Gruppe <math>(G,\cdot)</math>, die vermöge <math>G \times X \to X \; , \; (g, x) \mapsto g \cdot x \; , \; </math> auf <math>X</math> operieren soll.'' |
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: ''Weiter gegeben sei ein [[Repräsentantensystem]] <math>V \subseteq X</math> für die durch die [[Gruppenoperation#Bahn|Bahnen]] auf <math>X</math> gegebenen [[Partition (Mengenlehre)|Partition]].'' |
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: ''Dann gilt hinsichtlich der Mächtigkeiten die Formel'' |
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::<math>|X| = |\operatorname{Fix}_G(X)| + \sum\limits_{x \in V \;\text{mit} \atop\;\ (G \colon G_x) > 1} {(G \colon G_x)} </math>.<ref group="A">Für ein <math>x \in X</math> ist dabei <math>G_x = \{g \in G\ |\ g \cdot x = x \} \leq G</math> der zugehörige [[Gruppenoperation#Stabilisator|Stabilisator]] und <math>(G \colon G_x)</math> sein [[Index (Gruppentheorie)|Index]] in <math>(G,\cdot)</math>.</ref><ref group="A">Ein <math>x \in X</math> ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn <math>G_x = G</math> bzw. <math>(G \colon G_x) = 1</math> gilt.</ref><ref group="A">Die ''Summationsbedingung'' <math>(G \colon G_x) > 1</math> wird möglicherweise von keinem <math>x \in V</math> erfüllt. In diesem Falle hat die [[Summe]] vereinbarungsgemäß den Wert <math>0</math>.</ref><ref group="A">Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des [[Satz von Lagrange|Satzes von Lagrange]].</ref><ref group="A">Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung ''Fixpunktformel''.</ref> |
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== Folgerungen == |
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|Autor=[[Gernot Stroth]] |
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Version vom 23. Dezember 2019, 20:14 Uhr
Zu den zahlreichen Resultaten in der Theorie der endlichen Gruppen, die im Zusammenhang mit den Sylow-Sätzen stehen, zählt ein als Fixpunktsatz bezeichneter Satz, der nicht zuletzt eine in diesem Kontext grundlegende Existenzaussage macht.[1] Der Fixpunktsatz beruht auf einer allgemeinen Formel, welche nicht zuletzt die bekannte Klassengleichung in sich einschließt.[1][2][3]
Formulierung
Dieser Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen formulieren:[4][5][6]
- Gegeben seien eine endliche Menge und weiter eine Primzahl , eine natürliche Zahl sowie eine endliche Gruppe der Ordnung .[A 1]
- Dabei soll vermöge der äußeren Operation auf operieren.[A 2]
- Dann gelten folgende Aussagen:
-
- (i) [A 3][A 4]
- (ii) Insbesondere existiert, wenn und teilerfremd sind, mindestens ein Fixpunkt.
Allgemeine Formel
Die oben erwähnte allgemeine Formel lässt sich wie folgt angeben:[4][6]
- Gegeben seien eine Menge und eine Gruppe , die vermöge auf operieren soll.
- Weiter gegeben sei ein Repräsentantensystem für die durch die Bahnen auf gegebenen Partition.
- Dann gilt hinsichtlich der Mächtigkeiten die Formel
Folgerungen
Der obige Fixpunktsatz hat eine Reihe interessanter Anwendungen.
Über das Zentrum endlicher p-Gruppen
Hier führt der Fixpunktsatz unmittelbar zu folgendem Resultat:[7][8]
- Gegeben seien eine Primzahl und dazu eine endliche p-Gruppe mit zugehörigem Zentrum .
- Dann gilt:
-
- (i) Besteht ein Normalteiler nicht aus dem neutralen Element allein, so besteht auch der Durchschnitt nicht aus dem neutralen Element allein.
- (ii) Insbesondere besitzt die endliche p-Gruppe im Falle, dass sie mehr als einem Element hat, ein nichttriviales Zentrum .
Zu Normalteilern endlicher p-Gruppen
Hier ergibt sich aus dem Fixpunktsatz die folgende Strukturaussage:<[9]
- Jede endliche p-Gruppe der Ordnung ( prim, ) hat einen Normalteiler der Ordnung .
Literatur
- Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, München, Wien 1975, ISBN 3-446-11965-5 (MR0460010).
- Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 4. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2.
- Gernot Stroth: Endliche Gruppen. Eine Einführung (= De Gruyter Studium). Walter de Gruyter, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-029157-5.
Anmerkungen
- ↑ Mit bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge . Ist eine endliche Menge, so ist die Anzahl der in enthaltenen Elemente. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.
- ↑ Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben Symbol, nämlich , bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (Punkt) gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß .
- ↑ Die Teilmenge besteht aus genau den Elementen mit für alle . Man nennt solche Elemente Fixpunkte (unter der betreffenden Gruppenoperation).
- ↑ Mit wird die zahlentheoretische Kongruenz bezeichnet.
- ↑ Für ein ist dabei der zugehörige Stabilisator und sein Index in .
- ↑ Ein ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn bzw. gilt.
- ↑ Die Summationsbedingung wird möglicherweise von keinem erfüllt. In diesem Falle hat die Summe vereinbarungsgemäß den Wert .
- ↑ Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des Satzes von Lagrange.
- ↑ Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung Fixpunktformel.
Einzelnachweise
- ↑ a b Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 65 ff., S. 67
- ↑ Gernot Stroth: Endliche Gruppen. 2013, S. 5 ff.
- ↑ Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 2017, S. 98 ff.
- ↑ a b Meyberg, op. cit., S. 67
- ↑ Stroth, op. cit., S. 5
- ↑ a b Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99
- ↑ Stroth, op. cit., S. 6
- ↑ Meyberg, op. cit., S. 68
- ↑ Meyberg, op. cit., S. 74–75