Gauß-Filter

Betragsfrequenzgang von $H(j\omega)$ eines Gauß-Filters mit normierter Frequenz und einer Bandbreite $B$ von 1.

Impulsantwort $h(t)$ eines Gauß-Filters

Gauß-Filter sind Frequenzfilter, welche bei der Sprungantwort keine Überschwingung aufweisen und gleichzeitig maximale Flankensteilheit im Übergangsbereich aufweisen. Als Besonderheit besitzt bei diesem Filter sowohl die Übertragungsfunktion als auch die Impulsantwort den Verlauf einer gaußschen Glockenkurve, wie in den Abbildungen rechts dargestellt, wovon sich auch der Name dieses Filtertyps ableitet.

Anwendungsbereiche dieses Filters liegen bei digitalen Modulationsverfahren und im Bereich der Bildverarbeitung.

Übertragungsfunktion

Der Betrag der Übertragungsfunktion $H(j\omega)$ ist bei Gauß-Filtern gegeben durch

$|H(j\omega)| = e^{- \left( {\frac{\omega}{2 \alpha}} \right) ^2}$

mit der Konstanten $\alpha$

$\alpha = \frac{\pi}{\sqrt{\ln(\sqrt{2})}}$.

Die Impulsantwort eines Gauß-Filters lautet

$h(t) = \frac{\alpha}{\sqrt{\pi}} e^{{-(\alpha t)}^2}$.

Anwendungen

Digitale Signalverarbeitung

Ein Rechteckimpuls, blau punktiert dargestellt, wird durch die Impulsformung eines Gauß-Filters in den rot dargestellten Signalverlauf übergeführt.

Gauß-Filter besitzen eine konstante, minimale Gruppenlaufzeit im Sperr- und Durchlassbereich. Dies erlaubt den Einsatz dieses Filters primär zur Impulsformung mit Anwendungsbereichen in der digitalen Signalverarbeitung.

Die Impulsformung findet sich bei digitalen Modulationsverfahren wie dem Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK), da damit die einzelnen, meist rechteckförmigen Sendesymbole in Impulse der gaußschen Glockenkurve mit geringerem Bandbreitenbedarf als die ursprünglichen rechteckförmigen Sendesymbole umgewandelt werden können. Damit ist eine höhere spektrale Effizienz des Modulationsverfahrens verbunden.

In Mobilfunksystemen wie GSM werden Gauß-Filter im Rahmen der GMSK-Modulation auf der Funkschnittstelle zur Übertragung der digitalen Sprach- und Steuerinformationen eingesetzt.

Weitere Anwendungen liegen bei Modulationstechniken wie dem Chirp Spread Spectrum, bei dem die unstetige Frequenzänderung bei zeitlich aufeinanderfolgenden Chirps durch Gauß-Filter geglättet wird.

Bildverarbeitung

Mit einem Gauß-Filter geglättetes Halbtonbild

In der Bildverarbeitung werden Gauß-Filter zur Glättung oder Weichzeichnen des Bildinhaltes verwendet. Es kann damit das Bildrauschen vermindert werden: Kleinere Strukturen gehen verloren, grobere Strukturen bleiben dagegen erhalten . Spektral kommt die Glättung einem Tiefpassfilter gleich.

Da ein Bild zwei Dimensionen aufweist, muss für die Bildverarbeitung die Impulsantwort auf zwei Dimensionen erweitert werden. Die Impulsantwort besitzt die beiden Argumente $x$ und $y$ entsprechend den Raumrichtungen:

$h(x,y) = \frac{\alpha^2}{\pi} e^{- \alpha^2 (x^2 + y^2)}$.

Für praktische Realisierungen im Rahmen der digitalen Bildverarbeitung wird die diskrete Impulsantwort meist in Form einer zweidimensionalen Matrix verwendet.

Alternativ wird in der Literatur bei der Beschreibung von Gauß-Filtern statt der Konstanten $\alpha$ dazu gleichwertig die Varianz $\sigma^2$ in dem Ausdruck der Impulsantwort verwendet − was das mathematische Näheverhältnis der Impulsantwort eines Gauß-Filters zu der Funktion der Normalverteilung ausdrückt. Bei einer Dimension ist die Impulsantwort:

$h(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$

Die Impulsantwort bei zwei Dimensionen ergibt sich aus dem Produkt der beiden Richtungen in x und y:

$h(x,y) = \frac{1}{{2\pi}\sigma^2}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$

Durch Ausnutzung der Separierbarkeit kann die Rechenzeit deutlich reduziert werden.

Beispiel für ein 3×3-Filter:

$\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} * \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

Literatur

•  Karl Dirk Kammeyer, Volker Kühn: MATLAB in der Nachrichtentechnik. 1 Auflage. J. Schlembach Fachverlag, 2001, ISBN 3-935340-05-2.

Weblinks

• Berechnung eines Gaußschen Filterkernels mit Javascript