Stirlingformel

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Die Stirling-Formel ist eine mathematische Formel, mit der man für große Fakultäten Näherungswerte berechnen kann. Sie ist benannt nach dem Mathematiker James Stirling.

Grundlegendes[Bearbeiten]

Abweichung der einfachen Stirlingformel von der Fakultät.

Die Stirling-Formel in ihrer einfachsten Form ist eine asymptotische Formel

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^{n},\qquad n\to\infty

Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe Fakultät (!), Quadratwurzel (√), Kreiszahl (π) und Eulersche Zahl (e).

Eine Ableitung findet sich im Artikel Sattelpunktsnäherung.

Genauer gilt für n > 0:

1 < \mathrm e^{1/(12n+1)} \leq \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\cdot(\frac n{\mathrm e})^n} \leq \mathrm e^{1/(12n)} < 1+\frac1{11n}

Insbesondere ist der Grenzwert des Bruches für n\to\infty gleich 1.

Die Stirling-Reihe für \ln(n!) = \sum_{i=1}^n \ln(i) nach der Euler-MacLaurinschen Summenformel lautet


  \ln(n!) \approx n \ln(n)
   - n
   + \tfrac12\ln(2\pi n)
   + \frac1{12 n}
   - \frac1{360 n^3}
   + \cdots
   + \frac{B_{2k}}{(2k-1) 2k} \cdot \frac{1}{n^{2k-1}}
   + \cdots ,

wobei B_k die k-te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Als Näherung betrachtet man lediglich eine endliche Zahl von Gliedern. Der Fehler liegt in der Größenordnung des ersten vernachlässigten Gliedes. Beispiel: bricht man nach dem dritten Glied ab, ist der absolute Fehler kleiner als 1/(12n). Die Reihe selbst konvergiert nicht für festes n, sie ist eine asymptotische Entwicklung.

Für n > 7,31×1043 genügt ein Glied für einen relativen Fehler kleiner als 1 Prozent:

\ln(n!) \approx n \cdot \ln(n)

Für n > 751 genügen zwei Glieder für einen relativen Fehler kleiner als 0,1 Prozent:

\ln(n!) \approx n \cdot \ln(n) - n

Für kleine n lässt sich aus der Formel für vier Glieder eine einfache Formel für n! ableiten. Mit


   {\mathrm e}^{1/(12n)} \approx 1 + \frac{1}{12 n} \approx \sqrt{1+ \frac{1}{6 n}}

ergibt sich die Approximation


  n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^{n} \; {\mathrm e}^{1/(12n)}
   \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^{n} \sqrt{1+ \frac{1}{6 n}}
   = \sqrt{{\pi\over 3} ( 6 n + 1) } \; \left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^{n}

Der Fehler ist (bei minimalem zusätzlichem Rechenaufwand zur Berechnung der ersten beiden Glieder) kleiner als 3 % für n = 0, kleiner als 1 % für n > 0 und kleiner als 0,1 % für n > 2.

Durch Einsetzen in die Exponentialfunktion ergibt sich für n!:


  n! \approx n^n \cdot \sqrt{2\pi n} \cdot \mathrm{e}^{
   - n
   + \frac1{12 n}
   - \frac1{360 n^3}
   + \cdots
   + \frac{B_{2k}}{(2k-1) 2k} \cdot \frac{1}{n^{2k-1}}
   + \cdots},

und durch Einsetzen der Stirlingschen Reihe in die Reihe der Exponentialfunktion:


  n! = n^n \cdot \sqrt{2\pi n} \, \cdot \, \mathrm{e}^{-n} \, \cdot \,
 \left(
   1
   + \frac1{12 n}
   + \frac1{288 n^2}
   - \frac{139}{51840 n^3}
   - \frac{571}{2488320 n^4}
   + \cdots
   + \frac{C_k}{n^k}
   + \cdots
   \right),

wobei die Koeffizienten C_k keinem einfachen Bildungsgesetz genügen.[1]

Herleitung der ersten beiden Glieder[Bearbeiten]

Die Formel wird oft in der statistischen Physik für den Grenzfall großer Teilchenzahlen verwendet, wie sie in thermodynamischen Systemen (Größenordnung 10^{23} Teilchen) vorkommen. Für thermodynamische Betrachtungen ist es meist völlig ausreichend die ersten beiden Glieder \ln(N!)\approx N\ln(N)-N zu berücksichtigen. Diese Formel lässt sich einfach gewinnen, indem man nur den ersten Term der Euler-MacLaurin-Formel verwendet:

\ln(N!)=\sum_{n=1}^{N}\ln(n)\approx\int_{1}^{N}\ln(x)\,\mathrm{d}x=\left[x\ln(x)-x\right]_{1}^{N}=N\ln(N)-N+1\approx N\ln(N)-N

und wird dann in dieser Form gebraucht:

N!\approx \left( \frac{N}{e}\right)^N. [2]

Verallgemeinerung: Stirling-Formel für die Gammafunktion[Bearbeiten]

Für alle  x>0 gilt

\Gamma(x)=\sqrt{2 \pi / x}\,\left(\frac{x}{\mathrm e}\right)^x\,\mathrm e^{\mu(x)},

wobei \mu eine Funktion ist, die 0 < \mu(x) < 1/(12x) für alle  x>0 erfüllt.

Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe Gammafunktion (\Gamma), Quadratwurzel (√), Kreiszahl (π) und Eulersche Zahl (e).

Für alle x>0 ist der Wert einer Approximation von \Gamma(x) nach obiger Formel mit \mu = 0 also immer etwas zu klein. Der relative Fehler ist aber für x ≥ 9 kleiner als 1 % und für x ≥ 84 kleiner als 0,1 %.

Es gilt für alle n\in\mathbb{N}


n! 
=n \Gamma(n) 
=n\sqrt{2 \pi / n}\,\left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^n\,\mathrm e^{\mu(n)}
=\sqrt{2 \pi n}\,\left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^n\,\mathrm e^{\mu(n)}
,

womit sich als Spezialfall die Approximationsformeln des vorigen Abschnitts ergeben.

Anwendungen[Bearbeiten]

Die Stirling-Formel findet überall dort Verwendung, wo die exakten Werte einer Fakultät nicht von Bedeutung sind. Insbesondere bei der Berechnung der Information einer Nachricht und bei der Berechnung der Entropie eines statistischen Ensembles von Subsystemen ergeben sich mit der Stirling-Formel starke Vereinfachungen.

Beispiel: Gegeben sei ein System mit N verschiedenen Subsystemen, von denen jedes m verschiedene Zustände annehmen kann. Ferner sei bekannt, dass der Zustand i mit der Wahrscheinlichkeit \omega_i angenommen werden kann. Damit müssen sich N_i Subsysteme im Zustand i befinden und es gilt N_i/N=\omega_i. Die Zahl der möglichen Verteilungen eines so beschriebenen Systems beträgt dann

N!/(N_1!\,N_2!\,\ldots\,N_m!)

und für dessen Entropie \sigma gilt

\sigma=\ln(N!)-\ln(N_1!)-\ldots-\ln(N_m!).

Mittels der Stirling-Formel kann man nun bis auf Fehler der Ordnung O(\ln(N)) diese Formel vereinfachen zu

\sigma\, =N (\ln N  - 1) - N_1 (\ln N_1  - 1)  - \ldots - N_m (\ln N_m - 1)
=N \ln N  - N_1 \ln N_1  - \ldots - N_m \ln N_m
=(N_1 + \ldots + N_m) \ln N - N_1 \ln N_1  - \ldots - N_m \ln N_m
=- N_1 \ln (N_1/N) - \ldots - N_m \ln (N_m/N)
=- N \sum_{i=1}^m (\omega_i \ln \omega_i)

Damit ergibt sich für die Entropie jedes der N Subsysteme die bekannte Formel

\sigma=-\sum_{i=1}^m \omega_i\ln(\omega_i)

In ähnlicher Weise erhält man (bis auf einen konstanten Vorfaktor) für den Informationsgehalt eines ebenso definierten Systems die Formel

I=-\sum_{i=1}^m \omega_i\log_2{(\omega_i)}

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. In der OEIS finden sich Reihen für Zähler und Nenner von C_k, zusammen mit Kommentaren und Literaturhinweisen, auf Mathworld auch Formeln für das Bildungsgesetz (alles auf Englisch!).
  2. G. Joos, Lehrbuch der theoretischen Physik 1956, S. 516

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]