Hyperboloid

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Ein Hyperboloid ist im einfachsten Fall eine Fläche, die durch Rotation einer Hyperbel um eine ihrer Achsen entsteht.

Bei Rotation einer Hyperbel um ihre Nebenachse entsteht ein einschaliges Hyperboloid. Es besteht aus einem zusammenhängenden Flächenstück.
Bei Rotation einer Hyperbel um ihre Hauptachse entsteht ein zweischaliges Hyperboloid. Es besteht aus zwei getrennten Flächenstücken.

Beide Flächen lassen sich durch eine quadratische Gleichung (analog zu den Gleichungen von Ellipsen und Hyperbel) beschreiben. Sie sind deshalb Spezialfälle von Quadriken (Kugel, Kegel, Paraboloid, …) und werden typischerweise von Ebenen in Kegelschnitten geschnitten.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen einem ein- bzw- zweischaligen Hyperboloid ist:

Das einschalige Hyperboloid enthält Geraden, das zweischalige nicht.

Diese Eigenschaft macht das einschalige Hyperboloid für Architekten und Bauingenieure interessant, da sich einschalige Hyperboloide leicht aus Geraden modellieren lassen: z. B. Kühltürme. Einschalige Hyperboloide spielen auch in der synthetischen Geometrie eine Rolle: Eine Minkowski-Ebene ist die Geometrie der ebenen Schnitte eines einschaligen Hyperboloids. Während das einschalige Hyperboloid von Tangentialebenen in zwei sich schneidenden Geraden geschnitten wird (s. u.), hat ein zweischaliges Hyperboloid mit Tangentialebenen immer nur einen Punkt gemeinsam und ist deshalb geometrisch mehr mit einer Kugel verwandt.

Einschaliges Hyperboloid

Einschaliges Einheitshyperboloid H1

Einschaliges Hyperboloid: ebene Schnitte

Lässt man die Hyperbel $x^{2}-z^{2}=1$ in der x-z-Ebenen um ihre Nebenachse (d. h. z-Achse) rotieren (s. Bild), so erhält man das einschalige Einheits-Hyperboloid mit der Gleichung

$H_{1}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ .

(Bei der Rotation wird $x^{2}$ durch $x^{2}+y^{2}$ ersetzt.) Offensichtlich ist jeder Höhenschnitt mit einer Ebene $z=z_{0}$ ein Kreis mit Radius ${\sqrt {1+z_{0}^{2}}}$ . Der Schnitt der Ebene $x=1$ liefert die beiden Schnittgeraden $(1,t,\pm t)^{\top },t\in \mathbb {R}$ . Durch Rotation dieser Geraden erhält man Parameterdarstellungen aller Geraden auf dem Hyperboloid:

g_{\alpha }^{\pm }:{\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha \\\pm 1\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \ .

Das einschalige Hyperboloid $H_{1}$ lässt sich also auch durch Rotation der Geraden $g_{0}^{+}$ oder $g_{0}^{-}$ (windschief zur Rotationsachse) erzeugen (s. Bild).

Tangentialebenen von H1

Die Gleichung der Tangentialebene einer implizit durch $f(x,y,z)=0$ gegebenen Fläche in einem Punkt ${\vec {x}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ist $f_{x}({\vec {x}}_{0})(x-x_{0})+f_{y}({\vec {x}}_{0})(y-y_{0})+f_{z}({\vec {x}}_{0})(z-z_{0})=0$ .

Für H1 ergibt sich

$x_{0}x+y_{0}y-z_{0}z-1=0\ .$

Ebene Schnitte von H1

Ebenen mit einer Neigung kleiner 1 (1 ist die Neigung der Geraden auf dem Hyperboloid) schneiden $H_{1}$ in einer Ellipse,
Ebenen mit einer Neigung gleich 1 durch den Nullpunkt schneiden $H_{1}$ in einem parallelen Geradenpaar,
Ebenen mit einer Neigung gleich 1 nicht durch den Nullpunkt schneiden $H_{1}$ in einer Parabel,
Tangentialebenen schneiden $H_{1}$ in einem sich schneidenden Geradenpaar,
Ebenen mit einer Neigung größer 1, die keine Tangentialebenen sind, schneiden $H_{1}$ in einer Hyperbel ^[1].

Eine Ebene, die eine Hyperboloid-Gerade $e$ enthält, ist entweder eine Tangentialebene und enthält damit eine zweite $e$ schneidende Hyperboloid-Gerade oder enthält eine zu $e$ parallele Hyperboloid-Gerade und ist damit „Tangentialebene in einem Fernpunkt“.

Affine Bilder von H1

Analog wie eine beliebige Ellipse als affines Bild des Einheitskreises aufgefasst werden kann, ist ein beliebiges einschaliges Hyperboloid das affine Bild des Einheitshyperboloids $H_{1}$ . Die einfachsten affinen Bilder erhält man durch Skalierung der Koordinatenachsen:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\ a,b,c>0.$

Nur im Fall $a=b$ sind die Höhenschnitte weiterhin Kreise (andernfalls Ellipsen). Ein solches Hyperboloid nennt man einschaliges Rotationshyperboloid.

Da ein beliebiges einschaliges Hyperboloid (wie das Einheitshyperboloid) Geraden enthält, ist es eine Regelfläche. Da jede Tangentialebene (eines einschaligen Hyperboloids) in der Nähe seines Berührpunktes die Fläche schneidet, hat es eine negative Gauß-Krümmung und ist deswegen nicht-abwickelbar, im Gegensatz zu den Regelflächen Kegel oder Zylinder (Gauß-Krümmung 0). Aus der üblichen Parameterdarstellung einer Hyperbel mit Hyperbelfunktionen erhält man die folgende Parameterdarstellung des Hyperboloids ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ :$

{\vec {x}}(s,t)=\left({\begin{array}{lll}a\cosh s\cos t\\b\cosh s\sin t\\c\sinh s\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} ,\ 0\leq t\leq 2\pi \ .

Bemerkung: Das einschalige Hyperboloid und das hyperbolische Paraboloid sind projektiv äquivalent.

Zweischaliges Hyperboloid

Das zweischalige Einheitshyperboloid H2

Zweischaliges Hyperboloid: ebene Schnitte

Lässt man die Hyperbel $-x^{2}+z^{2}=1$ in der x-z-Ebenen um ihre Hauptachse (d. h. z-Achse) rotieren (s. Bild), so erhält man das zweischalige Einheits-Hyperboloid mit der Gleichung $-x^{2}-y^{2}+z^{2}=1$ oder in üblicher Form

$H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1$ .

Der Schnitt der Ebene $z=z_{0}$ mit $H_{2}$ ist ein Kreis (falls $z_{0}^{2}>1$ ) oder ein Punkt (falls $z_{0}=\pm 1$ ) oder leer (falls $z_{0}^{2}<1$ ). $H_{2}$ besteht aus zwei Teilen, entsprechend den zwei Teilen der Hyperbel.

Tangentialebenen von H2

Die Tangentialebene von $H_{2}$ in einem Punkt $(x_{0},y_{0},z_{0})$ hat die Gleichung (s.o.)

$x_{0}x+y_{0}y-z_{0}z+1=0\ .$

Ebene Schnitte von H2

Ebenen mit einer Neigung kleiner 1 (Neigung der Asymptoten der erzeugenden Hyperbel) schneiden $H_{2}$ entweder in einer Ellipse oder in einem Punkt oder nicht,
Ebenen mit einer Neigung gleich 1 und durch den Nullpunkt schneiden $H_{2}$ nicht,
Ebenen mit einer Neigung gleich 1 und nicht durch den Nullpunkt schneiden $H_{2}$ in einer Parabel,
Ebenen mit einer Neigung größer 1 schneiden $H_{2}$ in einer Hyperbel ^[2].

Affine Bilder von H2

Ein beliebiges zweischaliges Hyperboloid ist das affine Bild des Einheitshyperboloids $H_{2}$ . Die einfachsten affinen Bilder erhält man durch Skalierung der Koordinatenachsen:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\ ,\ a,b,c>0.$

Nur im Fall $a=b$ sind die nicht trivialen Höhenschnitte weiterhin Kreise (andernfalls Ellipsen). Ein solches Hyperboloid nennt man zweischaliges Rotationshyperboloid.

Für ein zweischaliges Hyperboloid ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\ :$ ergibt sich die folgende Parameterdarstellung:

{\vec {x}}(s,t)=\left({\begin{array}{lll}a\sinh s\cos t\\b\sinh s\sin t\\\pm c\cosh s\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} ,\ 0\leq t\leq 2\pi \ .

Bemerkung: Das zweischalige Hyperboloid ist projektiv zur Einheitskugel äquivalent.

Symmetrieeigenschaften der Hyperboloide

Wie Ellipsen und Hyperbel haben auch Hyperboloide Scheitel und Nebenscheitel und Symmetrien. Die Hyperboloide ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ sind offensichtlich

punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung,
symmetrisch zu den Koordinatenebenen und
rotationssymmetrisch zur z-Achse und symmetrisch zu jeder Ebene durch die z-Achse, falls $a=b$ ist.

Doppelkegel

Den Doppelkegel $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$ kann man als Grenzfläche zwischen den Scharen von ein- bzw. zweischaligen Hyperboloiden $x^{2}+y^{2}-z^{2}=c^{2}$ bzw. $x^{2}+y^{2}-z^{2}=-c^{2}$ auffassen. Er entsteht durch Rotation der gemeinsamen Asymptoten der Erzeuger-Hyperbeln.

Gemeinsame Parameterdarstellung

Es gibt verschiedene Möglichkeiten Hyperboloide zu parametrisieren. Eine einfache Möglichkeit, das einschalige und zweischalige Hyperboloid und den Kegel zu parametrisieren, ist:

${\vec {x}}(s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)$

Für $d=1$ ergibt sich ein einschaliges, für $d=-1$ ein zweischaliges Hyperboloid und für $d=0$ ein Doppelkegel.

Siehe auch

Literatur

Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen (= Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik). 2., durchgesehene und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X (Online [abgerufen am 1. April 2012]).
Burkhard Polster: A geometrical picture book. 1. Auflage. Springer, New York/ Berlin/ Heidelberg 1998, ISBN 0-387-98437-2.
Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band III. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-13057-1.
Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0 (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 14. Januar 2012]).
Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. 2., überarb. und erw. Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, 1999, ISBN 3-411-14101-8.

Weblinks

Commons: Hyperboloid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Eric W. Weisstein: Hyperboloid. In: MathWorld (englisch).
Animiertes Hyperboloid bei EXOPAS (Memento vom 5. August 2010 im Internet Archive)

Einzelnachweise

↑ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116
↑ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 122

[1] CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116

[2] CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 122

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