Sitzzuteilungsverfahren

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Dieser Artikel behandelt nur Rechenverfahren, mit denen bei der Verhältniswahl die Stimmenzahlen in Sitz-Anzahlen umgerechnet werden, entweder unmittelbar oder mit nachrangiger Rücksicht auf einen zweiten Proporz (etwa nach Regionen). Darüber hinausgehende Themen findet man in den Artikeln Verhältniswahl, Wahlsystem und Wahl.

Sitzzuteilungsverfahren sind Methoden der proportionalen Repräsentation, wie sie bei der Verhältniswahl benötigt werden, um Wählerstimmen in Abgeordnetensitze umzurechnen.

Der Anteil jeder Partei an Abgeordnetensitzen sollte gleich ihrem Anteil an den Stimmen sein. Der Idealanspruch jeder Partei ist ihre Stimmenzahl multipliziert mit der Gesamtsitzzahl geteilt durch die Gesamtstimmenzahl. Für die Partei i lautet er


 Sitze \, S_i = \frac{(Stimmen \, \, v_i)}{(alle \, Stimmen \, v)} \times ({Anzahl \, Abgeordnete \, im \, Parlament \, N})

Dieser Quotient ist nicht immer ganzzahlig (bei großer Wählerzahl sogar nur selten). Daher bedarf es einer Rundungsregel, nach der aus den Stimmenanteilen der Parteien Sitzanzahlen als ganze Zahlen errechnet werden.

Jede Regel erzeugt eine andere Art der Fehlerminimierung. Welche man als die beste betrachten kann, ist abhängig von den zu Grunde gelegten Gütekriterien für die Sitzzuteilung. Freilich haben in der Regel Interessen der beschließenden Mehrheit eine größere Bedeutung für die Festlegung des Wahlrechts als mathematische Argumente: „Wahlrecht ist auch Machtrecht“[1].

Übersicht[Bearbeiten]

Für die Sitzzuteilung gibt es vielerlei vertretbare Forderungen (auch Qualitätsanforderungen, Anforderungen, Kriterien, Gütekriterien, Bedingungen). – Verfahren, die nicht zur Erfüllung einer definierten Forderung dienen, sind willkürlich oder von akademischem Interesse.

Die folgende Tabelle hat Forderungen als Spalten und Sitzzuteilungsverfahren als Zeilen. Ein Eintrag „erfüllt“, „maximal“ oder „minimal“ gilt für jedes Wahlergebnis. Ist ein Feld leer, so gilt die Aussage nicht immer. – Die Divisorverfahren in der Tabelle (von D'Hondt bis Adams) stehen in der Reihenfolge abnehmender Rundungsgrenze, also abnehmender Begünstigung großer und zunehmender Begünstigung kleiner Parteien.

Sitzzuteilungsverfahren im Vergleich
Quoten­kriterium Haus- und Stimmen­mono­tonie neutral bezüglich Partei­größe kleinster Vertretungs­wert Streuung der Erfolgs­werte größter Unter­schied der relativen Erfolgs­werte größter Unter­schied der Vertretungs­werte größter Vertretungs­wert Mehr­heits- und Minderheits­kriterium
Hare-Niemeyer
= Hamilton
erfüllt erfüllt
D’Hondt
= Jefferson
erfüllt maximal Mehrheits-kriterium*
Sainte-Laguë
= Webster
erfüllt erfüllt minimal
Hill-Huntington erfüllt minimal
Dean erfüllt minimal
Adams erfüllt minimal Minderheits-kriterium

* Das D'Hondt-Verfahren erfüllt immer das schwache Mehrheitskriterium, bei ungerader Gesamt-Sitzzahl auch das starke.

In den folgenden Kapiteln steht das Wort „Parteien“ auch für Listen, Listenverbindungen, Bundesstaaten, Départements und ähnliche Wettbewerber um Sitze; „Stimmen“ steht bei Verteilung nach Bevölkerungszahlen für diese. – Ohne Beschränkung der Allgemeinheit bleibt der Fall unbeachtet, dass zwei oder mehr Parteien denselben Idealanspruch (dieselbe Quote) haben, dieser Anspruch aber nur für einen Teil dieser Parteien erfüllbar ist. Tritt dieser Fall auf, so kann man vor der Sitzzuteilung losen, welche dieser Parteien welchen Bruchteil einer Stimme zu ihrer Stimmenzahl hinzugezählt bekommt (zum Beispiel bei drei Parteien eine Partei nichts, eine 1/3 Stimme und eine 2/3 Stimmen). Dann sind alle Idealansprüche verschieden.

Arten von Sitzzuteilungsverfahren[Bearbeiten]

Man unterscheidet zwei Gruppen von Sitzzuteilungsverfahren, nämlich Quotenverfahren und Divisorverfahren.

Quotenverfahren[Bearbeiten]

Bei diesen Verfahren werden zuerst für jede Partei so viele Sitze zugeteilt, wie die nach unten gerundete Quote angibt. Die Restsitze werden nach einer festzulegenden Regel vergeben.

Das Hare-Niemeyer-Verfahren (im angelsächsischen Raum Hamilton-Verfahren) ist das klassische Quotenverfahren: Die Restsitze werden nach der Größe der Nachkomma-Anteile der Quoten an die Parteien verteilt.

Alternativ zum Hare-Niemeyer-Verfahren können die verbleibenden Restsitze z.B. Zug um Zug nach einem bestimmten Divisorverfahren verteilt werden oder alle an die stärkste Partei gehen.

Divisorverfahren[Bearbeiten]

Hier wird eine Rundungsregel festgelegt und ein Divisor so gesucht, dass die Stimmenzahl jeder Partei, geteilt durch diesen Divisor und auf eine ganze Zahl gerundet, die Anzahl der Mandate für diese Partei ergibt. Dazu nutzt man die Intervallschachtelung; sie führt immer zum Ergebnis. Eine gute Schätzung für den Divisor ist der Quotient aus Gesamtstimmenzahl und Gesamtsitzzahl.

  • Schritt 1: Man berechnet mit dem gerade betrachteten Divisor die Summe der gerundeten Quotienten.
  • Schritt 2: Ist diese Summe kleiner oder größer als die Anzahl der zu vergebenden Sitze, wählt man einen etwas kleineren beziehungsweise größeren Divisor und führt wieder Schritt 1 aus.

(Die Bezeichnung Quotientenverfahren ist auch möglich, kann aber zur Verwechslung mit Quotenverfahren führen.)

Nur kaufmännische Rundung verhält sich neutral zur Größe der Parteien. Verfahren mit einer Rundungsgrenze unterhalb des Nachkomma-Anteils 0,5 begünstigen systematisch kleinere Parteien (siehe Exkurs 1). Verfahren mit einer Rundungsgrenze oberhalb des Nachkomma-Anteils 0,5 begünstigen systematisch größere Parteien.

Neben diesem Zweischrittverfahren gibt es weitere Berechnungsverfahren, die für alle Divisorverfahren bei jedem Wahlergebnis zur selben Sitzverteilung führen (siehe Exkurs 2).

Divisorverfahren mit fester Rundungsgrenze[Bearbeiten]

Die klassischen Divisorverfahren mit konstanter Rundungsgrenze sind

  • das D'Hondt-Verfahren (im angelsächsischen Raum: Jefferson-Verfahren), Divisorverfahren mit Abrundung, dazu (speziell für D'Hondt)
  • das Sainte-Laguë-Verfahren (im angelsächsischen Raum: Webster-Verfahren), Divisorverfahren mit kaufmännischer Rundung;
  • das Adams-Verfahren, Divisorverfahren mit Aufrundung.

Beim D’Hondt-Verfahren wird der Sitzanspruch stets auf die nächste ganze Zahl abgerundet, beim Adams-Verfahren aufgerundet. Beim Sainte-Laguë-Verfahren werden die Sitzansprüche kaufmännisch gerundet. Unter allen selbstabbildenden Verfahren werden große Parteien am stärksten durch das D’Hondt-Verfahren, kleine Parteien am stärksten durch das Adams-Verfahren begünstigt.

Divisorverfahren mit variabler Rundungsgrenze[Bearbeiten]

Die klassischen Divisorverfahren mit variabler Rundungsgrenze sind

Rundungsregel beim Dean-Verfahren

Um zu wissen, ob ein nicht ganzzahliger Sitzanspruch beim Dean-Verfahren auf- oder abgerundet wird, ist das harmonische Mittel zwischen dem aufgerundeten und dem abgerundeten Sitzanspruch zu errechnen. Dieses Mittel bildet die Rundungsgrenze. Das harmonische Mittel ist das reziproke arithmetische Mittel der reziproken Merkmalswerte. Das harmonische Mittel aus 1 und 2 ergibt sich also aus dem reziproken arithmetischen Mittel aus 1 und 1/2. Das arithmetische Mittel aus 1 und 1/2 beträgt 3/4. Das reziproke arithmetische Mittel aus 1 und 1/2 und damit das harmonische Mittel aus 1 und 2 beträgt 1 1/3. Das harmonische Mittel aus 0 und 1 ist als 0 definiert (populär: 1/[unendlich+1] = 0). Daher teilt das Dean-Verfahren einer Partei bereits bei nur einer einzigen Stimme einen Sitz zu. Das harmonische Mittel aus 2 und 3 beträgt 2,4. Bei Vergrößerung der Zahlenpaare nähert sich das harmonische Mittel immer weiter dem Nachkommawert 5, erreicht diesen aber nie.

Rundungsregel beim Hill-Huntington-Verfahren

Um zu wissen, ob beim Hill-Huntington-Verfahren auf- oder abgerundet wird, ist das geometrische Mittel zwischen dem nächstgrößeren und nächstkleineren ganzzahligen Sitzanspruch zu errechnen. Dieser bildet die Rundungsgrenze. Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt der n Merkmalswerte. Das geometrische Mittel aus 1 und 2 beträgt daher rund 1,4142. Das geometrische Mittel aus 0 und 1 beträgt 0. Daher teilt das Hill-Huntington-Verfahren einer Partei bereits bei nur einer einzigen Stimme einen Sitz zu. Das geometrische Mittel aus 2 und 3 beträgt rund 2,4495. Bei Vergrößerung der Zahlenpaare nähert sich das geometrische Mittel immer weiter dem Nachkommawert 5, erreicht diesen aber nie.

Divisorverfahren mit willkürlicher Wahl der Rundungsgrenzen

Alternativ zum Dean- und Hill-Huntington-Verfahren können die Rundungsgrenzen auch willkürlich uneinheitlich gewählt werden. Möchte man die Sitzzuteilung zum Beispiel nach Dean oder Hill-Huntington berechnen, aber abweichend davon verhindern, dass eine Partei bereits mit sehr kleinem Stimmenanteil einen Sitz erhält, legt man die Rundungsgrenze zwischen 0 und 1 (kein Sitz oder ein Sitz) zum Beispiel auf 0,1; 0,5; 0,9 oder auch auf 1 fest. Je höher die Rundungsgrenze, desto mehr Stimmen benötigt eine Partei für ihren ersten Sitz. Genauso kann man die Rundungsgrenze zwischen 1 und 2, 2 und 3, 3 und 4 Sitzen usw. willkürlich festlegen und variieren. Es ist keine mathematisch formulierte Forderung bekannt, zu deren Erfüllung solche Willkür dienen könnte.

Exkurs 1: Einfluss der Rundungsgrenze auf die Begünstigung nach Parteigröße[Bearbeiten]

Die folgende Tabelle soll die Begünstigung kleiner Parteien durch niedrigere Rundungsgrenzen deutlich machen.

Nötige Quoten für die Zuteilung der ersten Sitze
1 Sitz 2 Sitze 3 Sitze 4 Sitze 5 Sitze n Sitze
D'Hondt 1 2 3 4 5 n
Sainte-Laguë 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 \tfrac{2n-1}{2}
Hill-Huntington > 0 1,4142... 2,4495... 3,4641... 4,4721... \sqrt{n\cdot (n-1)}
Dean > 0 1,3333... 2,4 3,4286... 4,4444... \tfrac{2\cdot n\cdot (n-1)}{n+n-1}
Adams > 0 > 1 > 2 > 3 > 4 > n-1

Nach Dean und Hill-Huntington genügt (wie bei Adams) für den ersten Sitz eine Wählerstimme. Mit dem Ansteigen der Sitzzahlen schrumpft der Vorteil dieser beiden Verfahren für kleine Parteien, weil sich die Nachkomma-Anteile dem neutralen Wert 0,5 bei Sainte-Laguë nähern.

Exkurs 2: Berechnungsverfahren[Bearbeiten]

Für jedes Divisorverfahren gibt es mindestens fünf verschiedene, zum selben Ergebnis führende Algorithmen:

  • das Zweischrittverfahren;
  • das Höchstzahlverfahren;
  • das Rangmaßzahlverfahren;
  • das Iterative Wahlzahlverfahren und
  • das Paarweiser-Vergleich-Verfahren.

Höchstzahlverfahren: Die Stimmenzahlen der Parteien werden durch eine Divisorreihe geteilt und die Sitze in der Reihenfolge der größten sich hieraus ergebenden Höchstzahlen vergeben. Die Divisorreihe lässt sich problemlos aus der festgelegten Rundungsregel herleiten. Beim D’Hondt-Verfahren lautet die Divisorreihe 1; 2; 3; 4; 5 usw., beim Sainte-Laguë-Verfahren 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5 usw., beim Adams-Verfahren 0; 1; 2; 3; 4 usw. Legt man die Rundungsgrenze auf 1/3 fest, lautet die Divisorreihe 1/3; 1 1/3; 2 1/3; 3 1/3; 4 1/3 usw. Beim Dean-Verfahren lautet sie 0; 1 1/3; 2 2/5; 3 3/7; 4 4/9 usw. (Bildung des harmonischen Mittels), beim Hill-Huntington-Verfahren 0; Wurzel 2; Wurzel 6; Wurzel 12; Wurzel 20 usw. (Bildung des geometrischen Mittels). – Legt man die Rundungsgrenze für den ersten Sitz (willkürlich) auf 0,8, für den zweiten auf 1,7, für den dritten auf 2,5, für den vierten auf 4, für den fünften auf 4,9 fest, und sollen alle weiteren Sitze nach Sainte-Laguë vergeben werden, lautet die Divisorreihe 0,8; 1,7; 2,5; 4; 4,9; 5,5; 6,5; 7,5 usw.

Die Divisorreihen können mit einem beliebigen Faktor multipliziert werden, ohne dass dies einen mathematischen Unterschied macht. So kann beim Sainte-Laguë-Verfahren z. B. auch die Divisorreihe 1; 3; 5; 7; 9 usw. oder 500; 1500; 2500; 3500; 4500 usw. verwendet werden.

Interpretation der Höchstzahlen: Wenn die Divisorreihe nicht mit einem beliebigen Faktor multipliziert wird, bedeutet die Höchstzahl x des letzten vergebenen Sitzes nach D’Hondt, dass jede Partei für x Stimmen einen Sitz, für weniger als x Reststimmen aber keinen Restsitz erhält. Die Höchstzahl x des letzten vergebenen Sitzes nach Sainte-Laguë bedeutet, dass jede Partei für x Stimmen einen Sitz und für mindestens 0,5x Reststimmen noch einen Restsitz erhält. Die Höchstzahl x des letzten vergebenen Sitzes nach Adams bedeutet, dass jede Partei für x Stimmen einen Sitz und für mindestens eine Reststimme noch einen Restsitz erhält.

Rangmaßzahlverfahren: Das Rangmaßzahlverfahren ist eine triviale Abwandlung des Höchstzahlverfahrens. Die Rangmaßzahlen sind die Kehrwerte der Höchstzahlen. Da es sich hierbei um sehr kleine Zahlen handelt, bietet es sich an, mit der Gesamtstimmenzahl zu multiplizieren. Die Rangmaßzahlen geben den Zugriffsrang für einen Sitz an. Die Sitze werden in der Reihenfolge der kleinsten Rangmaßzahlen vergeben.

Nicht selbstabbildende Verfahren[Bearbeiten]

Ein Verfahren ist selbstabbildend (idempotent in Bezug auf die Proportionalität), wenn es bei einem Wahlergebnis, welches bei jeder Partei zu einer ganzzahligen Quote führt, jeder Partei Sitze entsprechend ihrem Idealanspruch (ihrer Quote) zuteilt. Beispiel: Wenn 100 Sitze zu vergeben sind und Partei A eine Quote von 50,0, Partei B eine Quote von 30,0 und Partei C eine Quote von 20,0 hat, lautet die Sitzverteilung bei jedem selbstabbildenden Verfahren 50 - 30 - 20.

Die Selbstabbildung ist – neben der Konstanz der Rundungsgrenze – ein eigenständiges Kriterium. Ein Divisorverfahren mit konstanter oder variabler Rundungsgrenze kann selbstabbildend oder nicht selbstabbildend sein.

Nicht selbstabbildende (disproportionale) Verfahren werden dem Grundsatz der Proportionalität nicht gerecht, verstoßen somit gegen die Gleichheit der Wahl und haben daher bei Wahlen keine praktische Bedeutung. Auch ist keine mathematisch formulierte Forderung bekannt, zu deren Erfüllung ein nicht selbstabbildendes Verfahren dienen könnte.

Nicht selbstabbildende Verfahren mit konstanter Rundungsgrenze

Das Imperiali-Verfahren bevorzugt massiv größere Parteien. Rundungsregel: Abrundung minus 1. Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 2; 3; 4; 5; 6 usw. Im Beispiel seien 1000 Stimmen abgegeben worden. Somit müssen auf Partei A 500, auf Partei B 300 und Partei C 200 Stimmen entfallen. Die Sitzverteilung lautet 51 - 30 - 19 (geeigneter Divisor: 9,6). Nach der Rundungsregel Abrundung minus 5 lautet die Divisorreihe 6; 7; 8; 9; 10 usw. Im Beispiel ergibt sich die Sitzverteilung 53 - 29 - 18 (geeigneter Divisor: 8,6). Nach der Rundungsregel Abrundung minus 145 ergibt sich die Sitzverteilung 99 - 1 - 0 (geeigneter Divisor: 2,045). Ab der Rundungsregel Abrundung minus 148 erhält Partei A alle 100 Sitze (geeigneter Divisor: 2,015). Fazit: Für jedes beliebige Wahlergebnis kann ein Sitzzuteilungsverfahren kreiert werden, welches der stärksten Partei, und sei sie dies nur mit einer einzigen Stimme Vorsprung, die Gesamtzahl der zu vergebenden Sitze zuteilt.

Das Gegenstück zum Imperiali-Verfahren ist das Verfahren mit der Rundungsregel Aufrundung plus 1. Es bevorzugt massiv kleinere Parteien. Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 0; 0; 1; 2; 3; 4 usw. Im Beispiel ergibt sich die Sitzverteilung 49 - 30 - 21 (geeigneter Divisor: 10,5). Nach der Rundungsregel Aufrundung plus 5 lautet die Divisorreihe 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 2; 3; 4 usw. Im Beispiel ergibt sich die Sitzverteilung 47 - 31 - 22 (geeigneter Divisor: 11,95). Nach der Rundungsregel Aufrundung plus 32 ergibt sich die Sitzverteilung 34 - 33 - 33 (geeignete Divisoren: alle von 301 bis 499). Fazit: Für jedes beliebige Wahlergebnis kann ein Sitzzuteilungsverfahren kreiert werden, welches die Gesamtzahl der zu vergebenden Sitze mit maximaler Gleichmäßigkeit auf die Parteien verteilt, und seien die Unterschiede in den Parteistärken noch so groß. Voraussetzung ist lediglich, dass jede Partei mindestens eine einzige Stimme bekommt.

Weitere nicht selbstabbildende Verfahren mit konstanter Rundungsgrenze

  • Verfahren mit der Rundungsregel „kaufmännische Rundung minus 1“: Bevorzugung größerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „kaufmännische Rundung minus 2“: Noch stärkere Bevorzugung größerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „kaufmännische Rundung plus 1“: Bevorzugung kleinerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 0; 0,5; 1,5; 2,5; 3,5 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „kaufmännische Rundung plus 2“: Noch stärkere Bevorzugung kleinerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 0; 0; 0,5; 1,5; 2,5 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „Rundungsgrenze beim Nachkommawert 4 mit Subtraktion von 1“: Bevorzugung größerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 1,4; 2,4; 3,4; 4,4; 5,4 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „Rundungsgrenze beim Nachkommawert 4 mit Addition von 1“: Bevorzugung kleinerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 0; 0,4 1,4; 2,4; 3,4 usw.

Nicht selbstabbildende Verfahren mit variabler Rundungsgrenze

  • Verfahren mit der Rundungsregel „harmonische Rundung minus 1“: Bevorzugung größerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 1 1/3; 2 2/5; 3 3/7; 4 4/9; 5 5/11 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „harmonische Rundung minus 2“: Noch stärkere Bevorzugung größerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 2 2/5; 3 3/7; 4 4/9; 5 5/11; 6 6/13 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „harmonische Rundung plus 1“: Bevorzugung kleinerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 0; 0; 1 1/3; 2 2/5; 3 3/7 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel harmonische Rundung plus 2: Noch stärkere Bevorzugung kleinerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 0; 0; 0; 1 1/3; 2 2/5 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „geometrische Rundung minus 1“: Bevorzugung größerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: Wurzel 2; Wurzel 6; Wurzel 12; Wurzel 20; Wurzel 30 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „geometrische Rundung minus 2“: Noch stärkere Bevorzugung größerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: Wurzel 6; Wurzel 12; Wurzel 20; Wurzel 30; Wurzel 42 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „geometrische Rundung plus 1“: Bevorzugung kleinerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 0; 0; Wurzel 2; Wurzel 6; Wurzel 12 usw.
  • Verfahren mit der Rundungsregel „geometrische Rundung plus 2“: Noch stärkere Bevorzugung kleinerer Parteien, Divisorreihe bei Verwendung des Höchstzahlverfahrens: 0; 0; 0; Wurzel 2; Wurzel 6 usw.

Automatische Verfahren[Bearbeiten]

Bei einem automatischen Verfahren wird die Gesamtsitzzahl nicht vorher festgelegt, sondern sie hängt ab von der Zahl der Wähler oder der Wahlbeteiligung. Statt einer feststehenden Gesamtsitzzahl gibt es eine feststehende Wahlzahl, und die Stimmenzahlen der Parteien geteilt durch diese Wahlzahl und nach einer festgelegten Rundungsregel gerundet ergibt unmittelbar den Sitzanspruch.

Alle Divisorverfahren lassen sich als automatische Methode gestalten, man braucht nur die Wahlzahl festzulegen und die Rundungsregel zu übernehmen. Ihre Eigenschaften haben denselben Bestand wie bei Verwendung für die Zuteilung einer feststehenden Gesamtsitzzahl und können hier sogar besser veranschaulicht werden.

Die nötigen Stimmenzahlen für die ersten Sitze lassen sich zum Beispiel bei einer Wahlzahl von 1000 leicht der Tabelle im Exkurs 1 entnehmen:

  • Nach D’Hondt erhält jede Partei für je 1000 Stimmen einen Sitz, für etwaige Reststimmen aber keinen Restsitz. Das heißt, bei einer Stimmenzahl von 1999 wird nur ein einziger Sitz zugeteilt. Dass dieses Verfahren kleine Parteien systematisch benachteiligt und große begünstigt, ist leicht erkennbar.
  • Das Gegenstück zum D’Hondt-Verfahren bildet das Adams-Verfahren. Jede Partei erhält für 1000 Stimmen einen Sitz und bei nur einer einzigen Reststimme noch einen Reststitz. Das heißt, bei einer Stimmenzahl von 1 wird bereits ein Sitz zugeteilt, in diesem Fall ein Restsitz. Für 2 Sitze werden mindestens 1001 Stimmen benötigt usw.
  • Nach Sainte-Laguë wird ab 500 Reststimmen ein Restsitz zugeteilt. Das heißt, für den ersten Sitz werden mindestens 500 Stimmen benötigt, für den zweiten mindestens 1500 usw.
  • Nach Dean wird für den ersten Sitz nur eine einzige Stimme benötigt, für den zweiten mindestens 1334, für den dritten mindestens 2400, für den vierten mindestens 3429, für den fünften mindestens 4445 usw.
  • Nach Hill-Huntington wird für den ersten Sitz nur eine einzige Stimme benötigt, für den zweiten mindestens 1415, für den dritten mindestens 2450, für den vierten mindestens 3465, für den fünften mindestens 4473 usw.

Quotenverfahren können aufgrund ihrer Inkonsistenz nicht als automatische Methode beschrieben werden: Der Sitzanspruch einer Partei hängt ab von den Kräfteverhältnissen zwischen anderen.

Biproportionales Verfahren[Bearbeiten]

Ausgangslage für eine Sitzverteilung nach dem biproportionalen Verfahren ist ein in Wahlkreise eingeteiltes Wahlgebiet, wobei jeder Wahlkreis (zum Beispiel gestützt auf seine Bevölkerungszahl) Anspruch auf eine bestimmte Zahl von Sitzen hat. Das biproportionale Sitzzuteilungsverfahren erfolgt in zwei Schritten.

Oberzuteilung[Bearbeiten]

Zunächst werden die Sitze innerhalb des ganzen Wahlgebiets auf die sog. Listengruppen verteilt (sog. Oberzuteilung). Listengruppen sind die zusammengezogenen Listen aller Wahlkreise mit gleicher Bezeichnung; faktisch entsprechen die Listengruppen also den politischen Parteien im Wahlkreis. Dies geschieht mit einem Divisorverfahren, zum Beispiel jenem nach Sainte-Laguë (kaufmännische Rundung). Haben die Wahlkreise Anspruch auf unterschiedlich viele Sitze und hat jeder Wähler so viele Stimmen, wie Sitze im betreffenden Wahlkreis zu vergeben sind, so muss zunächst die Stimmkraft ausgeglichen werden: Die Listenstimmenzahl ist durch den Sitzanspruch des Wahlkreises zu dividieren und ergibt die sog. Wählerzahl. Die Oberzuteilung erfolgt aufgrund der addierten Wählerzahlen aller Listen einer Listengruppe. Die Summe sämtlicher Wählerzahlen, dividiert durch die Zahl der Sitze, wird Wahlschlüssel genannt.

Beispiel: Parlament mit 15 Sitzen. Das Wahlgebebiet ist in die Wahlkreise I, II und III eingeteilt, wobei die Wahlkreise Anspruch auf 4, 5 bzw. 6 Sitze haben. Es treten drei politische Parteien (Listengruppen) A, B und C an. Im Kern der nachfolgenden Tabelle sind die Listenstimmen angegeben, ferner kursiv die Wählerzahlen jeder Liste, ermittelt durch Division der Listenstimmen durch den Sitzanspruch des Wahlkreises. Die Spalte rechts weist das Total der Wählerzahlen jeder Listengruppe aus; deren Summe beträgt 3985+5500+6015=15500. Bei einem Wahlschlüssel von 15500/15 \approx 1033 ergeben sich gestützt auf die Totale der Wählerzahlen die Ansprüche von 4, 5 und 6 Sitzen für die Listengruppen A, B und C.

WK I WK II WK III Total Wählerzahlen Wahlschlüssel Sitzanspruch (gerundet)
(4 Sitze) (5 Sitze) (6 Sitze)
Listengruppe A 5100 9800 4500
1275 1960 750 3985 ./. 1033 4 Sitze
Listengruppe B 6000 10000 12000
1500 2000 2000 5500 ./. 1033 5 Sitze
Listengruppe C 6300 10200 14400
1575 2040 2400 6015 ./. 1033 6 Sitze

Unterzuteilung[Bearbeiten]

Im zweiten Schritte werden die den Listengruppen zugewiesenen Sitze an die einzelnen Listen dieser Gruppe weitergegeben. Dazu werden die Stimmenzahl einer Liste durch den Listengruppendivisor der betreffenden Listengruppe und durch den Wahlkreisdivisor des betreffenden Wahlkreises geteilt. Der gerundete Quotient ergibt den Sitzanspruch dieser Liste. Die Listengruppendivisoren und die Wahlkreisdivisoren werden dabei so groß gewählt, dass folgende Bedingungen erfüllt sind, wenn für alle Listen wie soeben beschrieben verfahren wird:

  1. Jede Listengruppe (politische Partei) erhält so viele Sitze, wie ihr bei der Oberzuteilung zugewiesen worden sind.
  2. Jeder Wahlkreis erhält so viele Sitze, wie ihm vorgängig (zum Beispiel aufgrund der Bevölkerungszahl) zugewiesen worden sind.

Beispiel: In der nachfolgenden Tabelle sind links die Sitzansprüche der Listen eingetragen, wie sie sich aus der Oberzuteilung ergeben haben. Rechts sind die Listengruppendivisoren und unten die Wahlkreisdivisoren hinzugefügt. Der Tabellenkern nennt die Listenstimmen und – mit Bindestrich abgesetzt – den Sitzanspruch der Liste. Lesebeispiel: Die Liste A im WK I hat 5100 Parteistimmen gemacht. Dieser Wert geteilt durch den Divisor der Listengruppe A (=0.9) und den Divisor des Wahlkreises I (=4090) ergibt 1.26. Gerundet resultiert ein Anspruch von einem Sitz für diese Liste.


WK I WK II WK III Listengruppendivisor
(4 Sitze) (5 Sitze) (6 Sitze)
Listengruppe A 5100-1 9800-2 4500-1 0.9
(4 Sitze)
Listengruppe B 6000-1 10000-2 12000-2 1
(5 Sitze)
Listengruppe C 6300-2 10200-1 14400-3 1.025
(6 Sitze)
Wahlkreisdivisor 4090 6635 5150

Es kann mathematisch nachgewiesen werden, dass die Anwendung des Verfahrens eine eindeutige Sitzverteilung ergibt. Das heißt, dass es keine zwei verschiedenen Divisoren gibt, die sämtliche Bedingungen erfüllen, aber zu unterschiedlichen Sitzverteilungen führen.

Vor- und Nachteile[Bearbeiten]

Der Hauptvorteil des Verfahrens ist die maximale Abbildungsgenauigkeit bei der Zusammensetzung des Parlaments hinsichtlich der Listengruppen (politischen Parteien). Denn bei der Oberzuteilung werden in einem einzigen Schritt alle Sitze verteilt. Der Nachteil liegt darin, dass innerhalb einer Listengruppe und innerhalb eines Wahlkreises keine direkte, sondern nur eine tendenzielle Proportionalität zwischen Stimmenzahl und Sitzanspruch besteht. Denn für jede Liste einer Listengruppe besteht zwar derselbe Listengruppendivisor; hingegen sind die Wahlkreisdivisoren der Listen dieser Listengruppe unterschiedlich.

Das Verfahren beruht auf einer Idee von Michel Balinski und wurde von Friedrich Pukelsheim für den Kanton Zürich operabel gemacht und ist dort unter dem Namen Doppelter Pukelsheim bekannt. Am 12. Februar 2006 wurde erstmals ein Parlament nach diesem Verfahren gewählt – jenes der Stadt Zürich. Im Jahr 2007 wurde das Parlament des Kantons Zürich nach diesem Verfahren gewählt.[2]

Gütekriterien für die Auswahl eines Sitzzuteilungsverfahrens[Bearbeiten]

Kein Sitzzuteilungsverfahren kann sämtliche Kriterien gleichzeitig erfüllen. Es bleibt daher Raum für die politische Setzung von Prioritäten bei der Auswahl des Zuteilungsverfahrens, soweit dem nicht verfassungsrechtliche Beschränkungen entgegenstehen. So leitet etwa die Verfassungsgerichtsbarkeit in Deutschland aus dem Grundsatz der Wahlgleichheit bei Verhältniswahlen die Erfolgswertgleichheit der Wählerstimmen ab, was die Verwendung des große Parteien bzw. deren Wähler bevorzugenden D’Hondt-Verfahrens eigentlich ausschließen müsste. Dieses Verfahren wurde trotzdem für verfassungsgemäß erklärt, da es – nach dem Wissensstand des Bundesverfassungsgerichts von 1963 – ein exakteres praktisch durchführbares System, das zu gerechteren Ergebnissen führen würde, nicht gibt (BVerfGE 16, 130 <144>). Die Prüfung der Erfüllung und Gewichtung der folgenden und vom Verfassungsgericht selbst priorisierten Gütekriterien fand damals und in vielen folgenden Verfahren nicht statt. Eine dazu vor dem Bundesverfassungsgericht anhängige Wahlprüfungsbeschwerde zur Bundestagswahl 2002 ist (Stand: Mai 2008) noch nicht entschieden.

Quotenbedingung und Konsistenz[Bearbeiten]

Quotenbedingung (auch: Quotenkriterium, Idealrahmenbedingung, Idealrahmenkriterium):
Die Sitzzahl einer Partei darf nur um weniger als 1 von ihrem Idealanspruch (ihrer Quote) abweichen. Nur Quotenverfahren mit höchstens einem Restsitz pro Partei erfüllen immer die Quotenbedingung. Alle Divisorverfahren können sie verletzen.

Hausmonotonie (auch Sitz- oder Mandatszuwachskriterium):
Eine Vergrößerung der Gesamtzahl der zu verteilenden Sitze darf niemals die Anzahl der Sitze für eine Partei verringern und umgekehrt. Siehe auch Alabama-Paradoxon als Mandatszuwachsparadoxon. Nur Divisorverfahren erfüllen die Hausmonotonie.

Stimmenmonotonie (auch: Wählerzuwachskriterium):
Ein Stimmenzuwachs der einen Partei darf niemals zu Mandatsverschiebungen zwischen zwei anderen Parteien führen. Siehe auch Wählerzuwachsparadoxon. Nur Divisorverfahren erfüllen die Stimmenmonotonie.

Die Doppelforderung von Hausmonotonie und Stimmenmonotonie heißt Konsistenz. Ein Sitzzuteilungsverfahren kann nicht gleichzeitig konsistent sein und die Quotenbedingung erfüllen (Unmöglichkeitssatz von Balinski und Young). Alle Divisorverfahren sind konsistent mit der Folge, dass das Alabama-Paradoxon sowie das Wählerzuwachsparadoxon bei diesen Verfahren nicht auftreten können.

Gleichheit der Wahl[Bearbeiten]

Die Wahl sollte jedem Wähler die gleiche Möglichkeit geben, auf die Zusammensetzung des zu wählenden Gremiums Einfluss zu nehmen. Das erfordert eine möglichst proportionale Umrechnung der Wählerstimmen in politische Mandate, also eine Sitzzuteilung für jede Partei möglichst nahe an ihrem rechnerischen Idealanspruch. Ein geeignetes Maß dafür ist der Vertretungswert und ebenso sein Kehrwert, der Erfolgswert.

Der Vertretungswert (auch: das Vertretungsgewicht) einer Partei bei einer bestimmten Sitzzuteilung ist die Anzahl der Stimmen für diese Partei geteilt durch die Anzahl der Sitze, die dieser Partei zugeteilt werden. Der Vertretungswert einer Partei ist also derselbe für alle Sitze dieser Partei. Er ist eine reine Zahl, ohne Maßeinheit (im Gegensatz zu einem Wert, er ist also eine Vertretungszahl). Diese (Bruch-)Zahl besagt sehr anschaulich, wie viele Wähler im Mittel hinter jedem Abgeordneten der Partei stehen. – Gleichheit der Wahl erfordert, dass die Vertretungswerte für alle Parteien möglichst nahe beieinander (und nahe bei ihrem Mittelwert) liegen. – Den mittleren Vertretungswert einer Europawahl mit dem einer Kommunalwahl zu vergleichen hat dagegen wenig Sinn.

Der Erfolgswert (auch: das Erfolgsgewicht) einer Wählerstimme für eine Partei ist der Quotient aus der Sitzanzahl der gewählten Partei und der Anzahl ihrer Wählerstimmen, also der Kehrwert des Vertretungswerts. Er ist ein Maß für das Gewicht einer Wählerstimme bei der Zusammensetzung des zu wählenden Gremiums.

Da die idealen Sitzansprüche (Quoten) der Parteien auf ganze Zahlen gerundet werden müssen (die Vergabe von Sitzbruchteilen dürfte sich kaum realisieren lassen), entstehen zwischen den Parteien zwangsläufig Unterschiede beim Erfolgswert ihrer Wählerstimmen und folglich auch beim Vertretungswert ihrer Abgeordneten. Es gibt mehrere Maße solcher Unterschiede. Von den hier folgenden kann man immer nur eins optimieren, nicht zwei zugleich.

  • Maximierung des kleinsten Vertretungswerts:
    Der Vertretungswert der Partei mit dem niedrigsten Vertretungswert soll maximiert werden. Dieses Gütekriterium wird nur durch das Ergebnis des D'Hondt-Verfahrens erfüllt (unabhängig vom Rechenverfahren). Bei gegebenem Wahlergebnis gibt es keine andere Sitzzuteilung, bei der das Stimmen-Sitz-Verhältnis der Partei mit dem niedrigsten Stimmen-Sitz-Verhältnis höher wäre als das Stimmen-Sitz-Verhältnis der Partei mit dem niedrigsten Stimmen-Sitz-Verhältnis bei der Zuteilung nach D’Hondt. Der Beweis ist im Rechenverfahren von D'Hondt unmittelbar erkennbar: Die niedrigste Höchstzahl, für die dort ein Sitz zugeteilt wird, ist der kleinste Vertretungswert; jede andere Zuteilung ergäbe einen kleineren minimalen Vertretungswert. – Diese Maximierung ist (nach obiger Definition beider Werte) gleichbedeutend mit Minimierung des maximalen Erfolgswerts.
  • Minimierung der Streuung der Erfolgswerte:
    Das Sainte-Laguë-Verfahren minimiert die Standardabweichung der Erfolgswerte.[3]
  • Minimierung des größten Unterschieds der relativen Erfolgwerte:
    Das Hill-Huntington-Verfahren minimiert den größten Unterschied der relativen Erfolgswerte und maximiert damit zugleich den kleinsten Unterschied der relativen Vertretungswerte.[4] Beide Ziele sind streng positiv korreliert.
  • Minimierung des größten Unterschieds der Vertretungswerte:
    Das Dean-Verfahren minimiert den größten Unterschied zwischen zwei (absoluten) Vertretungswerten.[5]
  • Minimierung des größten Vertretungswerts:
    Der Vertretungswert der Partei mit dem höchsten Vertretungswert soll minimiert werden. Dieses Gütekriterium wird nur durch das Ergebnis des Adams-Verfahrens erfüllt (unabhängig vom Rechenverfahren).[6] Bei gegebenem Wahlergebnis gibt es keine andere Sitzzuteilung, bei welcher der Vertretungswert der Partei mit dem höchsten Vertretungswert niedriger wäre als der Vertretungswert der Partei mit dem höchsten Vertretungswert bei der Zuteilung nach Adams. – Diese Minimierung ist (nach obiger Definition beider Werte) gleichbedeutend mit Maximierung des minimalen Erfolgswerts.

Mehrheits- und Minderheitsbedingung[Bearbeiten]

Mehrheitsbedingung (auch: Mehrheitskriterium, schwache Mehrheitsbedingung): Eine Partei, die mindestens 50 % der (zuteilungsberechtigten) Stimmen auf sich vereinigt, soll immer mindestens 50 % der Sitze erhalten. Nur Divisorverfahren mit Abrundung erfüllen die Mehrheitsbedingung.

Starke Mehrheitsbedingung: Soll darüber hinaus eine Partei mit absoluter Mehrheit der (zuteilungsberechtigten) Stimmen immer die absolute Mehrheit der Sitze erhalten, muss die Gesamtsitzzahl ungerade sein. Nur dann erfüllt das D’Hondt-Verfahren diese Bedingung. Beispiel: Es sind 10 Sitze zu vergeben. Partei A: 501 Stimmen, Partei B 499 Stimmen. Sitzzuteilung nach D’Hondt: Partei A: 5 Sitze, Partei B: 5 Sitze. Partei A kann zwar die absolute Mehrheit der Stimmen auf sich vereinigen, erhält jedoch nicht die absolute Mehrheit von (mindestens) 6 Sitzen.

Minderheitsbedingung (auch: Minderheitskriterium): Eine Partei, die höchstens 50 % der (zuteilungsberechtigten) Stimmen auf sich vereinigt, soll höchstens 50 % der Sitze erhalten. Nur Divisorverfahren mit Aufrundung erfüllen die Minderheitsbedingung.

Siehe auch: Zielfunktion

Nicht ganzzahlige Stimmgewichte der Gewählten[Bearbeiten]

Die obigen Sitzzuteilungsverfahren basieren alle auf der Grundeigenschaft, dass alle Abgeordnetensitze dasselbe Stimmgewicht aufweisen, d.h. dass jeder Abgeordnete über genau eine Stimme bei jeder Abstimmung verfügt. Alternativ ist auch ein Verfahren denkbar, bei dem Abgeordnetensitze mit verschiedenen Stimmgewichten ausgestattet sind, z.B. könnte jede Partei einen letzten bruchteiligen Sitz bekommen, welcher nur über den Stimmanteil des Hinterkommaanteils des Idealanspruches seiner Partei verfügt. Auch bei gewichteten Sitzen müssen Sitzanzahlen aber als ganze Zahlen errechnet werden, um zu bestimmen, wie viele Abgeordnete auf jede Partei entfallen. Hier benötigt man dann zusätzlich noch eine Regel für die unterschiedliche Gewichtung der Abgeordnetensitze.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://www.faz.net/artikel/C30351/ungerechte-ueberhangmandate-alle-waehler-sind-gleich-einige-bleiben-gleicher-30337372.html
  2. http://www.math.uni-augsburg.de/stochastik/pukelsheim/publikationen.html, Publikation 2004b
  3. http://www.wahlrecht.de/verfahren/stlague.html
  4. http://www.wahlrecht.de/verfahren/hill-123.html
  5. http://www.wahlrecht.de/verfahren/dean.html
  6. http://www.wahlrecht.de/verfahren/adams.html

Weblinks[Bearbeiten]