Sobel-Operator

Der Sobel-Operator ist ein einfacher Kantendetektions-Filter, der in der Bildverarbeitung häufig Anwendung findet und dort mithilfe der Faltung als Algorithmus eingesetzt wird (Sobel-Algorithmus). Dieser berechnet die erste Ableitung der Bildpunkt-Helligkeitswerte, wobei gleichzeitig orthogonal zur Ableitungsrichtung geglättet wird.

Der Algorithmus nutzt eine Faltung mittels einer 3×3-Matrix (Faltungsmatrix), die aus dem Originalbild ein Gradienten-Bild erzeugt. Mit diesen werden hohe Frequenzen im Bild mit Grauwerten dargestellt. Die Bereiche der größten Intensität sind dort, wo sich die Helligkeit des Originalbildes am stärksten ändert und somit die größten Kanten darstellt. Daher wird zumeist nach der Faltung mit dem Sobeloperator eine Schwellwert-Funktion angewandt. Der Algorithmus kann allerdings auch auf andere zweidimensionale Informationen angewandt werden.

Aus dem Originalbild wird für jeden Bildpunkt immer nur ein Ausschnitt, genauer gesagt die Umgebung des zu betrachtenden Punktes verwendet. Dazu wird eine Matrix $A$ definiert, deren Komponenten die Änderungsgewichtung der Umgebung vom Punkt repräsentieren. Die Matrix ist üblicherweise symmetrisch angelegt, sodass keine Änderung in der Umgebung zu einer Nullsumme führt (siehe unten). Nun werden mittels der Sobeloperatoren $\mathbf{S_x}$ und $\mathbf{S_y}$ die gefalteten Resultate $\mathbf{G_x}$ und $\mathbf{G_y}$ berechnet:

$\mathbf{G_x}=\mathbf{S_x} \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot A$

und

$\mathbf{G_y}=\mathbf{S_y} \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix} \cdot A$

Durch Ausnutzung der Separierbarkeit kann die Rechenzeit deutlich reduziert werden.

Anschließend werden alle Komponenten der Matrix aufsummiert, um ihren Grauwert zu erhalten. Eine richtungsunabhängige Information kann man durch die Kombination beider Ergebnisse erhalten: $\mathbf{G} = \sqrt{ \mathbf{G_x}^2 + \mathbf{G_y}^2 }.$

Folgendermaßen erhält man die Richtung eines Gradienten: $\mathbf{\Theta} = \operatorname{arctan}\left({ \mathbf{G_y} \over \mathbf{G_x} }\right).$

Hierbei beschreibt der Wert $\Theta = 0$ eine vertikale Kante. Positive Werte beschreiben eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

Beispielbilder

Originalbild "Camera Obscura", das zur weiteren Berechnung genommen wurde.

Camera Obscura mit vertikalem Sobel gefaltet. Da auch negative Werte entstehen, wird der Nullpunkt als mittleres Grau dargestellt

Camera Obscura mit horizontalem Sobel gefaltet. Da auch negative Werte entstehen, wird der Nullpunkt als mittleres Grau dargestellt

Camera Obscura mit horizontalem und vertikalem Sobel gefaltet, kombiniert und mit Absolutwerten dargestellt.

Scharr-Operator

Der Sobel-Operator hat keine perfekte Rotationssymmetrie. Besser berücksichtigt wird dies mit dem Scharr-Operator :

$\mathbf{G_x}= \begin{bmatrix} 3 & 0 & -3 \\ 10 & 0 & -10 \\ 3 & 0 & -3 \end{bmatrix} \cdot A$

und

$\mathbf{G_y}= \begin{bmatrix} 3 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3 & -10 & -3 \end{bmatrix} \cdot A$

Siehe auch

• Prewitt-Operator Operator ohne Gewichtung der Richtung
• Roberts-Operator einfacherer und älterer Operator
• Canny-Algorithmus Verwendung des Sobel-Operators
• Laplace-Filter