Transfinite Arithmetik

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Die transfinite Arithmetik ist die Arithmetik der Ordinalzahlen. Die arithmetischen Operationen zwischen Ordinalzahlen kann man mittels transfiniter Rekursion als stetige Fortsetzung der finiten Rechenoperationen einführen oder durch geeignete Mengenkompositionen, so dass ihre Einschränkung auf den endlichen Ordinalzahlen der üblichen Arithmetik bei den natürlichen Zahlen entspricht. Die Addition und die Multiplikation von Ordinalzahlen ist von Cantor (1897) durch Komposition eingeführt worden, das Potenzieren dagegen funktional mittels Grenzübergang.[1] Die erste ausführliche und systematische Studie über transfinite Arithmetik stammt von Ernst Jacobsthal ("Über den Aufbau der transfiniten Arithmetik", Math. Ann., 1909). Sie zeigt, dass beide Methoden – die funktionale und die Kompositionsmethode – zu denselben Rechenoperationen führen.

Addition[Bearbeiten]

Falls eine von zwei Ordinalzahlen die leere Menge ist, dann ist ihre Summe gleich der anderen Ordinalzahl. Um die Summe zweier nichtleerer Ordinalzahlen \sigma und \tau zu definieren, geht man so vor: Man benennt die Elemente von \tau so um, dass \sigma und die umbenannte Menge \tau^{(0)} disjunkt sind, und „schreibt \sigma links neben \tau^{(0)}“, d. h. man vereinigt \sigma mit \tau^{(0)} und definiert die Ordnung so, dass innerhalb von \sigma und \tau^{(0)} jeweils die vorige Ordnung gilt und jedes Element von \sigma kleiner ist als jedes Element von \tau^{(0)}.[2],[3] Auf diese Weise wird die neue Menge wohlgeordnet und ist ordnungsisomorph zu einer eindeutig bestimmten Ordinalzahl, die man mit \sigma+\tau bezeichnet. Diese Addition ist assoziativ und verallgemeinert die Addition natürlicher Zahlen.

Die erste transfinite Ordinalzahl ist die geordnete Menge aller natürlichen Zahlen, man bezeichnet sie mit \omega. Veranschaulichen wir uns die Summe \omega + \omega: Wir schreiben die zweite Kopie als \{0_{(0)} < 1_{(0)} < 2_{(0)} < \dotsb\}, dann haben wir

\omega + \omega =\textrm{ord}( \{0 < 1 < 2 < 3 < \dotsb < 0_{(0)} < 1_{(0)} < 2_{(0)} < 3_{(0)} < \dotsb\})

Diese Menge ist nicht \omega, denn in \omega ist die 0 die einzige Zahl ohne Vorgänger, und \omega + \omega hat zwei Elemente ohne Vorgänger (0 und 0_{(0)}). Die Menge 3 + \omega sieht so aus:

\textrm{ord}(\{0 < 1 < 2 < 0_{(0)} < 1_{(0)} < 2_{(0)} < 3_{(0)} < \dotsb\})=\omega

Wir haben also 3 + \omega = \omega. Dagegen ist

\omega + 3 = \textrm{ord}(\{0 < 1 < 2 < 3 < \dotsb <0_{(0)} < 1_{(0)} < 2_{(0)}\})

ungleich \omega, denn 2_{(0)} ist das größte Element von \omega+3, aber \omega hat kein größtes. Also ist die Addition nicht kommutativ.[4] Man kann die Summe \xi+\eta von zwei Ordinalzahlen \xi und \eta funktional folgendermaßen definieren, wobei beide Definitionen in ZF äquivalent sind:

  • falls \eta=0, dann sei \xi+\eta=\xi,
  • falls \eta isoliert ist und \eta^{-} der Vorgänger von \eta ist, dann sei \xi+\eta=s(\xi+\eta^{-}),
  • falls \eta eine Limeszahl ist, dann sei \xi+\eta=\textrm{sup}\{\xi+\beta|\beta<\eta\}.

Die Addition ist monoton. Das heißt: \xi<\eta\Rightarrow\beta+\xi<\beta+\eta und \xi\leq\eta\Rightarrow\xi+\beta\leq\eta+\beta. Falls \xi\leq\eta, dann existiert eine eindeutig bestimmte Ordinalzahl x, so dass \eta=\xi+x. Man bezeichnet sie mit: -\xi+\eta.[5] Seien \alpha und \beta zwei Ordinalzahlen. Falls die Gleichung x+\alpha=\beta eine Lösung x hat, dann hat sie im Falle \alpha\ge\omega unendlich viele Lösungen und im Falle \alpha<\omega genau eine. Hat x+\alpha=\beta überhaupt Lösungen, dann versteht man unter \beta-\alpha die kleinste unter ihnen. In diesem Sinne gilt für jede isolierte Zahl \gamma: s(\gamma-1)=\gamma. Jede transfinite Ordinalzahl lässt sich auf genau eine Weise als Summe \lambda+n von einer Limeszahl \lambda und einer endlichen Ordinalzahl n darstellen. Eine Ordinalzahl \delta heißt Rest von \xi, falls es eine Ordinalzahl \eta gibt, so dass \xi=\eta+\delta. Jede Ordinalzahl hat endlich viele Reste.[6]

Multiplikation[Bearbeiten]

Um zwei Ordinalzahlen \sigma und \tau zu multiplizieren, schreibt man \tau hin und ersetzt jedes Element von \tau durch eine andere Kopie von \sigma.[7] Das Ergebnis ist eine wohlgeordnete Menge, die isomorph zu genau einer Ordinalzahl ist, die man mit \sigma\tau bezeichnet.[8] Auch diese Verknüpfung ist assoziativ und verallgemeinert die Multiplikation der natürlichen Zahlen.

Die Ordinalzahl ω·2 sieht so aus:

\{0_{(0)}<1_{(0)}<2_{(0)}<\dotsb<0_{(1)}<1_{(1)}<2_{(1)}<\dotsb\}

Man erkennt, dass ω·2 = ω + ω ist. Dagegen sieht 2·ω so aus:

\{0_{(0)}<1_{(0)}<0_{(1)}<1_{(1)}<0_{(2)}<1_{(2)}<\dotsb\}

und nach Umbenennen sehen wir, dass 2·ω = ω ist. Also ist auch die Multiplikation von Ordinalzahlen nicht kommutativ.

Eines der Distributivgesetze gilt für Ordinalzahlen: \rho(\sigma+\tau)=\rho\sigma+\rho\tau. Das kann man direkt aus den Definitionen ablesen. Jedoch gilt das andere Distributivgesetz nicht allgemein, denn z. B. ist (1+1)ω = 2·ω = ω, aber 1·ω + 1·ω = ω + ω.

Das neutrale Element der Addition ist die 0, das neutrale Element der Multiplikation ist die 1. Keine Ordinalzahl außer 0 hat ein Negatives (ein additiv inverses Element), also bilden die Ordinalzahlen mit der Addition keine Gruppe, und erst recht keinen Ring. Die funktionale Definition der Multiplikation lautet:

  • falls \eta=0, dann sei \xi\eta=\eta,
  • für jede Ordinalzahl \eta sei \xi(\eta+1)=\xi\eta+\xi,
  • falls \eta eine Limeszahl ist, dann sei \xi\eta=\sup\{\xi\beta|\beta<\eta\}.

Es gelten die Monotoniegesetze:[9]

  • \xi<\eta\Rightarrow \forall\beta>0(\beta\xi<\beta\eta)
  • \xi\leq\eta \Rightarrow \xi\beta \leq\eta\beta
  • (\xi+\eta)\beta \leq \xi\beta+\eta\beta

Für je zwei Ordinalzahlen \xi>1 und \eta>1 gilt \xi+\eta \leq \xi\eta.[9] Falls \eta\gamma=\xi, dann heißt \eta Linksteiler von \xi und \gamma Rechtsteiler.[10] Man sagt auch, dass \xi rechtsseitiges Vielfaches von \gamma und linksseitiges Vielfaches von \eta ist. Die Limeszahlen sind die linksseitigen Vielfachen von \omega.[10] Jede Ordinalzahl hat endlich viele Rechtsteiler und nur dann endlich viele Linksteiler, wenn sie keine Limeszahl ist.[10] Mengen aus positiven Ordinalzahlen haben einen größten gemeinsamen Rechtsteiler, einen größten gemeinsamen Linksteiler und ein kleinstes linksseitiges gemeinsames Vielfaches. Ein rechsseitges gemeinsames Vielfaches ist nicht immer vorhanden. Gegenbeispiel ist \{\omega,\omega+1\}.[10] Für zwei Ordinalzahlen \xi und \eta>0 existieren eindeutig bestimmte Ordinalzahlen \beta und \rho<\eta, so dass \xi=\eta\beta+\rho.

Allgemeine Summe[Bearbeiten]

Sei (S_\gamma)_{\gamma\in\xi} ein Netz aus Ordinalzahlen mit der Ordinalzahl \xi als Indexmenge. {\delta_{{S_\gamma}^{(\beta)}}}^{\!\!\!^{\!^{\color{white}.}}} seien die Ordnungsrelationen der Kopien {S_\gamma}^{(\beta)} für \beta<\xi. Die allgemeine Summe aller (S_i)_{\gamma\in\xi} wird wie folgt definiert:

\sum\nolimits_{\gamma<\xi} S_\gamma=\operatorname{ord}\left(\bigcup\nolimits_{\gamma<\xi} {S_{\gamma}}^{(\gamma)}, \bigcup\nolimits_\gamma \delta_{{S_\gamma}^{(\gamma)}}\cup\bigcup\nolimits_{\gamma<\eta<\xi}({S_\gamma}^{(\gamma)}\times {S_\eta}^{(\eta)}) \right)

Die Multiplikation ist also ein Spezialfall der allgemeinen Summe:

\xi\beta=\sum\nolimits_{\gamma<\beta}\xi

Für jedes Ordinalzahlnetz (S_\gamma)_{\gamma\in\xi} existiert genau eine Funktion: F\colon\{\gamma|\gamma\leq\xi\}\rightarrow\textrm{On} mit den folgenden drei Eigenschaften:

  • F(0)=0
  • F(s(\beta))=F(\beta)+S_\beta für jede Ordinalzahl \beta<\xi
  • F(\beta)=\sup_{\eta<\beta} F(\gamma) für jede Limeszahl \beta\leq\xi

Dem Wert F(\xi) entspricht genau die allgemeine Summe von (S_\gamma)_{\gamma\in\xi}.

Allgemeines Produkt[Bearbeiten]

Für ein Ordinalzahlnetz (S_\gamma)_{\gamma\in\xi} sei

P=\left\{x\in\underset{\beta<\xi}{{\mathbf{\times}}} {S_\beta}\Big|\operatorname{card}(\{\zeta<\xi|0<\pi_\zeta(x)\})<\aleph_0 \right\},

wobei

\pi_\zeta\colon\underset{\beta<\xi}{{\mathbf{\times}}} {S_\beta}\rightarrow {S_\zeta}
(\dotsc,a,\dotsc)\mapsto a

die Bezeichnung für die kanonische Projektion ist. Man definiere in P die Relation: {\delta}^*_P=\left\{(x,y)\in P\times P\Big|\{\kappa<\xi| \pi_\kappa(x)<\pi_\kappa(y);\ \forall\eta(\kappa<\eta<\xi)(\pi_\eta(x)=\pi_\eta(y))\}\neq\emptyset \right\}

Das allgemeine Produkt aller Elemente von (S_\gamma)_{\gamma\in\xi} wird durch

\prod_{\gamma<\xi} S_\gamma=\operatorname{ord}\left(P,\delta^*_P\cup \left\{(x,y)\in P\times P|x=y\right\}\right)

definiert. Das allgemeine Produkt besteht also aus Tupeln der Länge \xi, die antilexikografisch geordnet sind und nur endlich viele positive Komponente besitzen. Für jedes Ordinalzahlnetz (S_\gamma)_{\gamma\in\xi} existiert genau eine Funktion: F\colon\{\gamma|\gamma\leq\xi\}\rightarrow\textrm{On} mit den folgenden vier Eigenschaften:

  • F(0)=1
  • F(s(\beta))=F(\beta)S_\beta für jede Ordinalzahl \beta<\xi
  • F(\beta)=\sup_{\eta<\beta} F(\gamma) für Limeszahl \beta\leq\xi, falls \forall\eta<\beta(S_\eta>0)
  • F(\beta)=0 für Limeszahl \beta\leq\xi, falls \exists\eta<\beta(S_\eta=0)

Dem Wert F(\xi) entspricht genau das allgemeine Produkt von (S_\gamma) \gamma\in\xi

Die Folge

\{(0,0,0,\dotsc)<(0,1,0,\dotsc)<(0,0,1,\dotsc)<(0,1,1,\dotsc)<(0,0,2,\dotsc)<(0,1,2,\dotsc)<(0,0,0,1,\dotsc)<\dotsb<(0,1,2,3,0,\dotsc)<(0,0,0,0,1,\dotsc)<\dotsb<(0,1,2,\dotsc,n,0,\dotsc)<(0,0,\dotsc,0,1,0,\dotsc)<\dotsb\}

ist ein Beispiel für eine antilexikografische Ordnung und stellt laut der Definition eine zu \Pi_{\xi<\omega}\xi ordnungsisomorphe Menge dar. Es gilt also \omega=\Pi_{\xi<\omega}\xi und \omega! =\omega\omega, was nicht überraschend ist, weil ja \omega=\sup n n! .

Potenzieren[Bearbeiten]

Die Potenzen sind Spezialfälle von allgemeinen Produkten:

\beta^\xi=\prod\nolimits_{\gamma<\xi}\beta\,

Beispiel[Bearbeiten]

Man kann eine zu \omega^\omega ordnungisomorphe Menge konstruieren, indem man (gemäß Produktdefinition) Folgen aus natürlichen Zahlen mit endlicher Anzahl von positiven Elementen betrachtet:

({\overbrace{{\underbrace{a_0,\dotsc,a_{n-1}}_{n\in\mathbb{N}}},\underbrace{0,\dotsc,0,\dotsc}_{\overset{\shortparallel}{0}}}^{\omega}})\in \omega\times\omega

und diese antilexikografisch ordnet:

(0,0,0,\dotsc)<(1,0,0,\dotsc)<\dotsb<(0,1,0,\dotsc)<(1,1,0,\dotsc)<\dotsb<(0,0,1,\dotsc)<(1,0,1,0,\dotsc)<\dotsb<(0,1,1,0,\dotsc)<(1,1,1,0,\dotsc)<(2,1,1,0,\dotsc)<\dotsb

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für Ordinalzahlen \xi>0, \beta,\eta gilt:

  • \xi^{\beta+\eta}=\xi^\beta\xi^\eta
  • (\xi^{\beta})^\eta=\xi^{\beta\eta}
  • \beta<\eta\Rightarrow\xi^\beta<\xi^\eta
  • \beta\le\xi^\beta.

Für zwei Ordinalzahlen \xi>1 und \eta>1 gilt \xi\eta\leq\xi^\eta. Aus \eta\le\zeta folgt \eta^\beta\le\zeta^\beta. Für zwei Ordinalzahlen \xi>0 und \beta>1 existieren eindeutig bestimmte Ordinalzahlen: \lambda – genannt Logarithmus von \xi zur Basis \beta, positives \delta<\beta und \rho<\beta^\lambda, so dass \xi=\beta^\lambda\delta+\rho (Logarithmus-Satz). Die Potenzregel (\alpha\beta)^\gamma=\alpha^\gamma\beta^\gamma aus der finiten Arithmetik ist in das Unendliche nicht übertragbar:

(2\cdot2)^\omega<2^\omega 2^\omega
(2(\omega+1))^2>2^2 (\omega+1)^2

Cantorsche Normalform[Bearbeiten]

Hauptartikel: Cantorsche Normalform

Für zwei Ordinalzahlen \beta>1 und \xi<\beta^\lambda existieren endlich viele eindeutig bestimmte \lambda_0<\dotsb<\lambda_n<\lambda und \{\kappa_0,\dotsc,\kappa_n\}\subset\beta, so dass

\xi=\beta^{\lambda_n}\kappa_n+\dotsb+\beta^{\lambda_0}\kappa_0.

Diese Darstellung ist unter dem Namen Cantorsche Polynomdarstellung (oder \beta-adische Normalform) bekannt. Sie heißt für \beta=\omega Cantorsche Normaldarstellung (oder Cantorsche Normalform). Man kann die Cantorsche Normaldarstellung rekursiv verwenden und die Ordinalzahlen \lambda_0,\dotsc,\lambda_n genau so wie \xi in ihrer Normalform darstellen. Wenn dieser Prozess nach endlich vielen Schritten in endlichen Ordinalzahlen endet, erhält man einen elementaren Ausdruck für \xi, der aus \omega, natürlichen Zahlen und Zeichen für Rechenoperationen besteht. Allerdings ist dies nicht für jede Ordinalzahl möglich. Noch allgemeiner: durch endlich viele Zeichen lassen sich nur abzählbar viele Ordinalzahlen darstellen – also nur ein „verschwindend kleiner“ Teil der gesamten Klasse \textrm{On}.[11] Es existieren Ordinalzahlen \xi, für die \lambda_n in ihrer Cantorschen Normaldarstellung gleich \xi ist. In diesem Fall führt die Normaldarstellung also zu keiner Vereinfachung. Die kleinste solche Zahl bezeichnet man mit \varepsilon_0. Mit Hilfe der Cantorschen Normaldarstellung werden die Hessenbergschen natürlichen Operationen definiert.

Literatur[Bearbeiten]

  • Bachmann H., Transfinite Zahlen, Springer, 1967
  • Komjath P., Totik V., Problems and Theorems in Classical Set Theory, Springer, 2006, ISBN 978-0387302935
  • Hausdorff F., Grundzüge der Mengenlehre, 1914, Chelsea Publishing Company, New York, 1949
  • Enderton H., Elements of Set Theory, Academic Press Inc., New York, 1977, ISBN 978-0122384400

Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. Cantor G., Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. (Zweiter Artikel), Mathematische Annalen, 1897, 49, S. 207-246
  2. An dieser Stelle ist es angebracht zu erklären, was man unter Umbenennen der Elemente einer Ordinalzahl versteht und womit dieses Umbenennen überhaupt gerechtfertigt ist. Sei X eine nichtleere Ordinalzahl. Für beliebiges Element \xi von X und beliebige Ordinalzahl a wird mit \xi_{(a)} die Menge (a,\xi)=\{\{a\}, \{a,\xi\}\} bezeichnet. Hier ist wichtig, dass die Definition für geordnetes Paar nach Kuratowski verwendet wird. Damit ist garantiert, dass keine der Mengen \xi_{(a)} eine Ordinalzahl ist. Die Menge X^{(a)}=\{\xi_{(a)}\}_{\xi\in X} wird als umbenannte Ordinalzahl oder Kopie bezeichnet. Die Wohlordnung in X^{(a)} sei durch \eta_{(a)}\le\xi_{(a)} \Leftrightarrow \eta\le\xi festgelegt. Ordinalzahlen sind ordnungsisomorph zu ihren Kopien. Keine Kopie ist Ordinalzahl und keine Ordinalzahl ist Element oder Untermenge einer Kopie. Alle Kopien einer Ordinalzahl und die Ordinalzahl selbst sind zueinander paarweise disjunkt.
  3. Es gilt also \delta_{\sigma\cup\tau^{(0)}} =(\sigma\times\tau^{(0)}) \cup \delta_\sigma \cup \delta_{\tau^{(0)}}, wobei \delta_X die Ordnungsrelation der wohlgeordneten Menge (X,\leq_X) bezeichnet.
  4. Es ist sogar so, dass \forall\xi \exist\eta\leq\xi ((\eta+\xi=\xi+\eta)\Rightarrow(\xi=0)) (s. Komjath, 2006, 8.17).
  5. In manchen Quellen wird die Bezeichnung \eta-\xi verwendet, die wohl auf Cantor zurückgeht (s. Sierpinski, 1965, XIV., §4, Th. 2 und Kuratowski, Mostowski, 1968, VII., § 5.). Wir halten uns an die Bezeichnung -\xi+\eta, die man bei Jacobsthal, 1909, S. 166 sowie Hausdorff, 1914, Kap. V., § 2. und Bachmann, § 17.2 findet.
  6. s. Sierpinski, 1965, XIV., § 5
  7. Dabei wird also jedes Element \alpha von \tau durch \sigma^{(\alpha)} ersetzt.
  8. In unseren Bezeichnungen ist also \sigma\tau=ord(\sigma\times\tau,R_1\cup R_2) mit R_1=\bigcup\{\delta_{\sigma^{(\beta)}} | \beta<\tau\} und R_2=\bigcup\{\sigma^{(\xi)}\times\sigma^{(\eta)}|\xi<\eta<\tau\}. Man nennt eine solche Wohlordnung in einem kartesischen Produkt \sigma\times\tau antilexikographisch.
  9. a b s. Bachmann, § 10.
  10. a b c d s. Bachmann, § 17.3, § 18. sowie Sierpinski, 1965, XIV., § 11-12. und Komjath, Totik, 2006, 9.2, 9.8-9 und Jacobsthal, 1909, S. 176-188
  11. s. auch: Königs Paradoxie
  12. Diesem Buch liegt ein spezielles Axiomensystem zugrunde.