Benutzer:Anthroporraistes/Notizen

• Die $\ell ^{p}$-Räume sind ein Spezialfall der Lebesgue-Räume (auf $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ mit $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ der Raum der $p$-fach integrierbaren und messbaren $f:\Omega \to \mathbb {K}$) wenn man das Zählmaß auf $\mathbb {N}$ betrachtet: $\ell ^{p}=\ell ^{p}(\mathbb {N} ,\mathbb {K} )=L^{p}(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\mu )$, denn es gilt:

Mit Hilfe des Zählmaßes auf $\mathbb {N}$ lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$:

$\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$ konvergiert absolut $\Longleftrightarrow$ $f$ ist integrierbar bzgl. des Zählmaßes auf ${\mathfrak {P}}(\mathbb {N} ).$

In diesem Fall gilt

$\int _{\mathbb {N} }f\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$.

• Man spricht von $L^{p}$-Funktionen, auch wenn es sich dabei um die gesamte Äquivalenzklasse einer klassischen Funktion handelt. Das leigt daran, dass im Falle des Lebeguemaßes auf $\mathbb {R} ^{n}$ zwei verschiedene stetige (!) Funktionen nie in derselben Äquivalenzklasse sind.
• Interpolationsungleichung, umgekehrte Hölderungleichung, verallgemeinerte Hölder-Ungleichung.
• Minkowski-Ungleichung = Dreiecksungleichung für L^p-Raum: $\|f+g\|_{L^{p}}\leq \|f\|_{L^{p}}+\|g\|_{L^{p}}$ (Beweis)
• Metrik, die noch von einer Norm erzeugt wird: Diskrete Metrik, d(x,y)=0 wenn x=y und d(x,y)=1 wenn x\neq y

Norm

Konvex

Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm, Metrik und Topologie

Weiterhin gilt für Normen die umgekehrte Dreiecksungleichung

${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leq \|x-y\|$,

was durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf $x-y+y$ und Berücksichtigung der Symmetrie gezeigt werden kann. Damit ist jede Norm eine gleichmäßig stetige Abbildung. Zudem ist eine Norm aufgrund der Subadditivität und

absoluten Homogenität eine sublineare und damit konvexe Abbildung, das heißt für alle $t\in [0,1]$ gilt

$\|tx+(1-t)y\|\leq t\|x\|+(1-t)\|y\|$.

• Nach dem Satz von Jordan-von Neumann ist dabei eine Norm genau dann durch ein Skalarprodukt induziert, wenn sie die Parallelogrammgleichung $||x-y||^{2}+||x+y||^{2}=2||x||^{2}+2||y||^{2}$ erfüllt.
• Die Einheitssphären der $p$-Normen haben im reellen Fall in zwei Dimensionen die Form von Superellipsen $(p>2)$ bzw. Subellipsen $(1\leq p<2)$ und in drei und höheren Dimensionen die Form von Superellipsoiden bzw. Subellipsoiden.

BV-Norm

Die $BV$-Norm einer eindimensionalen Funktion mit beschränkter Variation auf einem Intervall $[a,b]$ ist in Analogie zur $bv$-Norm einer Folge definiert als

$\|f\|_{BV([a,b])}=|f(a)|+\sup _{P}\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|$

Zum Eichfunktional

Minkowski stellte fest, dass es zur Festlegung eines mit der Vektorstruktur verträglichen Abstandes nur nötig ist, den Eichkörper anzugeben. Ein Eichkörper ist die Menge aller Vektoren mit der Norm beziehungsweise Länge kleinergleich eins. Beispielsweise ist die Vollkugel mit Radius eins ein Eichkörper. Minkowski stellte außerdem fest, dass der Eichkörper eine konvexe und bezüglich des Koordinatenursprunges zentralsymmetrische Teilmenge ist, siehe Minkowski-Funktional.

Duale Normen

Der Dualraum $V^{*}$ eines normierten Vektorraums $V$ über einem Körper $\mathbb {K}$ ist der Raum der stetigen linearen Funktionale von $V$ nach $\mathbb {K}$. Beispielsweise kann der Dualraum zu dem Raum der $n$-dimensionalen (Spalten-)Vektoren als der Raum der Linearkombinationen der Vektorkomponenten, also der Raum der Zeilenvektoren der gleichen Dimension gesehen werden. Die zu einer Norm $\|\cdot \|$ duale Norm $\|\cdot \|^{\ast }$ eines Funktionals $L\in V^{*}$ ist dann definiert durch

$\|L\|^{\ast }=\sup _{\|x\|\leq 1}|L\,x|=\sup _{\|x\|\not =0}{\frac {|L\,x|}{\|x\|}}$.

Topologischer Vektorraum

Sei $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$. Ein $\mathbb {K}$-Vektorraum $E$, der zugleich topologischer Raum ist, heißt topologischer Vektorraum, wenn folgende Verträglichkeitsaxiome gelten:

• Die Vektoraddition $E\times E\to E$ ist stetig,
• Die Skalarmultiplikation $\mathbb {K} \times E\to E$ ist stetig.

Beispiel einer L²-Funktion

Die Funktion $f\colon [1,+\infty ]\to \mathbb {R}$, welche durch $\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}$ definiert ist, ist eine $L^{2}$-Funktion mit $L^{2}$-Norm:

$\left(\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {1}{x}}\right|^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\int _{1}^{\infty }x^{-2}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\lim _{b\to \infty }\left[{\frac {x^{-1}}{-1}}\right]_{1}^{b}\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\lim _{b\to \infty }-{\frac {1}{b}}+1\right)^{\frac {1}{2}}=1<\infty$

Die Funktion ist aber keine $L^{1}$-Funktion, weil

$\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {1}{x}}\right|^{1}\,\mathrm {d} x=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\left[\ln(x)\right]_{1}^{b}=\lim _{b\to \infty }\ln(b)=\infty \mathrm {.}$

Andere Beispiele für $L^{2}$-Funktionen sind die Schwartz-Funktionen.

Metrik auf $\ell ^{p}$ für $0<p<1$

Es sei $\ell ^{\infty }$ der Raum der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm. Für $0<p<\infty$ sei

$\ell ^{p}:=\{(x_{n})_{n}\in \omega ;\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty \}$.

Ist $0<p<1$, so erhält man durch die Definition $\textstyle d_{p}((x_{n})_{n},(y_{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}-y_{n}|^{p}$ eine Metrik, die $\ell ^{p}$ zu einem vollständigen topologischen Vektorraum macht, der kein normierter Raum ist.

Nicht-Separabilität von $\ell ^{\infty }$

Der Raum $\ell ^{\infty }$ ist nicht separabel. Ist nämlich $A\subset \mathbb {N}$, so sei $\chi _{A}$ die Folge, die an jeder Komponente aus $A$ gleich 1 und sonst 0 ist. Dann haben die überabzählbar vielen Folgen $\chi _{A}$ paarweise den $\ell ^{\infty }$-Abstand 1 voneinander, weshalb $\ell ^{\infty }$ nicht separabel sein kann.

Warum man manchmal limsup schreibt

Der Limsup erhält Ungleichungen <=, auch wenn die Grenzwerte nicht existieren.