Banach-Tarski-Paradoxon

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Eine Kugel kann in endlich viele Teile zerlegt werden, aus denen sich zwei Kugeln jeweils von der Größe des Originals zusammensetzen lassen.

Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt. Danach kann man eine Kugel in drei oder mehr Dimensionen derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die ursprüngliche. Das Volumen verdoppelt sich, ohne dass anschaulich ersichtlich ist, wie durch diesen Vorgang Volumen aus dem Nichts entstehen können sollte. Dieses Paradoxon demonstriert, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge in der Mathematik Aspekte hat, die sich in der physischen Realität nicht wiederfinden.

Erklärung[Bearbeiten]

Erklärt wird das Paradoxon mathematisch formal damit, dass die Kugelteile dermaßen kompliziert geformt sind, dass ihr Volumen nicht mehr in einem geeigneten Sinne definierbar ist. Genauer: Es ist unmöglich, auf der Menge aller Teilmengen des dreidimensionalen Raumes \R^3 einen bewegungsinvarianten Inhalt zu definieren, der Kugeln ein Volumen ungleich null oder unendlich zuordnet. Ein Inhalt ist eine Funktion, die jeder Menge aus einem vorgegebenen Bereich von Mengen eine positive reelle Zahl oder unendlich zuordnet, Volumen der Menge genannt, sodass insbesondere das Volumen der Vereinigung zweier sich nicht überschneidender Mengen gleich der Summe der Volumina der einzelnen Mengen ist. Ein Inhalt ist bewegungsinvariant, wenn sich das Volumen einer Menge bei Drehungen, Verschiebungen und Spiegelungen nicht verändert. Jeder mathematische Volumenbegriff, der ein bewegungsinvarianter Inhalt oder gar ein bewegungsinvariantes Maß sein soll, muss daher so eingeschränkt werden, dass er für bestimmte Mengen, wie diese Mengen, in die sich die Kugel zerlegen lässt, nicht definiert ist. Etwa definiert man das Volumen dann nur für Mengen, die in der Borelschen σ-Algebra liegen oder Lebesgue-messbar sind. Hierzu zählen diese Mengen nicht. Sie sind in einem gewissen Sinne unendlich filigran und porös bzw. staubwolkenartig. Die mathematische Existenz solcher Mengen ist nicht selbstverständlich: Zum Beweis der Existenz von nicht messbaren Teilmengen im d-dimensionalen, reellen Raum \R^d benötigt man das Auswahlaxiom oder schwächere Formen davon, die nicht aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre herleitbar sind. Messbare Punktmengen hingegen verhalten sich hinsichtlich ihres Volumens additiv.

Die polnischen Mathematiker Stefan Banach und Alfred Tarski führten 1924 einen mathematischen Existenzbeweis und zeigten, dass im Fall der Kugel eine Zerlegung in nur sechs Teile ausreichend sei. Unmöglich hingegen ist ein konstruktiver Beweis im Sinne einer Handlungsanweisung, wie eine Kugel tatsächlich in sechs Teile zu zerschneiden ist, um diese in zwei Kugeln gleichen Volumens zusammensetzen zu können.

Allgemeine Formulierung[Bearbeiten]

In einer allgemeineren Formulierung dieses Satzes können sich Ausgangs- und Endkörper durch einen beliebigen Volumenfaktor unterscheiden und bis auf gewisse Einschränkungen auch beliebige, verschiedene Gestalt besitzen. Die allgemeine Formulierung dieses mathematischen Satzes in Räumen mit drei und mehr Dimensionen lautet:

Sei d \ge 3 eine ganze Zahl und seien X,Y\subset\R^d beschränkte Mengen mit nicht-leerem Inneren. Dann gibt es eine natürliche Zahl n und eine disjunkte Zerlegung X_1, \dots, X_n von X und zugehörige Bewegungen \beta_1, \dots, \beta_n derart, dass Y die disjunkte Vereinigung der Mengen \beta_1(X_1), \dots, \beta_n(X_n) ist.

Situation in einer und in zwei Dimensionen[Bearbeiten]

In der Ebene und auf der Geraden ist dieser Satz nicht gültig. Dort gibt es bewegungsinvariante Inhalte auf der Menge aller Teilmengen, die Kreisen beziehungsweise Linien ihre üblichen Flächeninhalte beziehungsweise Längen zuordnen. Diese spielen jedoch in der Mathematik kaum eine Rolle, da sie zum einen nicht eindeutig durch die Flächeninhalte von Kreisen bzw. Längen von Linien festgelegt sind,[1] und zudem keine Maße sind, d. h. die Vereinigung abzählbar vieler Mengen, die sich nicht überschneiden, hat unter Umständen einen anderen Inhalt als die Summe (im Sinne einer Reihe) der einzelnen Inhalte. Diese Eigenschaft von Maßen wird jedoch in sehr vielen Situationen benötigt, weshalb man sich auch im ein- und zweidimensionalen in aller Regel mit Inhalten begnügt, die nur auf bestimmten Teilmengen definiert sind, dafür aber sogar Maße sind. Die Nicht-Existenz eines bewegungsinvarianten Maßes auf der Menge aller Teilmengen der Gerade oder Ebene wird (unter Verwendung des Auswahlaxioms) durch den Satz von Vitali mit der Existenz der sogenannten Vitali-Mengen gezeigt.

1990 konnte Miklós Laczkovich zeigen, dass für manche Flächen zumindest ein zu obigem Satz ähnlicher Satz gilt, jedoch ohne die „Paradoxie“ einer Volumenänderung. Danach sind zwei gleich große Flächen mit hinreichend glattem Rand ebenfalls zerlegungsgleich. In diesem Sinne ist beispielsweise eine Quadratur des Kreises möglich, wenn auch nicht mit Zirkel und Lineal. Die Anzahl der für eine konstruktive Lösung erforderlichen Teile wurde von Laczkovich auf etwa 10^{50} geschätzt, wobei die Größen der größeren Teilstücke nach Laczkovich nicht eindeutig festgelegt wurden.

Ohne eine Form des Auswahlaxioms lässt sich das Theorem jedoch nicht beweisen. Robert M. Solovay konnte 1970 unter der Voraussetzung der Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl zeigen, dass ein Modell der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre existiert, in dem alle Mengen lebesgue-messbar sind. Dabei ist es sogar möglich, die Gültigkeit einer abgeschwächten Version des Auswahlaxioms aufrechtzuerhalten, nämlich das Axiom DC, das für viele Beweise der elementaren Analysis ausreicht. Zudem konnte in diesem Modell erreicht werden, dass jede Teilmenge der reellen Zahlen die Baire-Eigenschaft besitzt und dass jede überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen eine nichtleere perfekte Teilmenge enthält. Auch diese beiden Aussagen widersprechen dem allgemeinen Auswahlaxiom.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Leonard M. Wapner: Aus 1 mach 2. Wie Mathematiker Kugeln verdoppeln. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2007 (Originaltitel: The Pea and the Sun, übersetzt von Harald Höfner und Brigitte Post), ISBN 978-3-8274-1851-7 (Anspruchsvolle, aber für Nichtmathematiker verständliche Darstellung des Satzes von Banach-Tarski einschließlich der notwendigen mengentheoretischen Grundlagen, Spektrum-Artikel über das Buch, abgerufen am 5. Mai 2012).
  •  Stefan Banach, Alfred Tarski: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes. In: Fundamenta Mathematica. 6, 1924, ISSN 0016-2736, S. 244-277 (PDF Volltext, abgerufen am 5. Mai 2012).

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin, Heidelberg 1996, ISBN 3-540-15307-1, S. 4.