Rotationshyperboloid

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Rotationshyperboloid

Das Rotationshyperboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung, die man sich als durch Rotation einer Geraden um eine zu ihr windschiefe Gerade (Achse) entstanden vorstellen kann. Das Rotationshyperboloid ist ein Spezialfall des einschaligen Hyperboloids. Seine gaußsche Krümmung ist in jedem Punkt negativ; es handelt sich also um eine antiklastisch gekrümmte Fläche.

Anwendung[Bearbeiten]

Die Form des Rotationshyperboloids wird unter anderem im Bauwesen aus statischen Gründen zum Beispiel bei Kühltürmen angewendet. Den ersten Turm der Welt in dieser Form baute 1896 Wladimir Schuchow.

Der Architekt Antoni Gaudí verwendete die Form als gestalterisches Konstruktionsprinzip.

Das Kunstwerk Mae West ist ein 52 Meter hoher Rotationshyperboloid aus Kohlenstofffaser

Mae West mit Tram

Gleichung[Bearbeiten]

Die Gleichung für das Rotationshyperboloid mit kreisförmigem Querschnitt ergibt sich aus der Gleichung

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1

eines einschaligen Hyperboloids mit allgemein elliptischem Querschnitt durch Einsetzen von \ {a = b} .

Die Gerade mit der Parametergleichung

\vec{x} = \begin{pmatrix} r\\0\\0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 0\\ \cos(\gamma)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix} \quad (r\ und\ \gamma\ const.)

erzeugt bei Rotation um die z-Achse das Rotationshyperboloid

\vec{x} = \begin{pmatrix} r \cos(v)\\ r \sin(v)\\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} - \cos(\gamma) \sin (v)\\ \cos(\gamma) \cos(v)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix} .