Borelsche σ-Algebra

Borelsche σ-Algebra ist ein Begriff aus der Mathematik, der ein Scharnier zwischen den Zweigen Topologie und Maßtheorie bildet. Jedem topologischen Raum lässt sich in eindeutiger Weise eine σ-Algebra zuordnen, die man die zugehörige borelsche σ-Algebra nennt.

Der Begriff ist nach dem Mathematiker Émile Borel benannt. Für in den Anwendungen (z. B. der Physik) auftauchende borelsche σ-Algebren lassen sich deren Elemente häufig nicht mehr einfach explizit angeben.

Definition

Für einen gegebenen topologischen Raum $\Omega$ ist die borelsche σ-Algebra definiert als die kleinste σ-Algebra, die die offenen Mengen von $\Omega$ enthält. Die Elemente dieser σ-Algebra heißen Borelmengen.

Bemerkungen

• Eine σ-Algebra auf einer Grundmenge $\Omega$ ist eine Menge von Teilmengen, die die Grundmenge enthält und die bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung abgeschlossen ist. Eine Grundmenge zusammen mit einer auf ihr erklärten σ-Algebra heißt auch Messraum.
• Dass genau eine solche kleinste σ-Algebra existiert, wird im Absatz über den σ-Operator gezeigt. Sie ist nichts anderes als der Schnitt aller σ-Algebren, die alle offenen Teilmengen enthalten. Da der Schnitt von σ-Algebren über einer gemeinsamen Grundmenge immer wieder eine σ-Algebra über dieser Grundmenge ist und die Potenzmenge immer sowohl σ-Algebra ist als auch alle offenen Teilmengen enthält, ist die Existenz dieser kleinsten σ-Algebra garantiert.
• Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines Messraums auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur heißt der Raum dann auch Borel-Raum.
• Die Klasse der Borelmengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch analytischen Mengen.

Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen

→ Hauptartikel: Borel-Hierarchie

• In der Literatur hat sich folgende von Felix Hausdorff eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:

- mit $\operatorname {F} _{\sigma }$ werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet,

- mit $\operatorname {G} _{\delta }$ alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen,

- mit $\operatorname {F} _{\sigma \delta }$ alle Durchschnitte von abzählbar vielen $\operatorname {F} _{\sigma }$-Mengen,

- mit $\operatorname {G} _{\delta \sigma }$ alle Vereinigungen von abzählbar vielen $\operatorname {G} _{\delta }$-Mengen,

- mit $\operatorname {F} _{\sigma \delta \sigma }$ alle Vereinigungen von abzählbar vielen $\operatorname {F} _{\sigma \delta }$-Mengen,

- mit $\operatorname {G} _{\delta \sigma \delta }$ alle Durchschnitte von abzählbar vielen $\operatorname {G} _{\delta \sigma }$-Mengen

usw.

Alle $\operatorname {F} _{\sigma }$, $\operatorname {G} _{\delta }$, $\operatorname {F} _{\sigma \delta }$, $\operatorname {G} _{\delta \sigma }$, $\operatorname {F} _{\sigma \delta \sigma }$, $\operatorname {G} _{\delta \sigma \delta }$,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer $\sigma$-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.

• In der deskriptiven Mengenlehre bezeichnet man die offenen Mengen auch als $\Sigma _{1}^{0}$-Mengen, die $\operatorname {F} _{\sigma }$-Mengen als $\Sigma _{2}^{0}$-Mengen, die $\operatorname {G} _{\delta \sigma }$-Mengen als $\Sigma _{3}^{0}$-Mengen, etc. Komplemente von $\Sigma _{n}^{0}$-Mengen heißen $\Pi _{n}^{0}$-Mengen; so sind etwa die $\Pi _{2}^{0}$-Mengen genau die $\operatorname {G} _{\delta }$-Mengen.

Beispiele

Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen

Gegeben sei ein separabler metrischer Raum $(X,d)$. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten Abzählbarkeitsaxiom äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste $\sigma$-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der Borelschen $\sigma$-Algebra.

Auf den Spezialfall $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $d$ die Euklidische Metrik wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen.

Die borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen

Die Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen Intervalle $(a,b)$ mit rationalen Endpunkten aufgespannt wird. Damit ist die borelsche σ-Algebra eine separable σ-Algebra. Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf $\mathbb {R}$ betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf $\mathbb {R}$, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als die borelsche σ-Algebra auf $\mathbb {R}$ bezeichnet. Sie enthält (aufgrund der Abgeschlossenheit einer σ-Algebra bezüglich der Komplementbildung) außer den offenen auch die abgeschlossenen Intervalle. Ebenfalls enthalten sind alle halboffenen Intervalle sowie alle endlichen und abzählbar unendlichen Vereinigungen von Intervallen.

Die borelsche σ-Algebra von $\mathbb {R}$ enthält nicht alle Teilmengen von $\mathbb {R}$. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche σ-Algebra von $\mathbb {R}$ gleichmächtig zu $\mathbb {R}$ ist, während die Menge aller Teilmengen von $\mathbb {R}$ eine echt größere Mächtigkeit als $\mathbb {R}$ besitzt.

Alle Borelmengen sind Lebesgue-messbar. Die umgekehrte Aussage gilt jedoch nicht; es gibt Lebesgue-messbare Mengen, die keine Borelmengen sind. Diese Mengen unterscheiden sich jedoch nur um eine Menge vom Lebesgue-Maß 0 von einer Borelmenge.

Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen

Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen $\mathbb {R} ^{n}$ wird die kanonische Topologie von den $n$-dimensionalen Quadern $(a_{1},b_{1})\times \dotsb \times (a_{n},b_{n})$ mit rationalen Koordinaten $a_{i}$ und $b_{i}$ aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die $n$-fache Produkttopologie der kanonischen Topologie auf $\mathbb {R}$. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die borelsche σ-Algebra auf $\mathbb {R} ^{n}$.

Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen $\mathbb {C}$ und $\mathbb {R} ^{2}$.

Teilmengen, die nicht zur borelschen σ-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv exotischen Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim Banach-Tarski-Paradoxon Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen σ-Algebra gehörende Teilmengen.

Anwendung

Die Menge $\Omega$ zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den Borelmaßen als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet.

Literatur

• Sashi M. Srivastava: A course on Borels sets (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7.