Arkussinus und Arkuskosinus

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Arkussinus und Arkus­kosinus im kartesi­schen Koordinaten­system
  • arcsin (x)
  • arccos (x)

Der Arkussinus – geschrieben \rm arcsin oder \rm asin – und der Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus) – geschrieben \rm arccos oder \rm acos – sind Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion: Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, wird zu ihrer Umkehrung der Definitionsbereich des Sinus auf das Intervall [-\pi/2;\pi/2] und der des Kosinus auf das Intervall [0;\pi] eingeschränkt. Sinus bzw. Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton.

Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (natürlich ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise f^{-1} beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen \sin^{-1} und \cos^{-1} die klassische Schreibweise \arcsin bzw. \arccos zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.[1]

Definitionen[Bearbeiten]

Die Sinusfunktion ist 2\pi-periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert)

\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right],

die Umkehrfunktion der Einschränkung \sin|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]} der Sinusfunktion auf das Intervall \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right], betrachtet.

Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von \cos|_{[0,\pi]} definiert. Dies ergibt mit

\arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi]

ebenfalls eine bijektive Funktion. Mittels

\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}

lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  Arkussinus Arkuskosinus
Funktions-
Graphen
Arcsin Arccos
Definitionsbereich x\in [-1,1] x\in [-1,1]
Wertebereich -\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2} 0\le f(x) \le\pi
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion: \arcsin(-x) = -\arcsin(x)\! Punktsymmetrie zu \left(x=0\;,\;y =\tfrac{\pi}{2}\right),
\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\!
Asymptoten f(x) \to\pm \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1 f(x) \to \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1
Nullstellen x = 0\! x = 1\!
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte x = 0\! x = 0\!

Formeln für negative Argumente[Bearbeiten]

Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:

\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\,
\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\,

Reihenentwicklungen[Bearbeiten]

Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

\begin{align}\arcsin(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \frac{x^{2k+1}}{4^{k}(2k+1)} \\
&= x \;+\; \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} \;+\; \frac{1\!\cdot\!3}{2\!\cdot\!4}\cdot\frac{x^5}{5} \;+\; \frac{1\!\cdot\!3\!\cdot\!5}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6}\cdot\frac{x^7}{7} \;+\; \cdots
\end{align}

Der Ausdruck k!! bezeichnet dabei die Doppelfakultät.

Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung \arccos x =  \tfrac{\pi}{2} - \arcsin x  :

\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} \frac{x^{2k+1}}{4^k(2k+1)}

Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1.

Integraldarstellungen[Bearbeiten]

Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:

 \arcsin(x) = \int \limits_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}}
 \arccos(x) = \int \limits_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}}

Verkettungen mit Sinus und Kosinus[Bearbeiten]

Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}, denn für y=\arccos(x)\! gilt y\in \left[ 0, {\pi} \right] und \sin(y)=\sqrt{1-\cos^2 y}.
\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}, denn für y=\arcsin(x)\! gilt y\in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] und \cos(y)=\sqrt{1-\sin^2 y}.
\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, denn für y=\arctan(x)\! gilt y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ und \sin(y)=\frac{\tan y}{\sqrt{1+\tan^2y}}.
\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, denn für y=\arctan(x)\! gilt y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ und \cos(y)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2y}}.

Beziehung zum Arkustangens[Bearbeiten]

Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt

 \arcsin(x) = \sgn(x) \cdot \arctan \left(\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}} \right)
 \arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sgn(x) \cdot \arctan \left(\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}} \right)

für |x|<1. Definiert man \arctan \frac {1}{0}\colon =\lim_{t \to \infty} \arctan t=\frac {\pi}{2}, so werden diese beiden Gleichungen auch für x=\pm 1 richtig. Alternativ dazu kann man auch

 \arcsin(x) = 2\arctan \left(\frac x{1+\sqrt{1-x^2}}\right)
 \arccos(x) = \frac{\pi}{2} - 2\arctan \left(\frac x{1+\sqrt{1-x^2}}\right)

verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der Funktionalgleichung des Arcustangens ergibt und für |x|\le 1 gilt. Für -1<x\le 1 läßt sich Letzteres auch zu

 \arccos(x) = 2\arctan \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)

vereinfachen.

Ableitungen[Bearbeiten]

Arkussinus
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Arkuskosinus
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x)  = -  \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Umrechnung
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x)  = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x)

Integrale[Bearbeiten]

Arkussinus
\int \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) \mathrm dx = x\,\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \sqrt{a^2 - x^2 } + C
Arkuskosinus
 \int \arccos \left( \frac{x}{a} \right)\, \mathrm dx = x \, \arccos \left( \frac{x}{a} \right)  - \sqrt{ a^2 - x^2} + C

Komplexe Argumente[Bearbeiten]

\begin{align}
\arcsin(a+b\,\mathrm{i}) = \quad \frac{\sgn{a}}{2} \cdot \arccos & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} - (a^2+b^2) \right) \\
+\;\mathrm{i} \cdot \frac{\sgn{b}}{2} \cdot \operatorname{arcosh} & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} + (a^2+b^2) \right)
\end{align}   mit  a,b \in \mathbb{R}
\arccos(a+b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arcsin(a+b\,\mathrm{i})

Zur Funktion arcosh siehe Areakosinus Hyperbolicus, für die Signumfunktion gilt \sgn(x):=\begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases}.

Anmerkungen[Bearbeiten]

Besondere Werte[Bearbeiten]

x -1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
\arcsin(x) -\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{6} 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}
x -1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
\arccos(x) \pi \frac{5 \pi}{6} \frac{3 \pi}{4} \frac{2 \pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{6} 0

Kettenbruchdarstellung des Arkussinus[Bearbeiten]

H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch:

\arcsin(x)=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1-\cfrac{1\cdot 2x^2}{3-\cfrac{1\cdot 2x^2}{5-\cfrac{3\cdot 4x^2}{7-\cfrac{3\cdot 4x^2}{9-\cfrac{5\cdot 6x^2}{11-\ldots}}}}}}

Sonstiges[Bearbeiten]

Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arcsin z = -\mathrm{i}\,\ln\left(\mathrm i z+\sqrt{1-z^2}\right)
\arccos z = -\mathrm{i}\,\ln\left(z+\mathrm i\sqrt{1-z^2}\right)

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Weisstein, Eric W. "Inverse Trigonometric Functions." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html