Monotonie (Mathematik)

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit monotonen Funktionen oder Folgen; zur gleichnamigen Eigenschaft einer Schauderbasis siehe dort.

In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die bei wachsendem Funktionsargument immer nur größer wird oder konstant ist (also niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend (antiton), wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt. Ändern sich die Werte der Funktion oder die Glieder der Folge nirgends, heißt sie konstant.

Streng monoton steigend (resp. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden und nirgends konstant sind.

Monotonie kann über beliebigen Ordnungsrelationen definiert werden, beispielsweise kann sich monoton wachsend auch auf die Teilmengen-Beziehung beziehen.

Anschauliche Beispiele[Bearbeiten]

Die Funktion y=x3 ist streng monoton steigend.
  • Die Folge
    1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots
ist streng monoton steigend.
  • Die Folge
    1, 3, 3, 5, 6, 8, 8, 9, 1000, 1200
ist monoton steigend, jedoch nicht streng monoton steigend (3 und 8 kommen doppelt vor).
  • Die Folge
    2, 2, 2, 2, 2, \ldots
ist konstant, sie ist nach Definition sowohl monoton steigend als auch monoton fallend.
  • Die Funktion f mit
    f(x) =x^3
ist über dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. Bei x=0 hat sie zwar eine Steigung von 0, jedoch nur an diesem einen Punkt.
  • Die Funktion f mit
    f(x)=x^2
ist im Bereich von minus unendlich bis einschließlich null (x \leq 0) streng monoton fallend. Im Bereich von einschließlich null bis plus unendlich (x \geq 0) ist sie streng monoton steigend.
  • Die Folge von Mengen
    \emptyset,\quad \{1\},\quad \{1,2\},\quad \{1,2,3\},\quad \{1,2,3,5\}
ist streng monoton steigend bezüglich der \subseteq-Relation.

Definitionen[Bearbeiten]

Monotonie für reellwertige Funktionen[Bearbeiten]

Eine Funktion f\colon D \mapsto \mathbb{R} , wobei  D eine Teilmenge von  \mathbb{R} ist, heißt

  • monoton wachsend oder monoton steigend, wenn für alle x,y \in D mit   x \leq y gilt, dass   f(x) \leq f(y).
  • streng monoton wachsend oder streng monoton steigend, wenn aus  x<y bereits  f(x)<f(y) folgt.
  • monoton fallend, wenn für alle x,y \in D mit   x \leq y gilt, dass   f(x) \geq f(y).
  • streng monoton fallend, wenn aus  x<y bereits  f(x)>f(y) folgt.

Monotonie für vektorwertige Funktionen[Bearbeiten]

Gegeben sei  D \subset \mathbb{R}^n und eine Funktion  f\colon D \mapsto \mathbb{R}^n . Die Funktion heißt

  • Monoton auf  D , wenn  (x-y)^T(f(x)-f(y))\geq 0 für alle  x,y \in D gilt.
  • Strikt monoton auf  D , wenn  (x-y)^T(f(x)-f(y)) > 0 für alle  x,y \in D gilt.
  • Gleichmäßig monoton auf  D , wenn  (x-y)^T(f(x)-f(y)) \geq \mu \Vert x-y \Vert^2 für alle  x,y \in D mit  x \neq y gilt.

Die hier verwendeten (strikten) Monotoniebegriffe fallen für Funktionen auf  \mathbb{R} mit (strikt) monoton wachsenden Funktionen zusammen.

Monotonie von reellen Folgen[Bearbeiten]

Ist eine Folge reeller Zahlen  (a_i)_{i \in \mathbb{N}}= (a_1; a_2; a_3; \dots ) gegeben, so heißt diese Folge

  • Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn für alle  n \in \mathbb{N} gilt, dass  a_{n+1} \geq a_n .
  • Streng monoton wachsend oder streng monoton steigend, wenn für alle  n \in \mathbb{N} gilt, dass  a_{n+1} > a_n .
  • Monoton fallend, wenn für alle  n \in \mathbb{N} gilt, dass  a_{n+1} \leq a_n .
  • Streng monoton fallend, wenn für alle  n \in \mathbb{N} gilt, dass  a_{n+1} < a_n .
  • Monoton, wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist.

Monotonie von Mengenfolgen[Bearbeiten]

Eine Familie von Mengen  (A_i)_{i \in \mathbb{N}} heißt

  • Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn  A_k \subseteq A_{k+1} gilt.
  • Monoton fallend, wenn  A_k \supseteq A_{k+1} gilt.
  • Monoton, wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist.

Allgemeine Definition[Bearbeiten]

Gegeben seien zwei Mengen  A und  B , die jeweils mit einer (nicht notwendigerweise identischen) Ordnungsrelation  \leq_A und  \leq_B versehen sind.

Dann heißt eine Funktion  f\colon A \mapsto B monoton wachsend, wenn für  x,y \in A mit  x \leq_A y gilt, dass dann auch  f(x) \leq_B f(y) .

Man beachte, dass die Vergleichsoperationen mit unterschiedlichen Ordnungen operieren. Analog lässt sich auch hier monotones Fallen und die strikten Versionen definieren.

Beispiele[Bearbeiten]

Monotonie von reellwertigen Funktionen[Bearbeiten]

  • Die Funktion  f(x)=x^2 ist auf  (-\infty, 0] streng monoton fallend und auf  [0,\infty) streng monoton wachsend. Ist nämlich  x<y \iff x-y<0 und sind  x,y \leq 0 , so ist  x+y <0 und es gilt  x^2-y^2=(x-y)(x+y)>0 , da beide Faktoren echt negativ sind. Daraus folgt, dass  x^2>y^2 , also ist  f monoton fallend auf  (-\infty, 0] . Der Nachweis der Monotonie auf  [0,\infty) funktioniert analog, aber mit dem Argument, dass  x+y >0 wenn  x,y>0 ist.
  • Der Logarithmus ist streng monoton wachsend auf  (0,\infty) , denn es ist  \ln (x)-\ln(y)=\ln(x/y)<0 , wenn  x<y , da dann  0<x/y<1 ist und dementsprechend  \ln (x/y)<0 . Also ist  \ln(x)<\ln(y) .

Monotonie für vektorwertige Funktionen[Bearbeiten]

  • Die Funktion  f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n, \, f(x)=Ax+b ist genau dann monoton, wenn  A positiv semidefinit ist, da dann gilt  f(x)-f(y)=Ax+b-Ay-b=A(x-y) und aufgrund der Definition der Definitheit  (x-y)^T(f(x)-f(y))=(x-y)^TA(x-y)\geq0 . Analog lässt sich zeigen, dass die Funktion strikt monoton ist, wenn A positiv definit ist.

Monotonie von reellen Folgen[Bearbeiten]

  • Die Folge  (a_k)_{k\in\N} = \left((-1)^k\right)_{k\in\N} = (-1,1,-1,1,-1,1,\dotsc) ist weder monoton wachsend noch fallend, also auch nicht monoton.
  • Die Folge  (a_k)_{k\in\N} = \left(\tfrac{1}{k}\right)_{k\in\N} = (1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}, \dotsc) ist steng monoton fallend, denn bildet man die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenwerte  a_k-a_{k-1}=\tfrac{1}{k(k-1)} , so ist diese immer echt positiv, demnach ist  a_k > a_{k+1} . Damit ist diese Folge insbesondere auch monoton fallend und damit auch monoton.
  • Die Folge  (a_k)_{k\in\N} = \left(-\tfrac{1}{k}\right)_{k\in\N} ist streng monoton wachsend. Die Argumentation funktioniert genau wie oben, aber mit umgedrehtem Vorzeichen.
  • Eine Folge, die monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend ist, lässt sich mittels der Gaußklammer definieren als  (a_k)_{k\in\N} = \left(\lfloor \tfrac{k}{2}\rfloor\right)_{k\in\N} = (0,1,1,2,2,3,3,\dotsc) . Da hier bereits einmal ein Wert doppelt angenommen wird, kann die Folge nicht mehr streng monoton sein. Trotzdem ist sie monoton wachsend und damit auch monoton.

Monotonie von Mengenfolgen[Bearbeiten]

  • Die Mengenfolge  (A_k)_{k \in \mathbb{N}}=[0,1-1/k]_{k \in \mathbb{R}}=(\{0\},[0,1/2],[0,2/3], \dotsc) ist monoton wachsend. Dies folgt direkt aus der Monotonie der oben betrachteten reellen Folge  (a_k)_{k\in\N} = \left(\tfrac{1}{k}\right)_{k\in\N}  .
  • Genauso ist die Mengenfolge  (A_k)_{k \in \mathbb{N}}=[0,1/k]_{k \in \mathbb{N}}=([0,1],[0,1/2],[0,1/3], \dotsc) monoton fallend.

Allgemeine Definition[Bearbeiten]

  • Die allgemeine Definition enthält insbesondere die Definition für Monotonie reeller Funktionen. Dazu setzt man  A=D den Definitionsbereich,  B= \mathbb{R} und  \leq_A\,=\,\leq_B das „gewöhnliche Kleinergleich“ auf den reellen Zahlen.
  • Genauso ist die Monotoniedefinition für Folgen darin enthalten: Setze  A= \mathbb{N} und  B= \mathbb{R} jeweils mit dem normalen Kleinergleich. Dann ist eine Folge  (a_i)_{i \in \mathbb{N}} genau dann monoton (wachsend/fallend), wenn die Funktion  f\colon\mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}, \, f(i)=a_i monoton (wachsend/fallend) ist.
  • Analog lassen sich monotone Folgen für Mengen definieren. Setzt man als Ordnungsrelation  M_1 \leq_B M_b \iff M_1 \subset M_2 die Teilmengenrelation, so lässt sich wie oben zu jeder monotonen Mengenfolge eine monotone Funktion definieren.
  • Versieht man den  \mathbb{R}^n mit einer verallgemeinerten Ungleichung  x \preccurlyeq_K y , so erhält man die K-monotonen Funktionen.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten]

Für eine reelle monotone Funktion f\colon D \to \R mit D \subseteq \R gilt:

Monotonie differenzierbarer reeller Funktionen[Bearbeiten]

  • Eine auf dem Intervall [a,b] stetige und auf (a,b) differenzierbare Funktion ist genau dann monoton wachsend (bzw. monoton fallend) auf [a,b], wenn die Ableitung f'(x) nirgendwo negativ (bzw. nirgendwo positiv), also f'(x) \geq 0 (resp. f'(x) \leq 0), ist.
  • Eine auf einem Intervall I stetig differenzierbare Funktion ist genau dann streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wenn die Ableitung:
    • nirgendwo negativ (bzw. nirgendwo positiv) und
    • auf keinem echten Teilintervall konstant gleich null ist (wobei ein echtes Intervall ein Intervall mit mehr als einem Element ist).

Umkehrfunktion[Bearbeiten]

Sei I\subset\mathbb{R} ein Intervall und f\colon I\to\mathbb{R} sei streng monoton wachsend/fallend und stetig. Dann ist:

  • die Bildmenge I':= f\left(I\right) ein Intervall,
  • f\colon I\rightarrow I' bijektiv,
  • die Umkehrfunktion f^{-1}\colon I'\rightarrow I streng monoton wachsend/fallend und stetig,
  • f^{-1}\left(a\right)<b\iff a<f\left(b\right), wenn wachsend und
  • f^{-1}\left(a\right)<b\iff a>f\left(b\right), wenn fallend.

Monotoniegesetze[Bearbeiten]

Für a, b, c \in \mathbb{R} gilt:

  1. \left(a \le b \right) \Rightarrow
\left[ \left(a + c \right) \le \left( b + c \right) \right],
  2. \left(a \le b \right) \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}{a\,c \le b\,c} & \text{ wenn } & {c \ge 0} \\
{a\,c \ge b\,c} & \text{ wenn } & {c \le 0} \end{matrix} \right..

Weblinks[Bearbeiten]