Äquivariante Abbildung

Unter einer äquivarianten Abbildung versteht man in der Mathematik eine Abbildung die mit der Wirkung einer Gruppe kommutiert.

Definition: Es seien $G$ eine Gruppe und $X,Y$ Mengen, auf denen eine Linksoperation von $G$

$G\times X\to X,\quad (g,x)\mapsto g\cdot x$

definiert ist. Eine Funktion $f\colon X\to Y$ heißt $G$-äquivariant oder auch kurz äquivariant, wenn gilt:

$f(g\cdot x)=g\cdot f(x)$ für alle $g\in G,x\in X$.

Dies ist äquivalent dazu, dass das folgende Diagramm kommutiert:

Da die Gruppe auf der Menge der Abbildungen $X\to Y$ via

$f\mapsto(x\mapsto gf(g^{-1}x))$

operiert und eine Abbildung $f$ genau dann unter dieser Operation fest bleibt, wenn sie äquivariant ist, spricht man häufig auch von $G$-invarianten Abbildungen.