Polygammafunktion

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Die ersten Polygammafunktionen im Reellen
 m = 0    m = 1    m = 2    m = 3    m = 4

In der Mathematik sind die Polygamma-Funktionen eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion \ln \Gamma(x) definiert sind. Dabei bezeichnet \Gamma(x) die Gammafunktion und \ln den natürlichen Logarithmus.

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

\ln\Gamma(z)

\psi^{(0)}(z)

\psi^{(1)}(z)

\psi^{(2)}(z)

\psi^{(3)}(z)

\psi^{(4)}(z)

Notation[Bearbeiten]

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi (\psi) bezeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion, der Digammafunktion, wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, wird dann mit \psi_1 (oder selten \psi^{(1)}) bezeichnet; sie ist die zweite Ableitung von \ln\Gamma(x). Allgemein wird die n-te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung n mit \psi_n oder \psi^{(n)} bezeichnet und als die (n+1)-te Ableitung von \ln\Gamma(x) definiert.

Definition und weitere Darstellungen[Bearbeiten]

Es ist

\psi_m=\frac{\mathrm d^{m+1}}{\mathrm dx^{m+1}}\ln\Gamma(x)=\frac{\mathrm d^m}{\mathrm dx^m}\,\psi(x)

mit der Digammafunktion \psi(x). Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von \Gamma bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

\psi_m(z)= (-1)^{m+1}\int\limits_0^\infty \frac{t^m \mathrm e^{-zt}}{1-\mathrm e^{-t}}\,\mathrm dt

für \rm{Re}(z)>0 und m>0.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Differenzengleichungen[Bearbeiten]

Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

\psi_m(z+1)= \psi_m(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-m-1}.

Reflexionsformel[Bearbeiten]

Eine weitere wichtige Beziehung lautet

(-1)^m \psi_m (1-z) - \psi_m (z) = \pi \frac{\mathrm d^m}{\mathrm d z^m} \cot{(\pi z)}.

Multiplikationsformel[Bearbeiten]

Die Multiplikationsformel ist für m>0 gegeben durch

\sum_{k=0}^{n-1} \psi_{m}\left(\frac{z+k}{n}\right) = n^{m+1} \psi_{m}(z).

Zum Fall m=0, also der Digammafunktion, siehe dort.

Reihendarstellungen[Bearbeiten]

Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

\psi_m(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty \frac1{(z+k)^{m+1}}

wobei m>0 und z\not= -1,-2,-3,\ldots eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion \zeta(x,y) schreiben als

\psi_m(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nichtganze Ordnungen m ist weiter unten angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

\psi_m(z) = -\gamma \delta_{m,0} \; - \; \frac{(-1)^m m!}{z^{m+1}} \; + \; \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} \delta_{m,0} \; - \; \frac{(-1)^m m!}{(z+k)^{m+1}}\right),

wobei \delta_{n,0} das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.

Die Taylor-Reihe um z=1 ist gegeben durch

\psi_m(z+1)= \sum_{k=0}^\infty
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},

die für |z|<1 konvergiert. \zeta bezeichnete dabei die Riemannsche Zetafunktion.

Spezielle Werte[Bearbeiten]

Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie \pi, Quadratwurzel, Clausen-Funktion \mathrm{Cl}(x), Riemannsche ζ-Funktion, Catalansche Konstante G sowie Dirichletsche β-Funktion; z.B.

\psi_m(\tfrac12)=(-1)^{m+1}m!\,(2^{m+1}-1)\zeta(m+1), \qquad m\in\N

Allgemein gilt ferner:

\psi_m(1)=(-1)^{m+1}m!\,\zeta(m+1),\qquad m\in\N.

Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

\frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m}\tan x=\frac{\psi_m(\tfrac12+\tfrac{x}{\pi})-(-1)^m\,\psi_m(\tfrac12-\tfrac{x}{\pi})}{\pi^{m+1}}.

Verallgemeinerte Polygammafunktion[Bearbeiten]

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für \scriptstyle s\in\C und \scriptstyle z\in\C\setminus-\N_0 die Funktionalgleichung

\psi_s(z+1)=\psi_s(z)+\frac{\ln z-\psi(-s)-\gamma}{\Gamma(-s)}\,z^{-(s+1)},

wobei \scriptstyle\gamma die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen

\frac{\psi(-m)}{\Gamma(-n)}=(-1)^{n-1} n!

für ganzzahlige m,n\ge 0 ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche \scriptstyle n eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen \zeta-Funktion erhält man dann die Beziehung

\psi_s(z)=
\frac1{\Gamma(-s)}\left(\frac{\partial}{\partial s}+\psi(-s)+\gamma\right)\zeta(s+1,z)
=\mathrm e^{-\gamma\,s}\frac{\partial}{\partial s}\left(\mathrm e^{\gamma\,s}\,\frac{\zeta(s+1,z)}{\Gamma(-s)}\right),

welche die Funktionalgleichung erfüllt.[1]

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel

\psi_s\left(\frac{z}{2}\right)+\psi_s\left(\frac{z+1}{2}\right)=
2^{s+1}\psi_s(z)+\frac{2^{s+1}\ln 2}{\Gamma(-s)}\zeta(s+1,z)

herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet

\sum\limits_{k=0}^{n-1}\psi_s\left(\frac{z+k}{n}\right)=
n^{s+1}\psi_s(z)+\frac{n^{s+1}\ln n}{\Gamma(-s)}\zeta(s+1,z),

die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für \scriptstyle s\in\N enthält.

q-Polygammafunktion[Bearbeiten]

Die q-Polygammafunktion ist definiert durch[2]

\psi_n^q(z)=\frac{\partial^n\psi_q(z)}{\partial z^n}.

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
  2. Eric W. Weisstein: q-Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).