Gleitender Mittelwert

Gleitender Mittelwert (auch: gleitender Durchschnitt) bezeichnet eine Art von Filtern mit endlicher Impulsantwort, die verwendet werden, um Datenpunktmengen zu analysieren. Dazu wird eine weitere Datenpunktmenge erstellt, die aus den Mittelwerten gleich großer Untermengen der ursprünglichen Datenpunktmenge besteht.

Anwendung findet der gleitende Mittelwert beispielsweise bei der Analyse von Zeitreihen. Ziel einer derartigen Operation ist die Glättung des Signals, das heißt die Anwendung eines Tiefpasses. Die ungewichtete Variante, die einer Rechteckfaltung entspricht, führt zu einer Reihe von Problemen, deren Behebung spezielle Gewichtungen erreichen.

Der gleitende Mittelwert hat in Form eines ungewichteten FIR-Filters die Stellung des einfachsten Tiefpassfilter in der Signaltheorie inne.

Prinzipielles Vorgehen

Die Menge der gleitenden Mittelwerte werden iterativ ("gleitend") über ein Fenster (Ausschnitt) eines gegebenen Signals berechnet. Das verwendete Fenster wird überlappend verschoben, d.h. wiederholt wird der erste Wert aus dem betrachteten Ausschnitt gestrichen und der erste Wert nach dem Ausschnitt hinzugenommen. Die im Fenster vorkommenden Werte können gewichtet in den resultierenden Mittelwert eingehen.

Die Menge der Mittelwerte ist für sich genommen unabhängig; häufig wird sie jedoch in den Zusammenhang mit einer Position der Eingabemenge gebracht, die auch hot spot genannt wird. Der hot spot kann im Bereich des Fensters liegen, muss aber nicht. Bei Zeitreihen wird häufig der letzte Zeitpunkt als hot spot verwendet; weiterhin sind zentrierte Abbildungen üblich.

Einfacher gleitender Mittelwert

Zentrierte gleitende Mittelwerte der Breite 3 verglichen mit einem binomial gefalteten Signal gleicher Breite. Im Gegensatz zur Dämpfung bzw. Auslöschung der hohen Frequenzen zwischen $t=7$ und $t=12$ (schnelle Wechsel zwischen hohen und niedrigen Werten) wird die Signalphase vom gleitenden Mittelwert invertiert, d.h. wo zuvor ein hoher Wert war, ist nun ein niedriger, und umgekehrt. Das Binomialfilter verursacht dagegen keine Phaseninversion.

Der einfache gleitende Durchschnitt (englisch simple moving average (SMA)) n-ter Ordnung einer diskreten Zeitreihe x(t) ist die Folge der arithmetischen Mittelwerte der jeweils letzten n aufeinanderfolgender Datenpunkte:

$m_{MA}^{(n)}(t) = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} x(t-i)$

In Analogie zu Filtern mit endlicher Impulsantwort wird auch n+1 als Ordnung genannt.

Solch ein gleitender Mittelwert hat eine Verzögerung (Gruppenlaufzeit) von $\tau = \frac{n-1}{2}$, d. h. die gemittelten Werte „hinken“ um $\tau$ Zeiteinheiten hinterher.

Diese Verzögerung kann korrigiert werden, indem man den gleitenden Mittelwert um $-\tau$ verschiebt. Dies ist der sogenannte zentrierte Mittelwert. Dann jedoch sind keine Werte mehr für die letzten $\tau$ Zeiteinheiten vorhanden. Diese Lücke kann nur geschlossen oder zumindest verkleinert werden, indem man eine geringere Ordnung, andere Gewichtungen oder einen Schätzer verwendet.

Der zentrierte einfache gleitende Mittelwert der Ordnung 3 ist also durch

$m_{MA_3}^{(n)}(t-1) = \frac{1}{3}(x(t) + x(t-1)+ x(t-2))$

gegeben.

Ein Beispiel für die Verwendung von einseitigen gleitenden Mittelwerten sind die 38- bzw. 200-Tage-Durchschnittswerte von Börsenkursen, die den gleitenden Mittelwert der vergangenen n Börsentage eines Wertpapierkurses beschreiben.

Ein Gleitender-Mittelwert-Filter ist ein Tiefpass-Filter, jedoch werden einzelne Frequenzbereiche stärker oder schwächer gefiltert und es kommt zu Signalverschiebungen (englisch Lags).

Die Wirkung eines Gleitender-Mittelwert-Filters auf ein Chirp-Signal. Bis zum mit "Artefakt" gekennzeichneten Bereich arbeitet der gleitende Mittelwert gut als Tiefpassfilter. Rechts davon jedoch wird das Signal wieder durchgelassen, mal invertiert, mal nur gedämpft. Zum Vergleich darunter ein binomiales Filter.

Gewichteter gleitende Mittelwert

Der gewichtete gleitende Mittelwert m(t) der Ordnung n einer Zeitreihe x(t) ist – analog zum Filter mit endlicher Impulsantwort – definiert als:

$m_x^{(n)}(t-\tau) = \sum_{i=0}^{n-1} w_i \; x(t-i)$

Dabei stellt w_i die Gewichtung der jeweiligen Datenpunkte dar (äquivalent zur Impulsantwort des Filters). Wenn $\tau > 0$ ist das Filter nicht kausal, sondern berücksicht zukünftige Werte bei der Durchschnittsbildung. Die Summe über alle Gewichte muss 1 ergeben, da sonst noch eine Verstärkung (Dämpfung) hinzukommt.

Ein Beispiel ist das zentrierte Binomialfilter dritter Ordnung mit $w_{0}=\tfrac14, w_{1}=\tfrac12, w_{2}=\tfrac14$ und $\tau = 1$

$m_{BIN}(t-1) = \tfrac14 x(t) + \tfrac12 x(t-1) + \tfrac14 x(t-2)$

Spektrale Eigenschaften

Übertragungsfunktion im Frequenzbereich des gleitenden Mittelwerts der Breite 3

Bildet man den zentrierten gleitenden Mittelwert $n$-ter Ordnung $\bar X^{(n)}$ einer schwachstationären Zeitreihe $X_t$ mit Spektraldichte $f_X$, dann hat $\bar X^{(n)}$ die gefilterte Spektraldichte

$|\varphi(\omega)|^2\cdot f_X(\omega)$

mit der Übertragungsfunktion

$|\varphi(\omega)|^2 := \frac{2\pi}n k_n(\omega)$,

wobei $k_n$ den Fejér-Kern bezeichnet. An der grafischen Darstellung für $n=3$ mit Übertragungsfunktion $\varphi(\omega)_{\text{MA}_3} = (1 + 2\cos(\omega))/3$ kann man die Tiefpass-Eigenschaft erkennen: Frequenzen nahe 0 werden nicht gedämpft. Andererseits zeigt dieses einfache Filter das übliche Antwortverhalten bei der Faltung mit einem Rechtecksignal. Bei einer Filterbreite von 3 werden die Frequenzen bis zum Punkt $\omega = \tfrac23\pi$ zunehmend bis zur vollständigen Unterdrückung gedämpft. Frequenzen, die über diesen Punkt hinaus vorhanden sind, werden nicht etwa auch unterdrückt, sondern treten mit invertierter Phase auf.

Das kleinste Binomialfilter mit ungerader Breite und mit den Gewichten $\tfrac14, \tfrac12, \tfrac14$ ist ein Tiefpass-Filter mit $\varphi(\omega)_{\text{BIN}_3} = (1+ cos(\omega))/2 \ge 0$ für alle Frequenzen. Es dämpft die Frequenzen bis $\omega = \pi$ zunehmend und mit konstanter Phasenverschiebung.

Chirp-Signal bis zur Nyquist-Frequenz (oben) und mit gleitendem Mittelwert (Breite: 7) gefaltete Variante (Mitte). Unten zum Vergleich eine mit einem Binomialfilter gefaltetes Signal (Breite: 7). Die Glättung mit dem gleitenden Mittelwert sollte zu einem Signal führen, das die tiefen Frequenzen (links) unverändert enthält, die hohen Frequenzen (rechts) jedoch herausfiltert. Zwischen dieses Extremen wird zunehmend gedämpft. Der ungewichtete gleitende Mittelwert (Mitte) erfüllt diese Aufgabe nur sehr unzureichend, das Binomialfilter dagegen erheblich besser.

Linear gewichteter gleitender Mittelwert

Ein linear gewichteter gleitender Mittelwert (engl.: linear weighted moving average (LWMA, meist: WMA)) ordnet den Datenpunkten linear aufsteigende Gewichte zu, d. h. je weiter die Werte in der Vergangenheit liegen, desto geringer ist ihr Einfluss:

$w_i = \frac{2i}{n (n+1)} \quad \forall i=1, \dots, n$

$m_{LWMA}^{(n)}(t) = \frac{2}{n (n+1)} \sum_{i=1}^n i \; x(t-n+i)$

Exponentiell geglätteter Mittelwert

Siehe auch: Exponentielle Glättung

Der exponentiell geglättete Mittelwert ordnet den Datenpunkten einer Zeitreihe exponentiell abnehmende Gewichte zu. Somit werden auch hier jüngere Datenpunkte stärker gewichtet als weiter zurückliegende, jedoch noch stärker als beim gewichteten gleitenden Mittelwert.

$m_{EMA}^{(n)}(t) = \alpha x(t) + (1 - \alpha) m_{EMA}^{(n)}(t-1)$

Da der exponentielle Mittelwert nicht nur Werte aus der Zeitreihe, sondern auch vorangegangene Mittelwerte miteinbezieht, stellt er ein Filter mit unendlicher Impulsantwort dar. Ein entscheidender Vorteil ist seine wesentlich kürzere Verzögerung bei gleicher Glättung.

Siehe auch

• ARMA-Modell

Literatur

• Proakis, Manolakis, Digital Signal Processing, Prentice Hall, NJ, 4th Edition, 2006, ISBN 978-0-131-87374-2

Weblinks

•  Wikibooks: Gleitende Durchschnitte – Lern- und Lehrmaterialien