Virialgleichungen

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Virialgleichungen sind Erweiterungen der allgemeinen Gasgleichung durch eine Reihenentwicklung nach Potenzen von  1/V_m . Sie stellen genäherte Zustandsgleichungen für reale Gase dar. Bei einem Abbruch der Reihenentwicklung nach dem ersten Glied erhält man wiederum die allgemeine Gasgleichung. Führt man die Reihenentwicklung jedoch weiter, entsteht eine potenziell unendliche Zahl von Zustandsgleichungen mit einer zunehmenden Anzahl von Parametern. In impliziter Form lautet die allgemeine Reihenentwicklung wie folgt:

\frac{p V_m}{R T}=1 + \frac{B_{2V}(T)}{V_m} + \frac{B_{3V}(T)}{V_m^2} + \dotsb

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

Virialkoeffizienten[Bearbeiten]

Die Virialkoeffizienten ergeben sich aus den Wechselwirkungen zwischen den Molekülen. Sie sind nicht physikalisch interpretierbar.

Der zweite Virialkoeffizient ergibt sich näherungsweise aus dem Paarpotential V(r) zwischen den Molekülen:

 B_{2V}(T) = 2 \pi \cdot N_A \cdot \int^\infty_0 \left( 1 - \exp \left( -\frac{V(r)}{k T} \right) \right) r^2 dr

Der dritte Virialkoeffizient hängt von den Wechselwirkungen innerhalb von Gruppen aus drei Molekülen ab, für alle weiteren gilt entsprechendes. Die Virialgleichung mit zwei oder drei Virialkoeffizienten ist nur im Bereich mäßiger Drücke gültig. Wenn keine experimentellen Werte für die Virialkoeffizienten vorliegen, so können diese mit Hilfe des empirischen Modells nach Hayden-O'Connell berechnet werden. Hierbei wird der zweite Virialkoeffizient aus kritischer Temperatur, kritischem Druck, Dipolmoment und Trägheitsradius abgeschätzt.

Verbindung zur Van-der-Waals-Gleichung[Bearbeiten]

Eine andere, weiter verbreitete Zustandsgleichung für reale Gase, stellt die Van-der-Waals-Gleichung dar. Über eine Vereinfachung kann man zwischen dieser und der Virialgleichung mit zwei Virialkoeffizienten eine Verbindung herstellen.

p V_m=R T + B' p + C' p^2 + \dotsb

Wird die Reihenentwicklung nach B' abgebrochen, berechnet sich dieser Korrekturfaktor nach dem Korrespondenzprinzip aus dem kritischen Zustand des jeweiligen Stoffes. Gleichzeitig ist diese Form der Virialgleichung auch eine vereinfachte Form der Redlich-Kwong-Gleichung.

 p V_m =R T+B' p \!
 B'=b-\frac{a}{R T}

Für die Parameter a und b siehe Van-der-Waals-Gleichung. Ist T gleich der Boyle-Temperatur, so gilt B' = 0.

Virialentwicklung: Betrachtung der statistischen Mechanik[Bearbeiten]

Für reale Gase, d.h. wechselwirkende Teilchen, lässt sich die Zustandssumme eines statistischen Ensembles nicht exakt auswerten. Für Gase geringer Dichte lässt sich diese jedoch näherungsweise berechnen. Die Virialentwicklung ist eine Entwicklung der thermischen Zustandsgleichung in der Teilchendichte \rho=N/V (Teilchen pro Volumen):

 \frac{p}{kT}=\sum_{i=1}^{\infty}\rho^{i}B_{i}(T)=\rho\, B_{1}(T)+\rho^{2}\, B_{2}(T)+\rho^{3}\, B_{3}(T)+\mathcal{O}(\rho^{4})

dabei ist B_{i} der i-te Virialkoeffizient. Die Virialkoeffizienten hängen vom Wechselwirkungspotential zwischen den Teilchen und im Allgemeinen von der Temperatur ab.

Für N=N_A und V=V_m erhält man mit N_A k=R obige Darstellung der Virialgleichung, wenn man die Virialkoeffizienten B_{i\,V} definiert als B_{i\,V}=N_{A}^{i-1} B_{i}.

Herleitung im Großkanonischen Ensemble[Bearbeiten]

Im großkanonischen Ensemble lässt sich die Virialentwicklung herleiten. Die großkanonischen Zustandssumme \Xi=\Xi(T,V,\mu) ist definiert als

 \Xi=\sum_{N=0}^{\infty}Z_{N}z^{N}=1+Z_{1}z+Z_{2}z^{2}+Z_{3}z^{3}+\dotsb

Dabei ist Z_{N}:=Z(T,V,N) die kanonische Zustandssumme für N Teilchen im Volumen V bei Temperatur T, z:=e^{\beta\mu} die Fugazität, \beta:=(kT)^{-1} die inverse Temperatur und \mu das chemische Potential. Das großkanonische Potential \Omega=-pV ist mit dem Logarithmus der Zustandssumme verknüpft: \Omega=-kT\,\ln\Xi. Somit erhält man eine Zustandsgleichung als Potenzreihe in der Fugazität (\ln\Xi wird um z=0 entwickelt):

\begin{align}
\frac{pV}{kT} & =-\frac{\Omega}{kT}=\ln\Xi=\ln\!\left(1+Z_{1}z+Z_{2}z^{2}+Z_{3}z^{3}+Z_{4}z^{4}+\dotsb\right)\\
 & =Z_{1}z+\left(Z_{2}-\frac{1}{2}Z_{1}^{2}\right)z^{2}+\left(Z_{3}-Z_{1}Z_{2}+\frac{1}{3}Z_{1}^{3}\right)z^{3}+\left(Z_{4}-Z_{1}Z_{3}-\frac{1}{2}Z_{2}^{2}+Z_{1}^{2}Z_{2}-\frac{1}{4}Z_{1}^{4}\right)z^{4}+\dotsb
\end{align}

Um diese Zustandsgleichung in eine thermische Zustandsgleichung - diese setzt die Zustandsgrößen Druck p, Volumen V, Temperatur T und Teilchenzahl N in Beziehung - umzuwandeln, muss die Fugazität z durch die Teilchenzahl N ausgedrückt werden.

Durch Ableiten des großkanonischen Potentials nach dem chemischen Potential \mu erhält man die negative mittlere Teilchenzahl N:

\begin{align}
N & =-\left.\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}\right|_{T,V}=-\frac{\partial z}{\partial\mu}\left.\frac{\partial\Omega}{\partial z}\right|_{T,V}=-\beta z\left.\frac{\partial(-\beta^{-1}\ln\Xi)}{\partial z}\right|_{T,V}=z\frac{1}{\Xi}\left.\frac{\partial\Xi}{\partial z}\right|_{T,V}
\end{align}

Damit folgt

N\Xi=z\left.\frac{\partial\Xi}{\partial z}\right|_{T,V}\quad\Longleftrightarrow\quad N\left(1+Z_{1}z+Z_{2}z^{2}+Z_{3}z^{3}+\dotsb\right)=Z_{1}z+2Z_{2}z^{2}+3Z_{3}z^{3}+\dotsb

das mit dem Potenzreihenansatz z=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}N^{n} mittels Koeffizientenvergleich für Potenzen in N gelöst werden kann. Die ersten Summanden sind

\begin{align}
z= & \frac{N}{Z_{1}}+\frac{N^{2}}{Z_{1}^{2}}\left(\frac{Z_{1}^{2}-2Z_{2}}{Z_{1}}\right)+\frac{N^{3}}{Z_{1}^{3}}\left(\frac{Z_{1}^{4}-5Z_{1}^{2}Z_{2}+8Z_{2}^{2}-3Z_{1}Z_{3}}{Z_{1}^{2}}\right)+\\
 & +\frac{N^{4}}{Z_{1}^{4}}\left(\frac{Z_{1}^{6}-9Z_{1}^{4}Z_{2}-11Z_{1}^{3}Z_{3}+32Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}+30Z_{1}Z_{2}Z_{3}-40Z_{2}^{3}-4Z_{1}^{2}Z_{4}}{Z_{1}^{3}}\right)+\dotsb
\end{align}

Dies ergibt eingesetzt in obige Zustandsgleichung nach Ordnen von Potenzen von N die thermische Zustandsgleichung

\begin{align}
\frac{pV}{kT}= & N+N^{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{Z_{2}}{Z_{1}^{2}}\right)+N^{3}\left(\frac{1}{3}-\frac{2Z_{2}}{Z_{1}^{2}}+\frac{4Z_{2}^{2}}{Z_{1}^{4}}-\frac{2Z_{3}}{Z_{1}^{3}}\right)+\\
 & + N^{4}\left(\frac{1}{4}-\frac{3Z_{2}}{Z_{1}^{2}}+\frac{27Z_{2}^{2}}{2Z_{1}^{4}}-\frac{20Z_{2}^{3}}{Z_{1}^{6}}-\frac{6Z_{3}}{Z_{1}^{3}}+\frac{18Z_{2}Z_{3}}{Z_{1}^{5}}-\frac{3Z_{4}}{Z_{1}^{4}}\right)+\dotsb
\end{align}

Auf der rechten Seite lässt sich nach dem Äquipartitionstheorem die Ensemble-gemittelte Größe (Summe aller Ortskoordinaten mal Kraft) identifizieren:

\frac{pV}{kT}=N-\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3N}\left\langle q_{i}\frac{\partial(\Phi/kT)}{\partial q_{i}}\right\rangle =N+\frac{1}{3kT}\sum_{i=1}^{3N}\left\langle q_{i}F_{i}\right\rangle =N+\frac{1}{3kT}\sum_{i=1}^{N}\left\langle \boldsymbol{q}_{i}\cdot\boldsymbol{F}_{i}\right\rangle

Führt man die Teilchenzahldichte \rho=N/V ein, so erhält man die Virialentwicklung, d.h. eine Entwicklung der thermische Zustandsgleichung nach Potenzen der Teilchendichte:

\frac{p}{kT} =\rho\underbrace{1}_{B_{1}}+\rho^{2}\underbrace{V\left(\frac{1}{2}-\frac{Z_{2}}{Z_{1}^{2}}\right)}_{B_{2}(T)}+\rho^{3}\underbrace{V^{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{2Z_{2}}{Z_{1}^{2}}+\frac{4Z_{2}^{2}}{Z_{1}^{4}}-\frac{2Z_{3}}{Z_{1}^{3}}\right)}_{B_{3}(T)}+\dotsb

wobei die Virialkoeffizienten B_i (T) identifiziert werden konnten. Im Grenzfall verschwindender Teilchendichte (\rho\to0) erhält man in führender Ordnung das ideale Gasgesetz

\frac{p}{kT}=\rho\equiv\frac{N}{V}

Klassisches Gas[Bearbeiten]

Die kanonische Zustandssumme Z_{N} für N Teilchen ist im klassischen Grenzfall (hier vertauscht der kinetische mit dem potentielle Energieterm) mit der Hamiltonfunktion H=\sum_{i=1}^{N}\frac{\boldsymbol{p}_{i}^{2}}{2m}+U_{N} geben durch

Z_{N} =\frac{1}{N!h^{3N}}\underbrace{\int\! d^{3}\boldsymbol{p}_{1}\dotso d^{3}\boldsymbol{p}_{N}\,\exp\!\left(-\beta\sum_{i=1}^{N}\frac{\boldsymbol{p}_{i}^{2}}{2m}\right)}_{=(h/\Lambda)^{3N}} \underbrace{\int\! d^{3}\boldsymbol{r}_{1}\dotso d^{3}\boldsymbol{r}_{N}\,\exp\!\left(-\beta U_{N}\right)}_{=:Q_{N}}=\frac{Q_{N}}{N!\Lambda^{3N}}

wobei die Impulsintegrationen ausgeführt werden konnten (\Lambda ist die thermische Wellenlänge) und das Konfigurationsintegral Q_{N} eingeführt wurde. Die gesamte potentielle Energie U_{N} von N Teilchen setzt sich aus einem externen Potential (u_{1}) und internen Potentialen zwischen den Gasmolekülen, resultierend aus Zweiteilchen- und Mehrteilchenwechselwirkungen (u_{2}, u_{3}, \dotsc), zusammen:

 U_{N}=U_{N}(\boldsymbol{r}_{1},\dotsc,\boldsymbol{r}_{N})=\sum_{i=1}^{N}u_{1}(\boldsymbol{r}_{i})+\sum_{\underset{i<j}{i,j=1}}^{N}u_{2}(\boldsymbol{r}_{i},\boldsymbol{r}_{j})+\sum_{\underset{i<j<k}{i,j,k=1}}^{N}u_{3}(\boldsymbol{r}_{i},\boldsymbol{r}_{j},\boldsymbol{r}_{k})+\dotsb+u_{N}(\boldsymbol{r}_{1},\dotsc,\boldsymbol{r}_{N})

Mehrteilchenwechselwirkungen können z.B. durch Austauschwechselwirkung, durch Induktion und Dispersion (etwa dem Axilrod-Teller Dreifach-Dipol-Effekt) verursacht werden.

Insbesondere gilt für die Zustandssummen Z_{N} mit den niedrigsten Teilchenzahlen N:

Z_{0}=1\ ,\quad Z_{1}=\frac{Q_{1}}{\Lambda^{3}}\ ,\quad Z_{2}=\frac{Q_{2}}{2\Lambda^{6}}\ ,\quad Z_{3}=\frac{Q_{3}}{6\Lambda^{9}}

wobei die Konfigurationsintegrale wie folgt lauten (die Integrationen über die Ortskoordinaten erstrecken sich auf das zur Verfügung stehende Volumen V, somit \int\! d^{3}\boldsymbol{r} = V):

\begin{align}
Q_{1} & =\int\! d^{3}\boldsymbol{r}_{1}\, e^{-\beta u_{1}(\boldsymbol{r}_{1})}\\
Q_{2} & =\int\! d^{3}\boldsymbol{r}_{1}\int\! d^{3}\boldsymbol{r}_{2}\, e^{-\beta\left[u_{1}(\boldsymbol{r}_{1})+u_{1}(\boldsymbol{r}_{2})+u_{2}(\boldsymbol{r}_{1},\boldsymbol{r}_{2})\right]}\\
Q_{3} & =\int\! d^{3}\boldsymbol{r}_{1}\int\! d^{3}\boldsymbol{r}_{2}\int\! d^{3}\boldsymbol{r}_{3}\, e^{-\beta\left[u_{1}(\boldsymbol{r}_{1})+u_{1}(\boldsymbol{r}_{2})+u_{1}(\boldsymbol{r}_{3})+u_{2}(\boldsymbol{r}_{1},\boldsymbol{r}_{2})+u_{2}(\boldsymbol{r}_{1},\boldsymbol{r}_{3})+u_{2}(\boldsymbol{r}_{2},\boldsymbol{r}_{3})+u_{3}(\boldsymbol{r}_{1},\boldsymbol{r}_{2},\boldsymbol{r}_{3})\right]}
\end{align}

Damit schreibt sich die Virialentwicklung als

 \frac{p}{kT}=\rho\underbrace{1}_{B_{1}}+\rho^{2}\underbrace{V\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{Q_{2}}{Q_{1}^{2}}\right)}_{B_{2}(T)}+\rho^{3}\underbrace{V^{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{Q_{2}}{Q_{1}^{2}}+\frac{Q_{2}^{2}}{Q_{1}^{4}}-\frac{1}{3}\frac{Q_{3}}{Q_{1}^{3}}\right)}_{B_{3}(T)}+\dotsb

und die ersten Virialkoeffizienten lauten:

\begin{align}
B_{1} & =1\\
B_{2} & =\frac{V}{2}\left(1-\frac{2Z_{2}}{Z_{1}^{2}}\right)=\frac{V}{2}\left(1-\frac{Q_{2}}{Q_{1}^{2}}\right)\\
B_{3} & =V^{2}\left(\frac{1}{3}\left[1-\frac{6Z_{3}}{Z_{1}^{3}}\right]-\frac{2Z_{2}}{Z_{1}^{2}}\left[1-\frac{2Z_{2}}{Z_{1}^{2}}\right]\right)=V^{2}\left(\frac{1}{3}\left[1-\frac{Q_{3}}{Q_{1}^{3}}\right]-\frac{Q_{2}}{Q_{1}^{2}}\left[1-\frac{Q_{2}}{Q_{1}^{2}}\right]\right)
\end{align}

Der erste Virialkoeffizient ist identisch 1, der zweite hängt von der Wechselwirkung mit einem äußeren Potential u_1 und Paarwechselwirkungen u_2, der dritte von der Wechselwirkung mit einem äußeren Potential, Paarwechselwirkungen und nicht-additiven 3-Teilchen-Wechselwirkungen u_3 ab, usw.

Spezialfall der Wechselwirkung: Nur abstandsabhängige Paarwechselwirkung[Bearbeiten]

Der zweite Virialkoeffizient vereinfacht sich für den Spezialfall, dass kein äußeres Potential vorliegt (u_{1}=0) und die Zweiteilchenwechselwirkungen nur vom Abstand |\tilde{\boldsymbol{r}}|=|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}| der Teilchen abhängen u_{2}(\boldsymbol{r}_{1},\boldsymbol{r}_{2})=u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}|) mit Q_{1}=\int d^{3}\boldsymbol{r}=V und Q_{2}=V\int\! d^{3}\tilde{\boldsymbol{r}}\,e^{-\beta\, u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}|)} zu

\begin{align}
B_{2} & =\frac{1}{2}\left[V-\frac{V^2}{V^{2}}\int\! d^{3}\tilde{\boldsymbol{r}}\, e^{-\beta\, u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}|)}\right]=\frac{1}{2}\int\! d^{3}\tilde{\boldsymbol{r}}\,\underbrace{\left[1-e^{-\beta\, u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}|)}\right]}_{=:-f(|\tilde{\boldsymbol{r}}|)}\\
 & =-\frac{1}{2}\int\! d^{3}\tilde{\boldsymbol{r}}\, f(|\tilde{\boldsymbol{r}}|)=-\frac{4\pi}{2}\int_{0}^{\infty}d\tilde{r}\,\tilde{r}^{2}\, f(\tilde{r})
\end{align}

Dabei wurde im zweiten Schritt die Mayer-Funktion f(\boldsymbol{r}):=e^{-\beta\, u_{2}(\boldsymbol{r})}-1 eingeführt und im dritten aufgrund der Symmetrie Kugelkoordinaten verwendet.

Ist zusätzlich u_{3}=0, so gilt Q_{3}=V\int\! d^{3}\tilde{\boldsymbol{r}}_{1}d^{3}\tilde{\boldsymbol{r}}_{2}\, e^{-\beta\,\left[u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{1}|)+u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{2}|)+u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{1}-\tilde{\boldsymbol{r}}_{2}|)\right]} und der dritte Virialkoeffizient wird zu

\begin{align}
B_{3} & =\int\! d^{3}\tilde{\boldsymbol{r}}_{1}\int\! d^{3}\tilde{\boldsymbol{r}}_{2}\,\left\{ \frac{1}{3}\left(1-e^{-\beta\,\left[u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{1}|)+u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{2}|)+u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{1}-\tilde{\boldsymbol{r}}_{2}|)\right]}\right)-e^{-\beta\, u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{1}|)}\left(1-e^{-\beta\, u_{2}(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{2}|)}\right)\right\} \\
 & =-\frac{1}{3}\int\! d^{3}\tilde{\boldsymbol{r}}_{1}\int\! d^{3}\tilde{\boldsymbol{r}}_{2}\ f(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{1}|)\, f(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{2}|)\, f(|\tilde{\boldsymbol{r}}_{1}-\tilde{\boldsymbol{r}}_{2}|) \\
 & =-\frac{1}{3V}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{1}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{2}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{3}\, f_{1,2}f_{2,3}f_{3,1}
\end{align}

Im letzten Schritt wurde f_{i,j}=f(|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}|) verwendet.

Unter Vernachlässigung nicht-additiver Mehrteilchenwechselwirkungen (u_{n\geq 3}=0) lautet der vierte Virialkoeffizient

\begin{align}
B_{4}&=-\frac{1}{8}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{2}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{3}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{4}\, f_{1,2}f_{2,3}f_{3,4}f_{4,1}\Bigl(3+3f_{1,3}+3f_{2,4}+f_{1,3}f_{2,4}\Bigr)\\&=-\frac{1}{8V}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{1}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{2}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{3}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{4}\, f_{1,2}f_{2,3}f_{3,4}f_{4,1}\Bigl(3+6f_{1,3}+f_{1,3}f_{2,4}\Bigr)
\end{align}

und der fünfte

\begin{align}
B_{5}= & -\frac{1}{30V}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{1}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{2}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{3}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{4}\int d^{3}\boldsymbol{r}_{5}\, f_{1,2}f_{2,3}f_{3,4}f_{4,5}f_{5,1}\cdot\\
 & \cdot\Bigl(12+60f_{2,4}+10f_{1,4}f_{2,5}/f_{5,1}+60f_{1,3}f_{3,5}+30f_{1,4}f_{2,5}+10f_{1,4}f_{2,5}f_{2,4}/f_{5,1}+\\
 & \ \ +15f_{1,3}f_{3,5}f_{2,4}+30f_{1,4}f_{2,5}f_{2,4}+10f_{1,3}f_{3,5}f_{1,4}f_{2,5}+f_{1,3}f_{2,4}f_{3,5}f_{1,4}f_{2,5}\Bigr)
\end{align}

An diesem Beispiel sieht man, dass die Berechnung höherer Virialkoeffizienten die Auswertung komplexer Integrale erfordert. Die Integranden lassen sich jedoch systematisch mit Hilfe der Graphentheorie bestimmen. Vernachlässigt man nicht-additive Mehrteilchenwechselwirkungen (u_{n\geq 3}=0), so lässen sich die Virialkoeffizienten graphentheoretisch nach Mayer (Clusterentwicklung) bestimmen:

\begin{align}
B_{i+1} & =-\frac{i}{i+1}\beta_{i}=-\frac{i}{i+1}\frac{1}{i!}\left\{ \beta_{i}\right\} _{\text{labelled}}=-\frac{1}{i+1}\frac{1}{(i-1)!}\left\{ \beta_{i}\right\} _{\text{labelled}}\\
 & =-\frac{i}{V}\alpha_{i+1}=-\frac{i}{V}\frac{1}{(i+1)!}\left\{ \alpha_{i+1}\right\} _{\text{labelled}}=-\frac{1}{i+1}\frac{1}{(i-1)!}\frac{1}{V}\left\{ \alpha_{i+1}\right\} _{\text{labelled}}
\end{align}

für i\geq 1. Dabei sind die \beta_i irreduzible Clusterintegrale über Graphen mit (i+1) Knoten und der Mayer-Funktion als Bindung, wobei über i Knoten integriert wird. Die \alpha_i sind irreduzible Clusterintegrale über Graphen mit i Knoten und der Mayer-Funktion als Bindung, wobei über alle i Knoten integriert wird. Kann ein zusammenhängender Graph nicht durch Zerschneiden einer Kante in zwei unzusammenhängende Graphen geteilt werden, so heißt er irreduzibel.

Berechnung des zweiten Virialkoeffizienten für Beispielpotential[Bearbeiten]

Viele realistische Gase zeigen für kleine Molekülabstände eine starke Abstoßung (Pauli-Abstoßung bei Überlappung der Atomhüllen) und für große Abstände eine schwache Anziehung (etwa wie r^{-6}). Ein einfaches Zweiteilchenwechselwirkungs-Potential kann wie folgt modelliert werden:

 u_{2}(r)=\begin{cases} \infty & \mathrm{f\ddot{u}r}\ r<\sigma\\ v(r) & \mathrm{f\ddot{u}r}\ r\geq\sigma\end{cases}

Das Potential ist unendlich für Abstände kleiner als der Hartkugelradius \sigma=2r_{0} und für Abstände größer als dieser leicht negativ: v(r)<0 und |v(r)|\ll kT. Somit lässt sich die Mayer-Funktion nähern als

 f(r)\approx \begin{cases} -1 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ r<\sigma \\ -\frac{v(r)}{kT} & \mathrm{f\ddot{u}r}\ r\geq\sigma \end{cases}

und der zweite Virialkoeffizient ist

 B_{2} =-\frac{4\pi}{2}\int_{0}^{\infty}dr\, r^{2}\, f(r) =2\pi\underbrace{\int_{0}^{\sigma}dr\, r^{2}}_{\sigma^{3}/3}-\frac{2\pi}{kT}\int_{\sigma}^{\infty}dr\, r^{2}\,\left[-v(r)\right] =: b-\frac{a}{kT}

Hierbei ist b mit dem Eigenvolumen V_{0} verknüpft

b:=\frac{2\pi}{3}\sigma^{3}=4\frac{4\pi}{3}r_{0}^{3}=4V_{0}>0

und a ist ein Maß für das mittlere äußere (attraktive) Potential

a:=2\pi\int_{\sigma}^{\infty}dr\, r^{2}\,\underbrace{\left[-v(r)\right]}_{>0}>0

Somit ist in dieser Näherung B_{2}=b-a/(kT) für kleine Temperaturen negativ und für große positiv mit dem Grenzwert B_{2}=b für T\to\infty. Die Temperatur T=a/(b k), bei der der zweite Virialkoeffizient verschwindet, heißt Boyle-Temperatur.

Die Virialentwicklung lautet also:

 \frac{p}{kT}=\rho+\rho^{2}\left(b-\frac{a}{kT}\right)+\mathcal{O}(\rho^{3})

Für geringe Dichte (\rho klein) betrachten wir nur die Entwicklung nur bis zur zweiten Ordnung. Umformen und Ausnutzen von (1-\rho b)^{-1}\approx1+\rho b für \rho b\ll1 (das mittlere für jedes Teilchen zur Verfügung stehende Volumen \rho^{-1} ist viel größer als das Eigenvolumen b) liefert:

 p+a\rho^{2}=kT\rho\left(1+\rho b\right)\approx kT\frac{\rho}{1-\rho b} = kT\frac{N}{V- N b}
 \Longrightarrow\quad\left(p+a\frac{N^{2}}{V^{2}}\right)\left(V-Nb\right)\approx NkT

Letzte Gleichung ist die sog. Van-der-Waals-Gleichung.

Zustandsgleichung harter Kugeln[Bearbeiten]

Für ein System aus harten Kugeln mit Radius R lautet das Wechselwirkungspotential bzw. die Mayer-Funktion (mit 2R = \sigma)


u_{2}(r)=\begin{cases} \infty & \mathrm{f\ddot{u}r}\ r<2R\\ 0 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ r\geq2R\end{cases} \quad \Rightarrow \quad
f(r)=\begin{cases} -1 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ r<2R \\ 0 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ r\geq2R\end{cases}

Obwohl dieses System in der Natur nie realisiert wird, findet es oft Anwendung in der statistischen Mechanik, da die Struktur realer Flüssigkeiten hauptsächlich von abstoßenden Kräften bestimmt wird. Dieses Modell ist somit das einfachste Modell mit flüssigkeitsähnlichen Eigenschaften bei hohen Dichten und wird als Referenzsystem für Störungsrechnungen verwendet. Es zeigt bereits reichhaltige strukturelle und thermodynamische Eigenschaften, wie z. B. einen flüssig-fest Phasenübergang im Bereich 0,494 bis 0,545 der Packungsdichte. Die größtmögliche Packungsdichte ist bei 0,7405 erreicht (siehe dichteste Kugelpackung).

Die ersten vier Virialkoeffizienten können für das Hartkugelmodell analytisch berechnet werden (V_{0} bezeichne im Folgenden das Kugelvolumen V_{0}=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}). Der zweite Virialkoeffizient ergibt sich analog zum van-der-Waals-Gas ohne attraktiven Teil zu B_2 = 4 V_0. Der dritte lässt sich wie folgt berechnen:

\begin{align}
B_{3} & =-\frac{1}{3}\int\! \mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\int\! \mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\, f(|\boldsymbol{r}|)f(|\boldsymbol{r}'|)f(|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|)\quad\text{mit}\quad\boldsymbol{r}_{2}:=\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}\,,\ \boldsymbol{r}_{1}:=\frac{\boldsymbol{r}+\boldsymbol{r}'}{2}\\
 & =-\frac{1}{3}\int\! \mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}_{2}\, f(|\boldsymbol{r}_{2}|)\int\! d^{3}\boldsymbol{r}_{1}\, f\left(\left| \boldsymbol{r}_{1} - \frac{1}{2}\boldsymbol{r}_{2} \right|\right) f\left(\left|\boldsymbol{r}_{1} + \frac{1}{2}\boldsymbol{r}_{2} \right|\right)
\end{align}

Das Integral über r_1 lässt sich geometrisch auswerten: Es entspricht dem Überlappvolumen zweier Kugeln mit Radius \sigma, deren Abstand r_2 beträgt. Dieses Volumen ist das doppelte Volumen einer Kugelkalotte \pi h^{2}(3\sigma-h)/3 mit Höhe h=\sigma-r_{2}/2. Die Höhe ist die Hälfte der "Überlappstrecke" 2\sigma-r_2 zwischen den Kugelmittelpunkten. Anschließend lässt sich über r_2 in Kugelkoordinaten integrieren (das Minuszeichen verschwindet, da f=-1 innerhalb der Kugel um den Ursprung ist):

B_{3}=-\frac{1}{3}\int_{0}^{\sigma}\! \mathrm{d} r_{2}\,4\pi r_{2}^{2}\,(-1)\frac{2}{3}\pi\left(\sigma-\frac{1}{2}r_{2}\right)^{2}\left[3\sigma-\left(\sigma-\frac{1}{2}r_{2}\right)\right]= \frac{5}{18}\pi^{2}\sigma^{6}=10V_{0}^{2}

Die analytische Berechnung des vierten Virialkoeffizienten erfordert eine langwierige Rechnung. Das Ergebnis lautet:

 B_{4} = \frac{2707\pi + (438\sqrt{2} - 4131\arccos\frac{1}{3})}{70\pi}\, V_{0}^{3}\approx 18{,}364768\, V_{0}^{3}

Die höheren Virialkoeffizienten wurden numerisch berechnet. Die ersten zehn Terme der Virialentwicklung lauten unter Verwendung der Packungsdichte \eta = \rho V_{0}:

\begin{align}
\frac{p}{kT} = \rho & \big[ 1 + 4\,\eta + 10\,\eta^{2}+18{,}364768\,\eta^{3}+28{,}22445\,\eta^{4}+39{,}81545\,\eta^{5} +\\
 & +53{,}3418\,\eta^{6}+68{,}534\,\eta^{7}+85{,}805\,\eta^{8}+105{,}8\,\eta^{9}+\dotsb\big]
\end{align}

Die Virialkoeffizienten hängen hier nicht von der Temperatur ab. Das Hartkugelsystem ist wie das ideale Gas ein ‚athermales‘ System. Die kanonischen Zustandssummen und strukturelle Eigenschaften sind unabhängig von der Temperatur, sie hängen nur von der Packungsdichte ab. Die freie Energie kommt rein von der Entropie, nicht von Beiträgen potentieller Energie.

Nähert man die ersten fünf Terme durch die benachbarte ganze Zahl (4, 10, 18, 28, 40), so lassen sich diese durch eine einfache Vorschrift berechnen B_{i+1}=(i^2+3i)V_{0}^{i} für i \geq 1. Verwendet man diese zur Berechnung aller Koeffizienten, so erhält man eine genäherte Zustandsgleichung für harte Kugeln:

 \frac{p}{kT\rho}\approx1+\sum_{i=1}^{\infty}(i^{2}+3i)\eta^{i}=\frac{1+\eta+\eta^{2}-\eta^{3}}{(1-\eta)^{3}}

Im letzten Schritt wurden dabei die ersten beiden Ableitungen der geometrischen Reihe verwendet. Diese Zustandsgleichung nach Carnahan und Starling stimmt trotz der Näherung für höhere Virialkoeffizienten sehr gut mit Simulationsergebnissen für die flüssige Phase überein (größte Abweichungen ca. 1 %). Der Phasenübergang und die Zustandsgleichung der festen Phase ist in der Carnahan-Starling Näherung nicht enthalten.

Literatur[Bearbeiten]