Triviale Gruppe

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Die triviale Gruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe, deren Trägermenge genau ein Element enthält. Die triviale Gruppe ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe als Untergruppe.

Definition[Bearbeiten]

Die triviale Gruppe (\{ e \}, *) ist eine Gruppe bestehend aus der einelementigen Menge \{ e \} versehen mit der einzig möglichen Gruppenoperation

e * e = e.

Das Element e ist damit das neutrale Element der Gruppe.

Beispiele[Bearbeiten]

Alle trivialen Gruppen sind zueinander isomorph. Beispiele für triviale Gruppen sind:

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Da die Gruppenoperation \ast kommutativ ist, ist die triviale Gruppe eine abelsche Gruppe.
  • Die einzige Untergruppe der trivialen Gruppe ist die triviale Gruppe selbst.
  • Die triviale Gruppe wird von der leeren Menge erzeugt: \{ e \} = \langle \emptyset \rangle. Hierbei ergibt das leere Produkt nach üblicher Konvention das neutrale Element.
  • Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe und sich selbst als (triviale) Normalteiler. Die triviale Gruppe wird daher zumeist nicht als einfache Gruppe angesehen.
  • In der Kategorie der Gruppen Grp fungiert die triviale Gruppe als Nullobjekt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. Springer, 2008, ISBN 3-540-79570-7.
  •  Jürgen Wolfart: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Springer, 2010, ISBN 3-834-89833-3.

Weblinks[Bearbeiten]