Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus

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Sekans Hyperbolicus (blau) und Kosekans Hyperbolicus (rot)

Die Funktionen Kosekans Hyperbolicus (csch) und Sekans Hyperbolicus (sech) sind Hyperbelfunktionen. Sie ergeben sich als Kehrwert von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

[Bearbeiten] Definitionen

$\begin{align} \operatorname{sech}\ x &= \frac{2}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{\cosh x}\\ \operatorname{csch}\ x &= \frac{2}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{\sinh x} \end{align}$

[Bearbeiten] Eigenschaften

	Sekans Hyperbolicus	Kosekans Hyperbolicus
Definitionsbereich	$- \infty < x < + \infty$	$- \infty < x < + \infty \, ; \, x \ne 0$
Wertebereich	$0 < f(x) \le 1$	$- \infty < f(x) < + \infty \, ; \, f(x)\ne 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	$x < 0$ streng monoton steigend $x > 0$ streng monoton fallend	$x > 0$ streng monoton fallend $x < 0$ streng monoton fallend
Symmetrien	Spiegelsymmetrie zur y-Achse	Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptote	$f(x) \to 0$ für $x \to \pm \infty$	$f(x) \to 0$ für $x \to \pm \infty$
Nullstellen	keine	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	$x = 0$
Extrema	Maximum bei x = 0	keine
Wendepunkte	$x = \pm \frac{1}{2} \ln {\left( \frac {3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}\right)}$	keine

[Bearbeiten] Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion sind die entsprechenden Areafunktionen:

$\begin{align} x &= \operatorname{arsech}\ y\\ x &= \operatorname{arcsch}\ y \end{align}$

[Bearbeiten] Ableitungen

$\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \operatorname{sech}\ x &= -{\frac{\sinh x}{\cosh^2 x}}\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \operatorname{csch}\ x &= - \operatorname{csch}\ x \cdot \operatorname{coth}\ x = - \operatorname{csch}\ x \cdot\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 x}\\ \end{align}$

[Bearbeiten] Integrale

$\begin{align} \int\operatorname{sech}\ x \mathrm dx &= \arctan \left( \sinh x \right) + konst.\\ \int\operatorname{csch}\ x \mathrm dx &= \ln \left| \operatorname{tanh}\, \tfrac{x}{2} \right| + konst. \end{align}$

[Bearbeiten] Reihenentwicklungen

$\begin{align} \operatorname{sech}\ x &= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(8k + 4)\pi}{(2k+1)^2\pi^2+x^2}\\ \operatorname{csch}\ x &= 1/x + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{2 x}{k^2\pi^2+x^2} \end{align}$

[Bearbeiten] Komplexes Argument

$\begin{align} &\operatorname{sech}(x+\mathrm i y) = \frac{2\cosh(x)\cos(y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} + \mathrm{i} \frac{-2\sinh(x)\sin(y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)}\\ &\operatorname{sech} (\mathrm i y) = \sec(y)\\ &\operatorname{csch}(x+\mathrm iy) = \frac{2\sinh(x)\cos(y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{-2\cosh(x)\sin(y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)}\\ &\operatorname{csch}(\mathrm iy) = -\mathrm i\csc (y) \end{align}$