Sinus Hyperbolicus (rot) Kosinus Hyperbolicus (blau) Tangens Hyperbolicus (grün)
Kosekans Hyperbolicus (rot) Sekans Hyperbolicus (blau) Kotangens Hyperbolicus (grün)
Zu den Hyperbelfunktionen gehören:
sinh und cosh sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph . Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse.
Definition
Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
im Punkt
(
cosh
A
,
sinh
A
)
{\displaystyle (\cosh A,\sinh A)}
, wobei
A
{\displaystyle A}
die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild an der
x
{\displaystyle x}
-Achse, und der Hyperbel ist.
Definition über die Exponentialfunktion
Mittels der Exponentialfunktion können sinh und cosh wie folgt definiert werden:
sinh
(
z
)
:=
e
z
−
e
−
z
2
{\displaystyle \sinh(z):={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}
cosh
(
z
)
:=
e
z
+
e
−
z
2
{\displaystyle \cosh(z):={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}}
Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode).
Die Potenzreihen von cosh(z ) und sinh(z ) entstehen aus denen von cos(z ) und sin(z ), indem alle Minuszeichen durch Pluszeichen ersetzt werden.
Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel
Der Name Hyperbelfunktionen stammt daher, dass sie zur Parametrisierung der Hyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
verwendet werden können:
x
=
cosh
(
t
)
,
y
=
sinh
(
t
)
{\displaystyle x=\cosh(t),y=\sinh(t)}
ganz in Analogie zum Kreis
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
, der durch Sinus und Kosinus parametrisiert werden kann:
x
=
cos
(
t
)
,
y
=
sin
(
t
)
{\displaystyle x=\cos(t),y=\sin(t)}
Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Fläche
A
{\displaystyle A}
, die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der
x
{\displaystyle x}
-Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.
Dabei ist sinh(A ) die (positive)
y
{\displaystyle y}
-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und cosh(A ) die dazugehörige
x
{\displaystyle x}
-Koordinate.
tanh(A ) ist die
y
{\displaystyle y}
-Koordinate der Geraden bei
x
=
1
{\displaystyle x=1}
, d. h. die Steigung der Geraden.
Berechnet man die Fläche durch Integration , erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.
Eigenschaften der reellen Hyperbelfunktionen
Graph der reellen Hyperbelfunktionen
Für alle reellen Zahlen
x
{\displaystyle x}
sind auch
sinh
(
x
)
{\displaystyle \sinh(x)}
und
cosh
(
x
)
{\displaystyle \cosh(x)}
reell.
Die reelle Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
ist streng monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.
Die reelle Funktion
cosh
{\displaystyle \cosh }
ist für Werte
<
0
{\displaystyle <0}
streng monoton fallend, für Werte
>
0
{\displaystyle >0}
streng monoton steigend und besitzt bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
ein globales Minimum.
Wegen
sinh
,
cosh
:
R
↦
R
{\displaystyle \sinh ,\cosh \colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} }
gelten alle Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen, die im nachfolgenden Absatz aufgeführt sind, auch für die Funktionen, die auf die reellen Zahlen eingeschränkt sind.
Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen
Für alle komplexen Zahlen
z
,
z
1
,
z
2
{\displaystyle z,z_{1},z_{2}}
gilt:
Symmetrie und Periodizität
sinh
(
z
)
=
−
sinh
(
−
z
)
{\displaystyle \sinh(z)=-\sinh(-z)}
, d. h. sinh ist eine ungerade Funktion .
cosh
(
z
)
=
cosh
(
−
z
)
{\displaystyle \cosh(z)=\cosh(-z)}
, d. h. cosh ist eine gerade Funktion.
sinh
(
z
)
=
sinh
(
z
+
2
π
i
)
und
cosh
(
z
)
=
cosh
(
z
+
2
π
i
)
{\displaystyle \sinh(z)=\sinh(z+2\pi i)\quad {\text{ und }}\quad \cosh(z)=\cosh(z+2\pi i)}
,
d. h. es liegt rein „imaginäre Periodizität“ vor mit minimaler Periodenlänge
2
π
{\displaystyle 2\pi }
.
Additionstheoreme
sinh
(
z
1
±
z
2
)
=
sinh
(
z
1
)
⋅
cosh
(
z
2
)
±
sinh
(
z
2
)
⋅
cosh
(
z
1
)
{\displaystyle \sinh(z_{1}\pm z_{2})=\sinh(z_{1})\cdot \cosh(z_{2})\pm \sinh(z_{2})\cdot \cosh(z_{1})}
cosh
(
z
1
±
z
2
)
=
cosh
(
z
1
)
⋅
cosh
(
z
2
)
±
sinh
(
z
1
)
⋅
sinh
(
z
2
)
{\displaystyle \cosh(z_{1}\pm z_{2})=\cosh(z_{1})\cdot \cosh(z_{2})\pm \sinh(z_{1})\cdot \sinh(z_{2})}
tanh
(
z
1
±
z
2
)
=
tanh
(
z
1
)
±
tanh
(
z
2
)
1
±
tanh
(
z
1
)
tanh
(
z
2
)
{\displaystyle \tanh(z_{1}\pm z_{2})={\frac {\tanh(z_{1})\pm \tanh(z_{2})}{1\pm \tanh(z_{1})\tanh(z_{2})}}}
Zusammenhänge
cosh
2
(
z
)
−
sinh
2
(
z
)
=
1
{\displaystyle {\cosh }^{2}(z)-{\sinh }^{2}(z)=1}
Ableitung
Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus lautet:
d
d
z
sinh
(
z
)
=
cosh
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\sinh }(z)=\cosh(z)}
.
Die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus lautet:
d
d
z
cosh
(
z
)
=
sinh
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\cosh }(z)=\sinh(z)}
.
Die Ableitung der Tangens Hyperbolicus lautet:
d
d
z
tanh
(
z
)
=
1
−
tanh
2
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\tanh }(z)=1-{\operatorname {tanh} }^{2}(z)}
.
Differentialgleichung
Die Funktionen
sinh
(
z
)
{\displaystyle \sinh(z)}
und
cosh
(
z
)
{\displaystyle \cosh(z)}
bilden wie
e
z
{\displaystyle e^{z}}
und
e
−
z
{\displaystyle e^{-z}}
eine Basis der (linearen) Differentialgleichung
d
2
d
z
2
f
(
z
)
=
f
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}f(z)=f(z)}
.
Fordert man allgemein für die beiden Basislösungen
f
i
(
z
)
{\displaystyle f_{i}(z)}
dieser Differentialgleichung 2-ter Ordnung noch
f
1
(
0
)
=
0
{\displaystyle f_{1}(0)=0}
und
f
2
(
0
)
=
1
{\displaystyle f_{2}(0)=1}
, so sind sie bereits eindeutig durch sinh und cosh festgelegt. Sprich, diese Eigenschaft kann ebenfalls als Definition dieser beiden Hyperbelfunktionen herangezogen werden.
Bijektivität der komplexen Hyperbelfunktionen
sinh
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A
:=
{
z
∈
C
∣
−
π
/
2
<
Im
z
<
π
/
2
}
{\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} \mid -\pi /2<\operatorname {Im} \,z<\pi /2\}}
B
:=
{
z
∈
C
∣
Re
z
≠
0
∨
Im
z
=
±
1
}
{\displaystyle B:=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} \,z\neq 0\vee \operatorname {Im} \,z=\pm 1\}}
Dann bildet die komplexe Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
den „Streifen“
A
{\displaystyle A}
bijektiv auf
B
{\displaystyle B}
ab.
cosh
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A
:=
{
z
∈
C
∣
0
<
Im
z
<
π
}
{\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<\operatorname {Im} \,z<\pi \}}
B
:=
{
z
∈
C
∣
Im
z
≠
0
∨
Re
z
=
±
1
}
{\displaystyle B:=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} \,z\neq 0\vee \operatorname {Re} \,z=\pm 1\}}
Dann bildet die komplexe Funktion
cosh
{\displaystyle \cosh }
den „Streifen“
A
{\displaystyle A}
bijektiv auf
B
{\displaystyle B}
ab.
Alternative Namen
Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
Für
sinh
{\displaystyle \sinh }
sind auch die Namen hsin , Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
Für
cosh
{\displaystyle \cosh }
sind auch die Namen hcos , Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich. Der Graph entspricht der Kettenlinie (Katenoide).
Abgeleitete Funktionen
Tangens Hyperbolicus
tanh
(
x
)
:=
sinh
(
x
)
cosh
(
x
)
{\displaystyle \tanh(x):={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}}
Cotangens Hyperbolicus
coth
(
x
)
:=
1
tanh
(
x
)
=
cosh
(
x
)
sinh
(
x
)
{\displaystyle \coth(x):={\frac {1}{\tanh(x)}}={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}}
Secans Hyperbolicus
sech
(
x
)
:=
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (x):={\frac {1}{\cosh(x)}}}
Cosecans Hyperbolicus
csch
(
x
)
:=
1
sinh
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (x):={\frac {1}{\sinh(x)}}}
Umrechnungstabelle
Funktion
sinh
{\displaystyle \sinh }
cosh
{\displaystyle \cosh }
tanh
{\displaystyle \tanh }
coth
{\displaystyle \coth }
sech
{\displaystyle \operatorname {sech} }
csch
{\displaystyle \operatorname {csch} }
sinh
(
x
)
=
{\displaystyle \sinh(x)=}
sinh
(
x
)
{\displaystyle \sinh(x)\,}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x){\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}
tanh
(
x
)
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\tanh(x)}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle {\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
sech
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}{\operatorname {sech} (x)}}}
1
csch
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {csch} (x)}}}
cosh
(
x
)
=
{\displaystyle \cosh(x)=}
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,\cosh(x)}
1
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}}
|
coth
(
x
)
|
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,{\frac {\left|\coth(x)\right|}{\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}}
1
sech
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\operatorname {sech} (x)}}}
1
+
csch
2
(
x
)
|
csch
(
x
)
|
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}{\left|\operatorname {csch} (x)\right|}}}
tanh
(
x
)
=
{\displaystyle \tanh(x)=}
sinh
(
x
)
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sinh(x)}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}{\cosh(x)}}}
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,\tanh(x)}
1
coth
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\coth(x)}}}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}
sgn
(
x
)
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}}
coth
(
x
)
=
{\displaystyle \coth(x)=}
1
+
sinh
2
(
x
)
sinh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}{\sinh(x)}}}
sgn
(
x
)
cosh
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\cosh(x)}{\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}}
1
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\tanh(x)}}}
coth
(
x
)
{\displaystyle \,\coth(x)}
sgn
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}}
sgn
(
x
)
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}
sech
(
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {sech} (x)=}
1
1
+
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(x)}}}}
1
cosh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\cosh(x)}}}
1
−
tanh
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}}
coth
2
(
x
)
−
1
|
coth
(
x
)
|
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}{\left|\coth(x)\right|}}}
sech
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sech} (x)}
|
csch
(
x
)
|
1
+
csch
2
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\left|\operatorname {csch} (x)\right|}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}}
csch
(
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {csch} (x)=}
1
sinh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {1}{\sinh(x)}}}
sgn
(
x
)
cosh
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}}
1
−
tanh
2
(
x
)
tanh
(
x
)
{\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1-\tanh ^{2}(x)}}{\tanh(x)}}}
sgn
(
x
)
coth
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\coth ^{2}(x)-1}}}
sgn
(
x
)
sech
(
x
)
1
−
sech
2
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\operatorname {sech} (x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}}
csch
(
x
)
{\displaystyle \,\operatorname {csch} (x)}
Umkehrfunktionen
Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen .
Siehe auch:
Zusammenhang mit den Kreisfunktionen
Literatur
Ilja N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik . Deutsch (Harri).
Weblinks