Rotationshyperboloid

Das Rotationshyperboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung, die man sich als durch Rotation einer Geraden um eine zu ihr windschiefe Gerade (Achse) entstanden vorstellen kann. Das Rotationshyperboloid ist ein Spezialfall des einschaligen Hyperboloids. Seine gaußsche Krümmung ist in jedem Punkt negativ; es handelt sich also um eine antiklastisch gekrümmte Fläche.

Hyperboloidkonstruktionen werden unter anderem im Bauwesen verwendet. Die Oberflächen der meisten Kühltürme sind Rotationshyperboloide. Die erste hyperboloide Struktur in der Welt hat Wladimir Schuchow 1896 gebaut.

Rotationshyperboloid

Die Gleichung ergibt sich aus der allgemeinen Gleichung eines einschaligen Hyperboloids

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$

durch Einsetzen von $\ {a = b}$.

Die Gerade mit der Parametergleichung

$\vec{x} = \begin{pmatrix} r\\0\\0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 0\\ \cos(\gamma)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix} \quad (r\ und\ \gamma\ const.)$

erzeugt bei Rotation um die z-Achse das Rotationshyperboloid

$\vec{x} = \begin{pmatrix} r \cos(v)\\ r \sin(v)\\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} - \cos(\gamma) \sin (v)\\ \cos(\gamma) \cos(v)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix}$.