Monotonie (Mathematik)

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit unterschiedlichen Monotoniebegriffen von Folgen und Abbildungen; zur gleichnamigen Eigenschaft einer Schauderbasis siehe dort.

In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die bei wachsendem Funktionsargument immer nur größer wird oder konstant ist (also niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend (antiton), wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt. Ändern sich die Werte der Funktion oder die Glieder der Folge nirgends, heißt sie konstant.

Streng monoton steigend (resp. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden und nirgends konstant sind.

Monotonie kann über beliebigen Ordnungsrelationen definiert werden, beispielsweise kann sich monoton wachsend auch auf die Teilmengen-Beziehung beziehen.

Anschauliche Beispiele[Bearbeiten]

Die Funktion y=x3 ist streng monoton steigend.
  • Die Folge
    1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots
ist streng monoton steigend.
  • Die Folge
    1, 3, 3, 5, 6, 8, 8, 9, 1000, 1200
ist monoton steigend, jedoch nicht streng monoton steigend (3 und 8 kommen doppelt vor).
  • Die Folge
    2, 2, 2, 2, 2, \ldots
ist konstant, sie ist nach Definition sowohl monoton steigend als auch monoton fallend.
  • Die Funktion f mit
    f(x) =x^3
ist über dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. Bei x=0 hat sie zwar eine Steigung von 0, jedoch nur an diesem einen Punkt.
  • Die Funktion f mit
    f(x)=x^2
ist im Bereich von minus unendlich bis einschließlich null (x \leq 0) streng monoton fallend. Im Bereich von einschließlich null bis plus unendlich (x \geq 0) ist sie streng monoton steigend.
  • Die Folge von Mengen
    \emptyset,\quad \{1\},\quad \{1,2\},\quad \{1,2,3\},\quad \{1,2,3,5\}
ist streng monoton steigend bezüglich der \subseteq-Relation.

Monotonie von Abbildungen[Bearbeiten]

Monotone Abbildung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Monotone Abbildung

Gegeben seien zwei Mengen  A und  B , die jeweils mit einer (nicht notwendigerweise identischen) Ordnungsrelation  \leq_A und  \leq_B versehen sind. Dann heißt eine Funktion  f\colon A \to B

  • monoton wachsend oder isoton, wenn für  x,y \in A mit  x \leq_A y gilt, dass dann auch  f(x) \leq_B f(y) ist.
  • monoton fallend oder antiton, wenn für  x,y \in A mit  x \leq_A y gilt, dass dann auch  f(y) \leq_B f(x) ist.
  • monoton, wenn sie entweder monoton fallend oder monoton wachsend ist.

Man beachte, dass die Vergleichsoperationen mit unterschiedlichen Ordnungen operieren. Analog lassen sich auch hier die strikten Versionen definieren. Isotone Abbildungen sind die strukturerhaltenden Abbildungen der Ordnungstheorie und werden deshalb auch Ordnungsisomorphismen genannt. Fast alle weiteren Monotoniebegriffe lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Monotonie für reellwertige Funktionen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Reelle monotone Funktion

Einer der am häufigsten verwendeten Monotoniebegriffe ist der für reelle Funktionen. Eine Funktion f\colon D \to \mathbb{R} , wobei  D eine Teilmenge von  \mathbb{R} ist, heißt

  • (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton steigend, wenn für alle x,y \in D mit   x \leq y (bzw.  x <y ) gilt, dass   f(x) \leq f(y) (bzw.   f(x) < f(y)) ist.
  • (streng) monoton fallend, wenn für alle x,y \in D mit   x \leq y (bzw.  x <y ) gilt, dass   f(x) \geq f(y) (bzw.   f(x) > f(y)) ist.

Monotonie reeller Funktionen spielt eine Rolle bei der Identifikation von Minima und Maxima sowie bei der Überprüfung, ob Funktionen konvex sind, und kann verwendet werden, um Aussagen über die Existenz einer Umkehrfunktion zu treffen.

Monotonie für Funktionen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen[Bearbeiten]

K-monotone Funktionen[Bearbeiten]

Hauptartikel: K-monotone Funktion

Verallgemeinert man den Monotoniebegriff für Funktionen  h:\R^n \to \R , so definiert man auf dem  \R^n einen echten Kegel  K und betrachtet die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung  \preccurlyeq_K und die strikte verallgemeinerte Ungleichung  x \prec_K y  sowie eine konvexe Menge  D . Dann heißt eine Funktion  h: \mathbb{R}^n\supset D \to \R

  • K-monoton wachsend (K-monoton fallend) wenn für alle  x,y \in D mit  x \preccurlyeq_K y gilt, dass  f(x) \leq f(y) (bzw.  f(x) \geq f(y) )
  • strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton fallend) wenn für alle  x \prec_K y  gilt, dass  f(x) < f(y) (bzw.  f(x) > f(y) ) ist.

Wählt man als Vektorraum den  S^n (den Raum aller reellen symmetrischen Matrizen) und als Kegel den semidefiniten Kegel (bzw. als verallgemeinerte Ungleichung die Loewner-Halbordnung), so erhält man die Matrix-monotonen Funktionen.

Monotone Funktionen zwischen Vektorräumen gleicher Dimension[Bearbeiten]

Eine Möglichkeit, Monotonie für Funktionen  h: \R^n \to \R^n zu verallgemeinern ist, für  x=(x_1, \dots, x_n)^T, \, y=(y_1, \dots , y_n)^T zu fordern, dass wenn  x_i \leq y_i für  i=1, \dots, n ist, dass dann für eine monoton wachsende Funktion gelten soll, dass  h_i(x) \leq h_i(y) ist. Die Formulierung monoton fallender Funktionen und der strikten Versionen folgt analog. Dieses Vorgehen entspricht der Verallgemeinerung der Ordnung auf  \R auf die komponentenweise Halbordnung auf  \R^n .

Alternativ kann man die Eigenschaft von monoton wachsenden reellen Funktionen, dass für beliebige  x,y gilt, dass  (x-y)(f(x)-f(y)) \geq 0 ist verallgemeinern. Dies führt dann zu dem folgenden Monotoniebegriff: gegeben sei  D \subset \mathbb{R}^n und eine Funktion  f\colon D \to \mathbb{R}^n . Die Funktion heißt

  • Monoton auf  D , wenn  (x-y)^T(f(x)-f(y))\geq 0 für alle  x,y \in D gilt.
  • Strikt monoton auf  D , wenn  (x-y)^T(f(x)-f(y)) > 0 für alle  x,y \in D gilt.
  • Gleichmäßig monoton auf  D , wenn  (x-y)^T(f(x)-f(y)) \geq \mu \Vert x-y \Vert^2 für alle  x,y \in D mit  x \neq y gilt.

Verallgemeinert man dies weiter, so erhält man den unten besprochenen Begriff eines monotonen Operators.

Monotonie von Operatoren[Bearbeiten]

Hauptartikel: Monotoner Operator

Ein Operator  F von einem reflexiven Banachraum in seinen Dualraum heißt ein monotoner Operator, wenn

 \langle x-y; F(x)-F(y)\rangle \geq 0

ist für alle  x,y \in M , wobei  M konvex ist.

Monotonie von Folgen[Bearbeiten]

Monotonie von reellen Folgen[Bearbeiten]

Ist eine Folge reeller Zahlen  (a_i)_{i \in \mathbb{N}}= (a_1; a_2; a_3; \dots ) gegeben, so heißt diese Folge

  • Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn für alle  n \in \mathbb{N} gilt, dass  a_{n+1} \geq a_n .
  • Streng monoton wachsend oder streng monoton steigend, wenn für alle  n \in \mathbb{N} gilt, dass  a_{n+1} > a_n .
  • Monoton fallend, wenn für alle  n \in \mathbb{N} gilt, dass  a_{n+1} \leq a_n .
  • Streng monoton fallend, wenn für alle  n \in \mathbb{N} gilt, dass  a_{n+1} < a_n .
  • Monoton, wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist.

Monotonie von Mengenfolgen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Monotone Mengenfolge

Eine Mengenfolge  (A_i)_{i \in \mathbb{N}} heißt

  • Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn  A_k \subseteq A_{k+1} gilt.
  • Monoton fallend, wenn  A_k \supseteq A_{k+1} gilt.
  • Monoton, wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist.

Teilweise findet sich auch die Bezeichnung einer monoton aufsteigenden oder monoton absteigenden Mengenfolge.

Monotonie von Funktionenfolgen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Monotone Funktionenfolge

Eine Funktionenfolge  (f_i)_{i \in \N} heißt

  • Monoton wachsend auf  D , wenn  f_i(x) \leq f_{i+1}(x) für alle  x \in D ist.
  • Monoton fallend auf  D , wenn  f_i(x) \geq f_{i+1}(x) für alle  x \in D ist.
  • Monoton, wenn sie entweder monoton fallend oder monoton wachsend ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Monotonie von reellwertigen Funktionen[Bearbeiten]

  • Die Funktion  f(x)=x^2 ist auf  (-\infty, 0] streng monoton fallend und auf  [0,\infty) streng monoton wachsend. Ist nämlich  x<y \iff x-y<0 und sind  x,y \leq 0 , so ist  x+y <0 und es gilt  x^2-y^2=(x-y)(x+y)>0 , da beide Faktoren echt negativ sind. Daraus folgt, dass  x^2>y^2 , also ist  f monoton fallend auf  (-\infty, 0] . Der Nachweis der Monotonie auf  [0,\infty) funktioniert analog, aber mit dem Argument, dass  x+y >0 wenn  x,y>0 ist.
  • Der Logarithmus ist streng monoton wachsend auf  (0,\infty) , denn es ist  \ln (x)-\ln(y)=\ln(x/y)<0 , wenn  x<y , da dann  0<x/y<1 ist und dementsprechend  \ln (x/y)<0 . Also ist  \ln(x)<\ln(y) .

Monotonie für vektorwertige Funktionen[Bearbeiten]

  • Die Funktion  f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n, \, f(x)=Ax+b ist genau dann monoton, wenn  A positiv semidefinit ist, da dann gilt  f(x)-f(y)=Ax+b-Ay-b=A(x-y) und aufgrund der Definition der Definitheit  (x-y)^T(f(x)-f(y))=(x-y)^TA(x-y)\geq0 . Analog lässt sich zeigen, dass die Funktion strikt monoton ist, wenn A positiv definit ist.

Monotonie von reellen Folgen[Bearbeiten]

  • Die Folge  (a_k)_{k\in\N} = \left((-1)^k\right)_{k\in\N} = (-1,1,-1,1,-1,1,\dotsc) ist weder monoton wachsend noch fallend, also auch nicht monoton.
  • Die Folge  (a_k)_{k\in\N} = \left(\tfrac{1}{k}\right)_{k\in\N} = (1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}, \dotsc) ist steng monoton fallend, denn bildet man die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenwerte  a_k-a_{k-1}=\tfrac{1}{k(k-1)} , so ist diese immer echt positiv, demnach ist  a_k > a_{k+1} . Damit ist diese Folge insbesondere auch monoton fallend und damit auch monoton.
  • Die Folge  (a_k)_{k\in\N} = \left(-\tfrac{1}{k}\right)_{k\in\N} ist streng monoton wachsend. Die Argumentation funktioniert genau wie oben, aber mit umgedrehtem Vorzeichen.
  • Eine Folge, die monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend ist, lässt sich mittels der Gaußklammer definieren als  (a_k)_{k\in\N} = \left(\lfloor \tfrac{k}{2}\rfloor\right)_{k\in\N} = (0,1,1,2,2,3,3,\dotsc) . Da hier bereits einmal ein Wert doppelt angenommen wird, kann die Folge nicht mehr streng monoton sein. Trotzdem ist sie monoton wachsend und damit auch monoton.

Monotonie von Mengenfolgen[Bearbeiten]

  • Die Mengenfolge  (A_k)_{k \in \mathbb{N}}=[0,1-1/k]_{k \in \mathbb{R}}=(\{0\},[0,1/2],[0,2/3], \dotsc) ist monoton wachsend. Dies folgt direkt aus der Monotonie der oben betrachteten reellen Folge  (a_k)_{k\in\N} = \left(\tfrac{1}{k}\right)_{k\in\N}  .
  • Genauso ist die Mengenfolge  (A_k)_{k \in \mathbb{N}}=[0,1/k]_{k \in \mathbb{N}}=([0,1],[0,1/2],[0,1/3], \dotsc) monoton fallend.

Allgemeine Definition[Bearbeiten]

  • Die allgemeine Definition enthält insbesondere die Definition für Monotonie reeller Funktionen. Dazu setzt man  A=D den Definitionsbereich,  B= \mathbb{R} und  \leq_A\,=\,\leq_B das „gewöhnliche Kleinergleich“ auf den reellen Zahlen.
  • Genauso ist die Monotoniedefinition für Folgen darin enthalten: Setze  A= \mathbb{N} und  B= \mathbb{R} jeweils mit dem normalen Kleinergleich. Dann ist eine Folge  (a_i)_{i \in \mathbb{N}} genau dann monoton (wachsend/fallend), wenn die Funktion  f\colon\mathbb{N} \to \mathbb{R}, \, f(i)=a_i monoton (wachsend/fallend) ist.
  • Analog lassen sich monotone Folgen für Mengen definieren. Setzt man als Ordnungsrelation  M_1 \leq_B M_b \iff M_1 \subset M_2 die Teilmengenrelation, so lässt sich wie oben zu jeder monotonen Mengenfolge eine monotone Funktion definieren.
  • Versieht man den  \mathbb{R}^n mit einer verallgemeinerten Ungleichung  x \preccurlyeq_K y , so erhält man die K-monotonen Funktionen.

Monotoniegesetze[Bearbeiten]

Für a, b, c \in \mathbb{R} gilt:

  1. Aus  a\le b folgt (a + c ) \le ( b + c ) .
  2. Aus a \le b folgt 
\begin{cases}{a\,c \le b\,c}, & \text{wenn } {c \ge 0}. \\
{a\,c \ge b\,c},  & \text{wenn } {c \le 0}. \end{cases}

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]