Primzetafunktion

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Die Primzetafunktion ist eine mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Rolle spielt. Sie ist verwandt mit der riemannschen Zetafunktion. Wie viele andere zahlentheoretische Funktionen erlangt sie ihre Bedeutung über die Verbindung zu den Primzahlen.

Definition[Bearbeiten]

Für eine komplexe Zahl  s , deren Realteil größer als 1 ist, wird die Primzetafunktion über eine Dirichletreihe definiert, die sich über alle Primzahlen erstreckt.

 P(s) = \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{p^s} = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \ldots .

Obwohl diese Darstellung nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene konvergiert, existiert eine analytische Fortsetzung auf die komplette rechte Halbebene  \mathbb{H} = \{ s \in \mathbb{C} | \mathrm{Re}\, s > 0 \} .

Verbindung zur riemannschen Zetafunktion[Bearbeiten]

Es existiert ein Zusammenhang zwischen der Primzetafunktion und der logarithmierten riemannschen Zetafunktion.[1] Dieser gilt für alle  \mathrm{Re}\, s > 0 und drückt sich formelhaft aus über:

 \log \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{P(ns)}{n} = P(s) + \frac{P(2s)}{2} + \frac{P(3s)}{3} + \frac{P(4s)}{4} + \ldots.

Als einfache Beweismöglichkeit dieser Verbindung dient das Euler-Produkt der Zetafunktion. Mit

 \zeta(s) = \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - p^{-s}}

erhält man durch beidseitiges Logarithmieren:

 \log \zeta(s) = \log \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = - \sum_{p \ \mathrm{prim}} \log \left( 1 - \frac{1}{p^s} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{P(ns)}{n}.

Im letzten Schritt wurde die Taylorreihe des natürlichen Logarithmus um den Punkt  x = 1 angewendet.

Weitere Darstellungen[Bearbeiten]

Über eine Möbius-Inversion erhält man die häufig genutzte Darstellung:

 P(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns) = { \log \zeta(s) - \frac{1}{2} \log \zeta(2s) - \frac{1}{3} \log \zeta(3s) - \frac{1}{5} \log \zeta(5s) + \frac{1}{6} \log \zeta(6s) + \ldots },

wobei  \mu hier die Möbiusfunktion bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Primzetafunktion ist eine in ganz  \mathbb{H} \setminus \{ s \in \mathbb{R} | 0 < s \leq 1 \} meromorphe Funktion, wobei  \mathbb{H} = \{ s \in \mathbb{C} | \mathrm{Re}\, s > 0 \} die rechte Halbebene bezeichnet. Sie besitzt für eine quadratfreie, positive ganze Zahl  K Singularitäten in Form von Verzweigungspunkten an

  • allen Stellen  s = 1/K
  • allen Stellen  s = \rho / K , wobei  \rho eine beliebige (nicht-triviale) Nullstelle der riemannschen Zetafunktion bezeichnet.

Dies wird unter Betrachtung der Darstellung

 P(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns)

deutlich, da der Logarithmus an allen Stellen \textstyle \zeta(K\cdot \frac{\rho}{K}) = \zeta(\rho) = 0 bzw. \textstyle \zeta(K \cdot \frac{1}{K}) = \zeta(1) = \infty und  \mu(K) \not= 0 (bei  n = K in der Summe) nicht definiert ist.

Da die riemannsche Zetafunktion im sog. kritischen Streifen  S = \{ s \in \mathbb{C} | 1 > \mathrm{Re}\, s > 0 \} unendlich viele nicht-triviale Nullstellen besitzt, kommt es zu einer Polverdichtung auf der Geraden  \mathrm{Re}\, s = 0 , die als natürliche Grenze des Definitionsbereichs der Primzetafunktion angesehen werden kann.

Des Weiteren gilt für alle  t :

 \lim_{\sigma \to \infty} P(\sigma + \mathrm{i}t) = 0.

Ableitung[Bearbeiten]

Die Primzetafunktion ist in ganz  \{s \in \mathbb{C} | \mathrm{Re}\, s > 1 \} holomorph. Ein Ableitungsausdruck ist:

 P'(s) = - \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{\log p}{p^s}.

Für die  k -te Ableitung gilt:

 P^{(k)}(s) = (-1)^k \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{(\log p)^k}{p^s}.

Stammfunktion[Bearbeiten]

Eine Stammfunktion ist gegeben durch:

 \int P(s) \ \mathrm{d}s = - \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{p^s \log p} + C.

Spezielle Werte[Bearbeiten]

Wie Euler bereits beweisen konnte, ist die Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen divergent. Es gilt also:

 P(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \ldots = \infty.

Über sonstige ganzzahlige Werte der Primzetafunktion ist bis heute nichts bekannt. Dezimalentwicklungen sind:

 P(2) = 0{,}45224\ 74200\ 41065\ 49850 \ldots (Folge A085548 in OEIS)
 P(3) = 0{,}17476\ 26392\ 99443\ 53642 \ldots (Folge A085541 in OEIS)
 P(4) = 0{,}07699\ 31397\ 64246\ 84494 \ldots (Folge A085964 in OEIS)

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Komaravolu Chandrasekharan: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, 1965/66, Kapitel XI, Seite 2