Monotonie (Mathematik)

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit monotonen Funktionen oder Folgen; zur gleichnamigen Eigenschaft einer Schauderbasis siehe dort.

In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die bei wachsendem Funktionsargument immer nur größer wird oder konstant ist (also niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend (antiton), wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt. Ändern sich die Werte der Funktion oder die Glieder der Folge nirgends, heißt sie konstant.

Streng monoton steigend (resp. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden, aber nirgends konstant sind.

Monotonie kann über beliebigen Ordnungsrelationen definiert werden, beispielsweise kann sich monoton wachsend auch auf die Teilmengen-Beziehung beziehen.

Beispiele[Bearbeiten]

Die Funktion y=x3 ist streng monoton steigend.
  • Die Folge
    1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots
ist streng monoton steigend.
  • Die Folge
    1, 3, 3, 5, 6, 8, 8, 9, 1000, 1200
ist monoton steigend, jedoch nicht streng monoton steigend (3 und 8 kommen doppelt vor).
  • Die Folge
    2, 2, 2, 2, 2, \ldots
ist konstant, sie ist nach Definition sowohl monoton steigend als auch monoton fallend.
  • Die Funktion f mit
    f(x) =x^3
ist über dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. Bei x=0 hat sie zwar eine Steigung von 0, jedoch nur an diesem einen Punkt.
  • Die Funktion f mit
    f(x)=x^2
ist im Bereich von minus unendlich bis einschließlich null (x \leq 0) streng monoton fallend. Im Bereich von einschließlich null bis plus unendlich (x \geq 0) ist sie streng monoton steigend.
  • Die Folge von Mengen
    \emptyset,\quad \{1\},\quad \{1,2\},\quad \{1,2,3\},\quad \{1,2,3,5\}
ist streng monoton steigend bezüglich der \subseteq-Relation.

Definitionen[Bearbeiten]

Sei \begin{matrix}f\colon A \rightarrow B\end{matrix} eine Funktion. Auf \begin{matrix} A \end{matrix} und \begin{matrix} B \end{matrix} sei jeweils eine Ordnungsrelation \begin{matrix} \leq \end{matrix} definiert. Dann heißt die Funktion \begin{matrix} f \end{matrix} monoton steigend, wenn für alle a,b \in A: a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b).


Gilt sogar  a < b \Rightarrow f(a) < f(b), so heißt die Funktion \begin{matrix} f \end{matrix} streng monoton steigend.


Entsprechend heißt \begin{matrix} f \end{matrix} monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn  a \leq b \Rightarrow f(a) \ge f(b) bzw.  a < b \Rightarrow f(a) > f(b).


Eine Folge (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} heißt monoton steigend, wenn für alle n \in \mathbb{N} gilt: a_{n+1} \geq a_n.


Eine Folge (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} heißt streng monoton steigend, wenn für alle n \in \mathbb{N} gilt: \begin{matrix}a_{n+1} > a_n\end{matrix}.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten]

Für eine reelle monotone Funktion f gilt:

Monotonie differenzierbarer reeller Funktionen[Bearbeiten]

  • Eine auf dem Intervall [a,b] stetige und auf (a,b) differenzierbare Funktion ist genau dann monoton wachsend (bzw. monoton fallend) auf [a,b], wenn die Ableitung f'(x) nirgendwo negativ (bzw. nirgendwo positiv), also f'(x) \geq 0 (resp. f'(x) \leq 0), ist.
  • Eine auf einem Intervall I stetig differenzierbare Funktion ist genau dann streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wenn die Ableitung:
    • nirgendwo negativ (bzw. nirgendwo positiv) und
    • auf keinem echten Teilintervall konstant gleich null ist (wobei ein echtes Intervall ein Intervall mit mehr als einem Element ist).

Umkehrfunktion[Bearbeiten]

Sei I\subset\mathbb{R} ein Intervall und f\colon I\to\mathbb{R} sei streng monoton wachsend/fallend und stetig. Dann ist:

  • die Bildmenge I':= f\left(I\right) ein Intervall,
  • f\colon I\rightarrow I' bijektiv,
  • die Umkehrfunktion f^{-1}\colon I'\rightarrow I streng monoton wachsend/fallend und stetig,
  • f^{-1}\left(a\right)<b\iff a<f\left(b\right), wenn wachsend und
  • f^{-1}\left(a\right)<b\iff a>f\left(b\right), wenn fallend.

Monotoniegesetze[Bearbeiten]

Für a, b, c \in \mathbb{R} gilt:

  1. \left(a \le b \right) \Rightarrow
\left[ \left(a + c \right) \le \left( b + c \right) \right],
  2. \left(a \le b \right) \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}{a\,c \le b\,c} & \text{ wenn } & {c \ge 0} \\
{a\,c \ge b\,c} & \text{ wenn } & {c \le 0} \end{matrix} \right..

Weblinks[Bearbeiten]