Trägheitstensor

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Der Trägheitstensor I eines Körpers gibt seine Trägheitsmomente an, also die Trägheit des Körpers bezüglich der Drehungen. Er spielt damit für Drehungen dieselbe Rolle wie die träge Masse für lineare Bewegungen.

Da nicht-kugelförmige Körper für Drehungen um verschiedene Achsen im Allgemeinen verschiedene Trägheitsmomente aufweisen (beispielsweise lässt sich die Drehung eines homogenen zigarrenförmigen Körpers leichter um seine Längsachse als um seine Querachse ändern), reicht – anders als bei der trägen Masse – für die Beschreibung der Trägheitsmomente eine einzelne Zahl nicht aus, sondern es muss ein Tensor verwendet werden.

Berechnung[Bearbeiten]

Ist eine Gesamtmasse gegeben durch einzelne Massenpunkte, so ist der Trägheitstensor I gegeben durch:

I = 
\sum_{i} m_{i}
\begin{pmatrix}
    y_i^2+z_i^2 & -x_i y_i    & -x_i z_i \\
   -y_i x_i     & x_i^2+z_i^2 & -y_i z_i \\
   -z_i x_i     & - z_i y_i     &  x_i^2+y_i^2 \\
\end{pmatrix}

bzw. in Komponentenschreibweise

I_{\alpha\beta}=I_{\beta\alpha}= \sum_{i} m_{i} (r_{i}^2 \delta _{\alpha\beta} 
- x_{i\alpha} x_{i\beta})

Hierbei bezeichnen

  • m_i die Masse des i-ten Massenpunkts
  • x_{i1} = x_i, x_{i2} = y_i und x_{i3} = z_i die Koordinaten seines Ortsvektors
  • r_i = \sqrt{x_i^2+y_i^2+z_i^2} seinen Abstand vom Ursprung.

Die Indizes \alpha und \beta nehmen die Werte 1 bis 3 an, entsprechend den drei Raumdimensionen.

\delta_{\alpha\beta} ist das Kronecker-Delta:

\delta_{\alpha\beta}=\left\{\begin{matrix}1&\mbox{ für }\alpha=\beta\\0&\mbox{ sonst}\end{matrix}\right.

Ist die Masse kontinuierlich im Körper verteilt und sind die Massendichten \rho(\vec{r}) bekannt, so geht man zur Integration über:

I_{\alpha\beta}=\int \limits_{V} \rho(\vec{r})(r^2 \delta_{\alpha\beta} - x_{\alpha} 
x_{\beta}) \,\mathrm{d}V

Man nennt die Diagonalelemente des Trägheitstensors Trägheitsmomente und die restlichen Elemente Deviationsmomente. Diese bewirken bei Rotation durch Fliehkräfte ein Drehmoment normal zur Drehachse. Man stelle sich z. B. eine Stange vor, die um eine Achse rotiert, die mit der Symmetrieachse der Stange einen spitzen Winkel einschließt.

Beispiel: Der homogene Würfel mit Kantenlänge 2a[Bearbeiten]

Trägheitstensoren werden im Allgemeinen in kartesischen Koordinaten berechnet. Aus der Summe in der oben angegebenen Definition

I_{\alpha\beta}=I_{\beta\alpha}= \sum_{i} m_{i} (r_{i}^2 \delta _{\alpha\beta} 
- x_{i\alpha} x_{i\beta})

lässt sich bei konstanter Massenverteilung mit überall bekannter Dichte  \varrho(r) , also  dm = dV \varrho (r) ein Integral machen. Das ist ein gängiger Trick in der Kontinuumsmechanik. Statt über die zahlreichen Einzelmassen (Atome, Moleküle) zu summieren und ihren jeweiligen Abstand  r_i zum Bezugspunkt zu berücksichtigen, geht man zu einem Integral der Form

I_{\alpha\beta}=I_{\beta\alpha}= \int \limits_{V} (r^2 \delta _{\alpha\beta} - x_{\alpha} x_{\beta}) \varrho(r) dV

über. In dem Spezialfall, dass der Körper homogen ist, also über eine durchgehend konstante Dichte verfügt, kann man die Dichte als Konstante vor das Integral ziehen und erhält I_{\alpha\beta}=I_{\beta\alpha}= \varrho \int \limits_{V} (r^2 \delta _{\alpha\beta} - x_{\alpha} x_{\beta}) dV. Nun lassen sich die sechs (drei Haupt- und nur drei Deviationsmomente, da die Matrix symmetrisch ist, das heißt, dass  I_{xy} = I_{yx} gilt) unabhängigen Tensorkomponenten bestimmen. Hier wie auch im allgemeinen Fall ist zu beachten, dass der einzige intellektuelle Anspruch in der Bestimmung der Integrationsgrenzen liegt. Hier ist klar, dass in allen drei Richtungen von -a bis a integriert werden muss. Im Allgemeinen muss man einen Körper in Teilkörper mit geometrisch einfach beschreibbaren Formen zerlegen, dann ergibt sich die Beschreibung der Form durch Abhängigkeit der Integrationsgrenzen von den zu integrierenden Parametern (z. B.

 A = \int_{0}^{b} \int_{0}^{(b-y)} dx dy = b^2/2

für ein in der Diagonale zerschnittenes Quadrat).

 I_{xx} = \varrho \int \limits_{V} (y^2 + z^2) dV = \varrho \frac{16}{3} a^5
 I_{yy} = \varrho \int \limits_{V} (x^2 + z^2) dV = \varrho \frac{16}{3} a^5
 I_{zz} = \varrho \int \limits_{V} (y^2 + x^2) dV = \varrho \frac{16}{3} a^5
 I_{xy} =  I_{yx} = -\varrho \int \limits_{V} yx dV = 0
 I_{yz} =  I_{zy} = -\varrho \int \limits_{V} zy dV = 0
 I_{zx} =  I_{xz} = -\varrho \int \limits_{V} xz dV = 0

Weiterhin ist zu berücksichtigen, dass die Masse des Würfels

 M = V \varrho = (2a)^3 \varrho = 8a^3 \varrho

ist. Dann hat der Tensor die Form

 I = 
\frac{M}{8} 
\begin{pmatrix}
    \frac{16}{3}a^2 & 0        & 0 \\
   0         & \frac{16}{3}a^2 & 0 \\
   0         & 0        &  \frac{16}{3}a^2 \\
\end{pmatrix} =
\frac{2}{3} M a^2
\begin{pmatrix}
    1       & 0 & 0\\
   0         & 1 & 0 \\
   0         & 0        &  1 \\
\end{pmatrix} =

\frac{2}{3} M a^2 E,

wobei E die Einheitsmatrix ist.

Setzt man nun noch die Kantenlänge 2a = d, so ergibt sich

I = \frac{1}{6} M d^2 E

Berechnungen aus dem Trägheitstensor[Bearbeiten]

Trägheitsmomente[Bearbeiten]

Das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Ursprung (also anschaulich die Schwierigkeit, den Körper um diese Achse zu drehen) berechnet man mit Hilfe des Trägheitstensors folgendermaßen:

Ist \vec n ein Einheitsvektor (Vektor der Länge 1) in Richtung der Achse, so ist das zugehörige Trägheitsmoment

I_n = \sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 I_{\alpha\beta} n_\alpha n_\beta=\vec n ^T \cdot \left( I\cdot \vec n \right),

wobei n_\alpha die Komponenten des Einheitsvektors sind. Insbesondere geben die Diagonalelemente I_{11}, I_{22} und I_{33} die Trägheitsmomente um die Koordinatenachsen an.

Beispiel: Trägheitsmoment entlang der Diagonalen[Bearbeiten]

Der Trägheitstensor sei

I=\mathrm{\left(\begin{matrix}
4 kg \cdot m^2 & 0 & 0\\
0 & 2 kg \cdot m^2 & 0\\
0 & 0 & 6 kg \cdot m^2
\end{matrix}\right)},

und die Richtung der Achse sei gegeben durch den Normalenvektor

\vec n = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)

(das ist gerade eine der Raumdiagonalen). Dann ist das Trägheitsmoment gegeben durch

\mathrm{I_n = \frac{1}{3} (1 \cdot 4 kg \cdot m^2 \cdot 1
+ 1 \cdot 2 kg \cdot m^2 \cdot 1 + 1 \cdot 6 kg \cdot m^2 \cdot 1)
= 4 kg \cdot m^2}.

Drehimpuls[Bearbeiten]

Für eine beliebige Winkelgeschwindigkeit \vec \omega lässt sich der Drehimpuls durch Matrizenmultiplikation des Trägheitstensors mit dem Spaltenvektor der Winkelgeschwindigkeit berechnen: \vec L = I \ \vec \omega

Eigenschaften[Bearbeiten]

Der Trägheitstensor eines ausgedehnten Körpers hat den Rang 3 und die Dimension eines Trägheitsmoments, also 1 kg·m² als SI-Einheit.

Er ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, also

I_{ij} = I_{ji}.

Hauptträgheitsachsen und Hauptträgheitsmomente[Bearbeiten]

Wählt man als Koordinatenachsen die Achse des größten und die des kleinsten Trägheitsmoments sowie die auf diesen beiden senkrecht stehende Achse, so ist der Trägheitstensor in diesen Koordinaten diagonal. (Sind alle Trägheitsmomente gleich, so können drei beliebige aufeinander senkrecht stehende Achsen gewählt werden.) Diese drei Achsen nennt man Hauptträgheitsachsen, die zugehörigen reellen und nichtnegativen Eigenwerte I_1, I_2, I_3 des Trägheitstensors Hauptträgheitsmomente. Per Definition gilt:

I_{max} = I_{1} \geq I_{2} \geq I_{3} = I_{min}.

Außerdem:

I_{1} + I_{2} \geq I_{3},

auch bei beliebiger Vertauschung untereinander (d. h. I_{1} + I_{3} \geq I_{2} und I_{2} + I_{3} \geq I_{1}).

  • Sind alle drei Hauptträgheitsmomente untereinander gleich: I_1 = I_2 = I_3, so ist der Körper punktsymmetrisch wie eine Kugel oder ein Würfel.
  • Sind nur zwei der drei Hauptträgheitsmomente untereinander gleich, z. B. I_1 = I_2 \not = I_3, so handelt es sich um einen Rotationskörper, wie etwa einen Zylinder, oder z. B. um einen Stab mit quadratischer oder hexagonaler Grundfläche.
  • Sind I_1, I_2 und I_3 paarweise voneinander verschieden, so liegt keine Symmetrie vor, und/oder der Koordinatenursprung liegt nicht im Schwerpunkt.

Die Drehimpulse bei Rotation um die Hauptträgheitsachsen können durch einfache Multiplikation des jeweiligen (skalaren) Hauptträgheitsmoments mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor berechnet werden, z. B.:

\vec {L_1} = I_1 \ \vec \omega

Drehung nicht um die Hauptträgheitsachsen[Bearbeiten]

Häufig liegt der Trägheitstensor nicht diagonal vor. Da er symmetrisch ist, lässt er sich jedoch immer diagonaliseren, d. h. für jeden Punkt im starren Körper lassen sich die Hauptträgheitsachsen finden. Im Grunde ist dies ein Eigenwertproblem: zunächst werden die Hauptträgheitsmomente als Eigenwerte des Trägheitstensors berechnet. Anschließend berechnet man die drei zugehörigen Richtungen bzw. Hauptträgheitsachsen als Eigenvektoren aus den Eigenwerten und I. Die Eigenvektoren bilden eine orthogonale Basis im Raum, d. h. sie stehen senkrecht aufeinander. Sie lassen sich zu einer Transformationsmatrix T zusammenfassen, welche die Informationen über unser neu ausgerichtetes Koordinatensystem trägt.

Für jeden nicht-diagonalen Tensor I gibt es also eine Transformationsmatrix T \in \mathbb{R}^{3\times 3}, sodass gilt:

I' = T^{-1} \cdot I \cdot T

wobei I' nun diagonalisiert ist, seine Einträge den Hauptträgheitsmomenten entsprechen, und T^{-1} die zu T inverse Matrix ist.

Die freie Rotation (ohne dass die Drehachse durch Lager festgehalten wird) ist für Körper im Allgemeinen instabil, d. h. es treten Winkelbeschleunigungen auf. Nur die freie Rotation um die Hauptträgheitsachse mit dem größten oder dem kleinsten Trägheitsmoment ist stabil; die Rotation um die Hauptträgheitsachse mit dem mittleren Trägheitsmoment ist dagegen labil.

Dreht sich der Körper nicht um eine Hauptträgheitsachse, so zeigt der Drehimpuls nicht in Richtung der Drehachse. Daher bleibt die momentane Drehachse nicht fest im Raum, sondern läuft auf der Oberfläche des Rastpolkegels um die Drehimpulsachse herum. Der Körper führt dann eine Taumelbewegung (Nutation) aus.

Wirkt außerdem ein äußeres Drehmoment, so wird die Bewegung noch komplizierter. Man kann dies z. B. an einem Spielzeugkreisel beobachten: zusätzlich zu einer – hier durch das äußere Drehmoment induzierten – Präzession um eine senkrechte Achse (die Rotationsachse wandert am Präzessionskegel entlang) kann man durch einen kleinen Stoß eine überlagerte Nutationsbewegung erzeugen.

Herleitung[Bearbeiten]

Für den Drehimpuls \vec{L} eines Teilchens gilt

\begin{align}
\vec{L} & = \vec{r} \times \vec{p}\\
        & = \vec{r} \times (m \cdot \vec{v})\\
        & = m \cdot \vec{r} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})
\end{align}

mit

  • \vec{r} dem Abstand vom Ursprung
  • \vec{p} dem Impuls
  • m der Masse
  • \vec{v} der Geschwindigkeit.

Dann gilt für die i-te Komponente des Drehimpulses:

L_i = (m\cdot\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}))_i
=m~\varepsilon_{ijk}~r_j~\varepsilon_{klm}~\omega_l~r_m
=m~\varepsilon_{kij}~\varepsilon_{klm}~r_j~\omega_l~r_m
=m~(\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl})~r_j~\omega_l~r_m
=m~(\delta_{il}\delta_{jm}~r_j~\omega_l~r_m - \delta_{im}\delta_{jl}~r_j~\omega_l~r_m)
=m~(r_j~\omega_i~r_j - r_j~\omega_j~r_i)
=m~(\vec{r}\,^2~\omega_i - r_i~r_j~\omega_j)
=\underbrace{m~(\vec{r}\,^2~\delta_{ij} - r_i~r_j)}_{=I_{ij}} \omega_j

Dabei ist \varepsilon das Levi-Civita-Symbol und \delta das Kronecker-Delta. Außerdem wurde die Einsteinsche Summenkonvention benutzt.

Damit ist nun

I_{ij} = m\cdot(\vec{r}\,^2~\delta_{ij} - r_i~r_j).

Bei einem Körper aus mehreren Massepunkten muss über diese summiert oder integriert werden.

Alternative Herleitung aus der Definition des Trägheitsmoments[Bearbeiten]

Sei ein rotierender Körper aus einzelnen Massepunkten aufgebaut. Für die Ortsvektoren \vec r_i der Massepunkte wird ein kartesisches Koordinatensystem verwendet, dessen Ursprung mit dem Schwerpunkt des Körpers zusammenfällt. Sei \vec r_n der Ortsvektor des n-ten Massepunktes und s_n sein Abstand von der Drehachse, dann gilt

s_n=\sqrt{(\vec r_n)^2-\left(\frac{\vec \omega}{\omega}\cdot\vec r_n\right)^2}

und somit für das Trägheitsmoment

I=\sum_{n}m_ns_n^2
=\sum_{n}m_n\left((\vec r_n)^2-\left(\frac{\vec \omega}{\omega}\cdot\vec r_n\right)^2\right)
=\frac{1}{\omega^2}\sum_{n}m_n\left((\vec \omega)^2(\vec r_n)^2-\left(\vec \omega\cdot\vec r_n\right)^2\right)
=\frac{1}{\omega^2}\sum_{i,j=1}^3\left\{\sum_{n}m_n\left((\vec r_n)^2\delta_{ij}-r_{n,i}r_{n,j}\right)\right\}\omega_i\omega_j
=\frac{1}{\omega^2}\sum_{i,j=1}^3 I_{ij} \; \omega_i\omega_j

mit dem Trägheitstensor

I_{ij}=\sum_{n}m_n\left((\vec r_n)^2\delta_{ij}-r_{n,i}r_{n,j}\right).

Literatur[Bearbeiten]