Fermi-Dirac-Statistik

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Die Fermi-Dirac-Statistik (nach dem italienischen Physiker Enrico Fermi[1] und dem britischen Physiker Paul Dirac[2]) ist ein Begriff der physikalischen Quantenstatistik. Sie beschreibt das makroskopische Verhalten eines Systems, das aus vielen gleichen Teilchen vom Typ Fermion besteht, und gilt z. B. für die Elektronen, die in Metallen und Halbleitern für die elektrische Leitfähigkeit sorgen.

Die Ausgangspunkte der Fermi-Dirac-Statistik sind:

  • Keiner der Zustände der einzelnen Teilchen kann mit mehr als einem Teilchen besetzt sein (Pauli-Prinzip).
  • Vertauscht man zwei Teilchen miteinander, erhält man keinen neuen Zustand (der in der statistischen Betrachtung extra zu zählen wäre), sondern denselben wie vorher (Prinzip der Ununterscheidbarkeit gleicher Teilchen).

Die Fermi-Verteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit W in einem idealen Fermi-Gas bei gegebener absoluter Temperatur T ein Zustand der Energie E von einem der Teilchen besetzt ist. In der statistischen Physik wird die Fermi-Verteilung aus der Fermi-Dirac-Statistik für gleichartige Fermionen für den wichtigen Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit hergeleitet.[1]

Zur vollständigen Beschreibung der Fermi-Dirac-Statistik siehe Quantenstatistik. Für eine vereinfachte Herleitung siehe Ideales Fermigas.

Beschreibung[Bearbeiten]

Fermi-Verteilung für verschiedene Temperaturen,
zunehmende Abrundung mit steigender Temperatur
(rote Linie: T = 0 K)

Allgemeine Formel[Bearbeiten]

In einem System der Temperatur T \!\, lautet die Fermi-Verteilung W(E), die die Besetzungswahrscheinlichkeit misst:

W(E) = \frac{1}{\exp{\left(\frac{E-\mu}{k_\mathrm{B}T}\right)}+1}

mit

Wird die Energie E\, vom tiefstmöglichen Einteilchenzustand aus gerechnet, heißt E_F\, auch Fermi-Energie. Die Besetzungswahrscheinlichkeit W für einen Zustand mit der Energie des Fermi-Niveaus E\mathord = E_F \!\, ist bei allen Temperaturen:

W(E \mathord = E_F) = \frac 1 {e^0+1}= \frac{1}{2} \ .

Um die bei der Energie E \, herrschende Teilchendichte \langle n(E)\rangle zu berechnen, z. B. für Elektronen in einem Metall, muss die Fermi-Verteilung noch mit der Zustandsdichte D(E) \!\, multipliziert werden:

\langle n(E)\rangle = W(E)\cdot D(E)\ .

am absoluten Temperaturnullpunkt[Bearbeiten]

Am absoluten Temperaturnullpunkt T = 0\,\mathrm{K} befindet sich das Fermi-Gas als ganzes in seinem energetisch tiefst möglichen Zustand, also im Grundzustand des Vielteilchensystems. Da (bei genügend großer Teilchenzahl) nach dem Pauli-Prinzip nicht alle Teilchen den Einteilchengrundzustand besetzen können, müssen sich auch am absoluten Temperaturnullpunkt T = 0\,\mathrm{K} Teilchen in angeregten Einteilchenzuständen befinden. Anschaulich lässt sich das mit der Vorstellung eines Fermi-Sees beschreiben: jedes hinzugefügte Fermion besetzt den tiefstmöglichen Energiezustand, welcher noch nicht von einem anderen Fermion besetzt ist. Die „Füllhöhe“ bestimmt sich aus der Dichte der besetzbaren Zustände und der Anzahl der unterzubringenden Teilchen.

Entsprechend hat die Fermi-Verteilung für die Temperatur T = 0 K einen scharfen Sprung bei der Fermi-Energie E_\mathrm{F} = \mu \!\,, die daher auch Fermi-Kante oder Fermi-Grenze genannt wird (siehe Abbildung).

  • alle Zustände mit E < EF sind besetzt, da hier gilt: W(E) = 1, d. h. die Wahrscheinlichkeit, in einem solchen Zustand eins der Fermionen anzutreffen, ist Eins.
  • keiner der Zustände mit E > EF ist besetzt, da hier gilt: W(E) = 0, d. h. die Wahrscheinlichkeit, in einem solchen Zustand eins der Fermionen anzutreffen, ist Null.

Das Fermi-Niveau bei T = 0\,\mathrm{K} ist daher durch die Anzahl und energetische Verteilung der Zustände und die Anzahl der Fermionen, die in diesen Zuständen unterzubringen sind, festgelegt. In der Formel erscheint nur eine Energiedifferenz. Gibt man die Größe der Fermi-Energie allein an, ist es die Energiedifferenz des höchsten besetzten zum tiefstmöglichen Einteilchenzustand. Zur Veranschaulichung oder zur schnellen Abschätzung von temperaturabhängigen Effekten wird diese Größe oft als Temperaturwert – die Fermi-Temperatur – ausgedrückt:

T_\mathrm{F} = \frac {E_\mathrm{F}} {k_\mathrm{B}} \!\,.

Bei der Fermi-Temperatur wäre die thermische Energie k_\mathrm{B}T \!\, gleich der Fermi-Energie. Dieser Begriff hat nichts mit der realen Temperatur der Fermionen zu tun, er dient nur der Charakterisierung von Energieverhältnissen.

bei endlichen Temperaturen[Bearbeiten]

Im Temperaturbereich T \ll T_F \, bezeichnet man das System als entartetes Fermi-Gas, denn es wird maßgeblich durch das Ausschließungsprinzip bestimmt, dem zufolge die Besetzungszahl eines Zustands nicht größer als Eins sein kann. Ausgehend von T = 0 werden bei Erwärmung Zustände oberhalb der Fermi-Energie EF (T = 0 K) mit Fermionen besetzt. Dafür bleiben gleich viele Zustände unterhalb der Fermi-Energie leer und werden als Löcher bezeichnet. Die Fermi-Verteilung gibt die Besetzungswahrscheinlichkeit im Gleichgewichtszustand zur Temperatur T > 0 K an.

Im Bereich des entarteten Fermi-Gases, also bei Temperaturen weit unterhalb der Fermi-Temperatur TF, ist die scharfe Fermi-Kante in einem Bereich der Breite ~ 2kBT abgerundet („aufgeweicht“, s. Abb.). Zustände mit kleineren Energien sind nach wie vor nahezu voll besetzt (W \mathord\lessapprox 1), die Zustände bei höheren Energien nur sehr schwach (0\mathord < W \mathord \ll 1).

Da nach wie vor die gleiche Teilchenzahl auf die möglichen Zustände zu verteilen ist, kann sich die Fermi-Energie mit der Temperatur verschieben. Ist die Zustandsdichte im Bereich der angeregten Teilchen kleiner als bei den Löchern, muss die Fermi-Energie steigen, im entgegengesetzten Fall sinken.

bei sehr hohen Temperaturen[Bearbeiten]

Bei sehr hohen Energien E\mathord \gg E_F und/oder bei sehr hohen Temperaturen (T\mathord \gg T_F\Leftrightarrow k_\mathrm{B} T \gg E_F) lässt sich die Fermi-Verteilung durch die klassische Boltzmann-Verteilung nähern:

W(E)\propto \exp{\left(-\frac{E}{k_\mathrm{B}T}\right)}.

Hier gilt immer W(E) \ll 1. Das Fermi-Gas verhält sich wie ein klassisches Gas, es ist nicht entartet. Die Fermi-Energie liegt dann weit unter dem niedrigsten besetzbaren Niveau.

Fermi-Verteilung bei Metallen[Bearbeiten]

Für die Leitungselektronen in einem Metall liegt die Fermi-Energie E_F \!\, bei einigen Elektronenvolt, entsprechend einer Fermi-Temperatur T_\mathrm{f} \!\, von einigen 10.000 K. Dies hat zur Folge, dass die thermische Energie k_{B}T viel kleiner ist als die typische Breite des Leitungsbands. Es handelt sich um ein entartetes Elektronengas. Der Beitrag der Elektronen zur Wärmekapazität ist daher schon bei Raumtemperatur vernachlässigbar und kann störungstheoretisch berücksichtigt werden. Die Temperaturabhängigkeit der Fermi-Energie ist sehr gering (meV-Bereich) und wird oft vernachlässigt.

Fermi-Verteilung bei Halbleitern und Isolatoren[Bearbeiten]

Für Halbleiter und Isolatoren liegt das Fermi-Niveau in der verbotenen Zone. Im Bereich der Fermi-Kante existieren daher keine Zustände, deren Besetzung deutlich von der Temperatur abhängen kann. Dies führt dazu, dass bei einer Temperatur T = 0 K das Valenzband vollständig mit Elektronen besetzt und das Leitungsband unbesetzt ist, und dass es bei T > 0 K nur sehr wenige Löcher bzw. angeregte Elektronen gibt. Durch Einbringen von Fremdatomen mit zusätzlichen Ladungsträgern (Donator- oder Akzeptordotierung) kann das Fermi-Niveau nach unten bzw. nach oben verschoben werden, was die Leitfähigkeit stark erhöht. In diesem Fall verschiebt sich auch mit der Temperatur das Fermi-Niveau deutlich. Daher arbeiten z. B. elektronische Schaltungen auf Basis von Halbleitern (wie im Computer) nur in einem engen Temperaturbereich richtig.

Herleitung der Fermi-Dirac-Statistik aus einem Minimum der freien Energie[Bearbeiten]

Schematisches Zustands-, Energie- und Besetzungsdiagramm für ein System von 7 Energie-Niveaus  E_1 \dots E_7 , jeweils  D_i -fach entartet und  N_i -fach fermionisch besetzt.

Aus der Bedingung, dass im thermischen Gleichgewicht (bei festem T, N und Volumen V) die freie Energie  F = E - TS ein Minimum annimmt, kann die Fermi-Dirac-Statistik auf schöne Art hergeleitet werden. Dazu betrachten wir N Fermionen - beispielsweise Elektronen -, die über Niveaus  i=1, 2, 3 \dots I verteilt sind. Die Niveaus haben Energien  E_1, E_2, E_3 \dots E_I und sind jeweils  D_1, D_2, D_3 \dots D_i - fach entartet (s. Abb.), können demnach maximal  D_i Elektronen aufnehmen (Pauli-Prinzip). Die Anzahl Elektronen im  i-ten Niveau wird mit N_i bezeichnet. Für den Makrozustand des Systems ist unerheblich, welche der N Elektronen im  i-ten Niveau sind und welche der  D_i Zustände darin sie besetzen. Der Makrozustand wird daher vollständig durch die Folge der Zahlen N_1, N_2,\dots bestimmt.

Für eine beliebige Verteilung der Elektronen auf die Niveaus gilt:

 N = \sum_{i=1}^I N_i  \qquad \textrm{(1)}
 E = \sum_{i=1}^I N_i E_i \qquad  \textrm{ (2)}
 S= k \ln W  \qquad  \textrm{ (3)}.

Gleichung (1) gibt die Gesamtzahl der Teilchen wieder, die konstant gehalten werden soll, während die einzelnen N_i variiert werden, um das Minimum von F zu finden. Gleichung (2) gibt die zur vorliegenden Verteilung gehörende Energie E des Systems an, wie sie in die Formel für F einzusetzen ist. Gleichung (3) ist (nach Ludwig Boltzmann) die Entropie des Zustands des Systems (Makrozustand), wobei W = \prod_{i=1}^I W_i die thermodynamische Wahrscheinlichkeit für die betreffende Folge der Besetzungszahlen N_1, N_2,\dots, angibt, also die Anzahl der möglichen Verteilungen (Mikrozustände) von jeweils N_i Elektronen auf D_i Plätze, für alle Niveaus  i=1, 2, 3 \dots I zusammen.

Um die Verteilung zu finden, bei der durch Variation der N_i unter der Nebendingung N=const die freie Energie F minimal wird, benutzen wir die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Es ergibt sich

 \frac{\partial F}{\partial N_i} = \lambda  \frac{\partial N}{\partial N_i} \equiv \lambda  für alle i.

Darin ist \lambda der (von i unabhängige) Lagrange-Multiplikator. Für die Berechnung der Ableitung  \tfrac{\partial F}{\partial N_i} wird die explizite Formel für S benötigt:  S= k \ln W = k  \ln \prod_{i=1}^I W_i = k \sum_ {i=1}^I \ln W_i

Dabei ist


\begin{align}
W_i & = \binom{D_i}{N_i}\\
  & = \frac{D_i!}{N_i! [D_i-N_i]!}.
\end{align}

der Binomialkoeffizient, d.h. die Anzahl der Möglichkeiten, unter D_i Objekten N_i verschiedene auszuwählen.

Mit Hilfe der vereinfachten Stirlingformel  \ln k! \approx k \ln k - k ergibt sich weiter


\begin{align}
\ln W_i & \approx D_i \ln D_i -D_i - N_i \ln N_i + N_i - [D_i-N_i] \ln [D_i - N_i] + [D_i-N_i]\\
 & = D_i \ln D_i - N_i \ln N_i - [D_i-N_i] \ln [D_i - N_i]
\end{align}

und damit


\begin{align}
\frac {\partial \ln W_i} {\partial N_i} & \approx  - \ln N_i - 1 + \ln[D_i - N_i] + 1\\
 & = -\ln N_i + \ln[D_i - N_i]\\
 & = \ln ([D_i/N_i-1] ).
\end{align}

Insgesamt wird Gleichung (2) zu


\lambda = \frac{\partial F}{\partial N_i} = \frac{\partial E}{\partial N_i} - T\frac{\partial S}{\partial N_i} = E_i - kT\frac{\partial \ln W_i}{\partial N_i} = E_i - kT \ln ([D_i/N_i-1]) .

Einsetzen der durch f_i := \frac{N_i}{D_i} gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit f_i und Umstellung ergibt:

 f_i = \frac{1}{ \exp\frac{E_i - \lambda}{kT} + 1 } .

Dies ist die Fermi-Dirac-Statistik. Der Langrangemultiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential \mu = \lambda.

Beobachtungen[Bearbeiten]

In Festkörpern kann die Fermi-Verteilung sehr gut beobachtet werden, wenn die elektronische Besetzungsdichte des Leitungsbandes in Abhängigkeit von der Energie gemessen wird. Ein besonders gutes Beispiel für das ideale Fermigas liegt bei Aluminium vor. Mit solchen Studien lässt sich auch das Auflösungsvermögen einer Messapparatur bestimmen, indem man den Verlauf der Verteilung bei einer bestimmten Temperatur misst und mit der Formel für die Fermi-Verteilung vergleicht.

Weitere Beispiele zur Bedeutung siehe unter Fermi-Energie.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Enrico Fermi: Zur Quantelung des einatomigen idealen Gases, Zeitschrift für Physik Bd. 36, 1926, S. 902–912 DOI: 10.1007/BF01400221
  2. P.A.M. Dirac: On the Theory of Quantum Mechanics, in: Proceedings of the Royal Society of London. Series A Bd. 112 (1926) S. 661-677 DOI: 10.1098/rspa.1926.0133

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Ellen Ivers-Tiffée, Waldemar von Münch: Werkstoffe der Elektrotechnik. 10. Auflage. Vieweg+Teubner, 2007, ISBN 978-3-8351-0052-7.
  •  Michael Reisch: Halbleiter-Bauelemente. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2004, ISBN 3-540-21384-8.
  •  U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics - a Concise Overview. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (in Englisch).