Stehende Welle

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Eine stehende Welle (schwarz) als Überlagerung zweier Wellen; die Wellenknoten sind rot dargestellt. Skizziert sind einlaufende und auslaufende Welle in rot bzw. blau

Wellenreiter auf der stehenden Welle im Münchner Eisbach, bei der es sich um keine stehende Welle im physikalischen Sinne handelt

Eine stehende Welle (im engeren Sinne) entsteht aus der Überlagerung zweier gegenläufig fortschreitender Wellen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude. Die Wellen können aus zwei verschiedenen Erregern stammen oder durch Reflexion einer Welle an einem Hindernis entstehen. Bei Wasserwellen siehe Clapotis.

Ein mechanisches Beispiel ist eine Seilwelle, bei der man ein Seilende auf und ab bewegt und so eine fortschreitende Welle im Seil erzeugt. Wird das andere Seilende befestigt, so wird die Welle an dieser Stelle reflektiert und läuft auf dem Seil zurück. Als Folge sieht man gar keine fortschreitende Welle mehr, sondern das Seil vollführt eine Schwingung, bei der bestimmte Stellen in Ruhe bleiben (Wellenknoten oder Schwingungsknoten), während andere mit großer Schwingungsweite (Amplitude) hin und her schwingen (Wellenbäuche oder Schwingungsbäuche).

Als stehende Welle wird auch eine Wasserwelle bezeichnet, die beständig an einer Stelle steht. Sie wird in Fließgewässern durch Hindernisse unter Wasser verursacht und unter anderem in Wildwassersportarten wie dem Wildwasserpaddeln (vor allem Kanurodeo) und von Wellenreitern genutzt. Hierbei handelt es sich jedoch um keine stehende Welle im physikalischen Sinne.

Inhaltsverzeichnis

1 Hintergrund
2 Stehende Wellen zwischen zwei Reflektoren
3 Stehwellenverhältnis
4 Betrachtung in mehreren Dimensionen
5 Anwendungen
6 Weitere Bilder
7 Einzelnachweise
8 Weblinks

[Bearbeiten] Hintergrund

Der Abstand zweier Wellenknoten bzw. zweier Wellenbäuche ist die halbe Wellenlänge der ursprünglichen fortschreitenden Welle. Da aber Energie transportiert wird - auch über den Knoten - ist immer eine zweite Größe vorhanden, deren Wellenknoten und Wellenbäuche um eine viertel Wellenlänge gegenüber der ersten Größe verschoben ist. Bei der Seilwelle ist das die Dehnung des Seils: Dort wo ein Auslenkungsknoten vorhanden ist, ist ein Bauch der Dehnung, wo der Bauch der Auslenkung ist, ist der Knoten der Dehnung. Bei einer stehenden elektromagnetischen Welle sind die beiden Größen das E- und das B-Feld.

Wenn die stehende Welle mittels zweier gleichphasiger (synchron schwingender) Erreger erzeugt wird, befindet sich ein Wellenbauch genau in der Mitte zwischen ihnen, da die Wellen hier gleichzeitig eintreffen und sich stets gegenseitig verstärken. Eine Viertelwellenlänge hiervon entfernt beträgt die Zeitdifferenz des Eintreffens eine halbe Schwingungsperiode. Die Wellen sind hier gegenphasig und löschen sich aus, es entsteht ein Knoten. Durch Verallgemeinerung dieser Überlegung findet man die Bedingungen:

Bauch: Der Abstand D eines Schwingungsbauches vom Mittelpunkt ist ein halbzahliges Vielfaches der Wellenlänge.

$D = n \cdot \frac{\lambda}{2} \qquad \text{mit} \qquad n = 0, 1, 2, \dots$

Knoten: Der Abstand D eines Schwingungsknotens vom Mittelpunkt ist ein halbzahliges Vielfaches der Wellenlänge plus ein Viertel.

$D = \left(n + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\lambda}{2} \qquad \text{mit} \qquad n = 0, 1, 2, \dots$

Die von der Welle transportierte Energie wird durch die Reflexion ebenfalls zurückgeworfen. Auf einem Wellenleiter mit (vollständig) stehender Welle kann daher keine Energie transportiert werden. Wird die Welle nur teilweise reflektiert, so resultiert eine stehende Welle, die von einer fortschreitenden überlagert wird. In diesem Falle ist noch Energietransport möglich.

[Bearbeiten] Stehende Wellen zwischen zwei Reflektoren

Die drei größten Wellenlängen, die zwischen zwei Wände passen

Zwischen zwei Reflektoren können sich keine stehenden Wellen mit beliebiger Wellenlänge bilden. Es gilt vielmehr die Bedingung, dass an beiden Wänden jeweils ein Schwingungsknoten vorliegen muss. Alle Wellenlängen, die diese Bedingung erfüllen, werden als Eigenresonanzen bezeichnet.

Beispiel hierfür sind die schwingende Saite und der Hohlleiter.

[Bearbeiten] Stehwellenverhältnis

Das Maß für den Grad der stehenden Welle auf einem Wellenleiter ist das Stehwellenverhältnis (englisch: standing wave ratio = SWR). Wenn A die Amplitude der hinlaufenden und B die der reflektierten Welle ist, so ist

$\mathrm{SWR} = \frac{A + B}{A - B}$

das Stehwellenverhältnis. Für A = B (vollständige Reflexion) ist es unendlich, für B = 0 (keine Reflexion) ist es 1. SWRs sind z.B. ein wichtiges Merkmal beim Energietransport von einem Funksender zur Sendeantenne. Nur bei kleinem SWR sind die Energieverluste im Kabel minimal; ggf. muss der Eingangswiderstand der Antenne der Wellenimpedanz der Leitung angepasst werden, so dass am Anschlusspunkt der Antenne keine Leistung zurück in die Leitung reflektiert wird.

Das SWR lässt keine Aussage zu, wie effektiv die Sendeenergie von der Antenne abgestrahlt wird.

Das Stehwellenverhältnis wird gewöhnlich als VSWR (voltage standing wave ratio) bestimmt. In der Höchstfrequenztechnik ab 1 GHz sind jedoch Leistungen einfacher zu messen und man benutzt das PSWR (Leistungstehwellenverhältnis).^[1]

Bei Datenleitungen in Computernetzen können z. B. Signale, die am offenen Ende einer Leitung reflektiert werden, den Datentransport stören: bildet die Trägerwelle nämlich eine stehende Welle, so erkennen Geräte, die an einem Knoten angeschlossen sind, den Träger nicht mehr. Dies lässt sich dadurch vermeiden, dass man die offenen Enden einer solchen Leitung jeweils mit einem Widerstand abschließt (siehe Abschlusswiderstand).

[Bearbeiten] Betrachtung in mehreren Dimensionen

Zweidimensionale stehende Welle (Harmonische) in einem rechteckigen Rahmen

Zweidimensionale stehende Welle in einem rechteckigen Rahmen

Eine zweidimensionale stehende Welle auf einer Platte (Grundzustand)

Eine höhere Harmonische mit einem Fixpunkt in der Mitte

Man erhält eine stehende Welle im erweiterten Sinne, wenn man die Beschränkung auf eine Dimension fallen lässt. Dann ergibt sich zwischen zwei Wellenerregern eine stehende Welle, die sich räumlich verteilt. Man spricht dann allerdings nicht mehr von einer stehenden Welle, sondern von einem Interferenzmuster. Auf der Verbindungslinie zwischen den Erregern verhält es sich wie eine stehende Welle, jedoch sind ihre Knoten und Bäuche nun in den Raum fortgesetzt zu Interferenzminima (Knotenflächen) und Interferenzmaxima. Für die Bäuche (Maxima) gilt jedoch (bei Gleichphasigkeit der Erreger) immer noch die Bedingung $D = n \cdot \lambda$ . Für die Knoten (Minima) gilt weiterhin $D = \left(n + \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda$ . Die Knotenflächen und Bauchflächen sind Hyperboloide, da eine Hyperbel gerade die geometrische Ortslinie aller Punkte ist, die von zwei festen Punkten eine konstante Abstandsdifferenz haben.

[Bearbeiten] Anwendungen

Elektrische Feldstärke im Hohlleiter
Quantenmechanische Erklärung des Wasserstoffatoms
Musikinstrumente, die den Resonanz-Effekt nutzen (Saiteninstrumente, Flöten, Orgelpfeifen, etc.) Bei fast allen Musikinstrumenten bilden sich stehende Wellen.
In Konzertsälen wird nach Möglichkeit vermieden, dass Resonanzen und stehende Wellen auftreten. Hier wird auf eine für alle Frequenzen gleichmäßig hohe Dämpfung Wert gelegt.
Ein Optischer Resonator stabilisiert die Wellenlänge („Farbe“) des Laserlichts.
Stehende Wellen (rhythmische Schwingung) des Wassers in Seen, Buchten oder Hafenbecken bezeichnet man als Seiche (siehe auch Seerhein#Wasserwunder_von_Konstanz).

[Bearbeiten] Weitere Bilder

Durch Ultraschall (45 kHz) in der Schwebe gehaltene Wassertropfen.

Durch die Bewegung der Moleküle können auch größere Teilchen wie Wassertropfen bewegt werden. Die Tropfen sammeln sich in den Schwingungsknoten einer stehenden Welle, die sich aufgrund eines unterhalb der Tropfen angeordneten Schallreflektors ausbildet (Reflektor ist nicht mit fotografiert). Der Abstand Wandlerstirnfläche-Reflektor muss passend zur Wellenlänge der Luft gewählt werden.