Kerr-Newman-Metrik

Vorlage:Metriken schwarzer Löcher Die Kerr-Newman-Metrik (nach Roy Kerr und Ezra Ted Newman) ist eine exakte, asymptotisch flache, stationäre und axialsymmetrische Lösung der Einstein-Gleichungen für elektrisch geladene, rotierende Schwarze Löcher.

Linienelement

Das Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten hat die Form:

${\mathrm {d} \tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}\ r-Q^{2}}{\Sigma }}\right)\mathrm {d} t^{2}\ -$ $\ {\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}\ -\ \Sigma \ \mathrm {d} \theta ^{2}\ -\ {\frac {\Xi }{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi ^{2}\ +\ {\frac {2\ a\ (\ r_{\rm {s}}\ r-Q^{2})\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi$

Wobei hier die Raum-Zeit-Signatur $\left(+,-,-,-\right)$ und folgende Abkürzungen benutzt wurden:

${\begin{aligned}\Delta &:=r^{2}-r_{\rm {s}}\ r+a^{2}+Q^{2}\\\Sigma &:=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \\\Xi &:=\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta \\a&:=J/M\end{aligned}}$

dabei bezeichnen $M$ die Masse, $Q$ die elektrische Ladung und $J$ den Drehimpuls des Schwarzen Loches. Durch Wahl entsprechender natürliche Einheiten, mit $G=c=K=1$ (Gravitationskonstante, Lichtgeschwindigkeit und Coulomb-Konstante) haben Masse $M$, elektrische Ladung $Q$ und Drehimpulsparameter $a$ die gleiche Dimension wie eine Länge.

Im Fall eines elektrisch neutralen Schwarzen Loches ($Q=0$) vereinfacht sich die Kerr-Newman-Metrik zur Kerr-Metrik. Im Fall eines nicht-rotierenden Schwarzen Loches ($J=0$) ergibt sich die Reissner-Nordström-Metrik und für ein neutrales und nicht-rotierendes Objekt ($Q=J=0$) ergibt sich die Schwarzschild-Metrik.

Bewegungsgleichungen

Testpartikel im starken gravitativen Feld einer schnell rotierenden zentralen Masse.

Die Bewegungsgleichungen eines freifallenden Testpartikels lauten in den natürlichen Einheiten $G=M=c=K=1$:

${\dot {t}}={\frac {L_{z}\ (a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta (r^{2}+a^{2})^{2})+E\ (\sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta )^{2}\ \Delta )-q\ Q\ r\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})}{\Sigma \ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}$

${\dot {r}}=\pm {\frac {\sqrt {((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}\ q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})}}{\Sigma }}$

${\dot {\theta }}=\pm {\frac {\sqrt {C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})/\sin \theta }}{\Sigma }}$

${\dot {\phi }}={\frac {E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma \ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}$

mit $E$ für die spezifische Gesamtenergie (potentiell, kinetisch und Ruheenergie), $L_{z}$ für den spezifischen axialen Drehimpuls und $q$ für die elektrische Ladung pro Masse des Testteilchens. $C$ ist dabei die Carter-Konstante:

$C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(1-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (1-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta$

wobei $p_{\theta }={\dot {\theta }}\ \Sigma$ die poloidiale Komponente des Bahndrehimpulses und $\delta$ der orbitale Inklinationswinkel ist.

Der axiale Drehimpuls

$L_{z}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}$

und die Gesamtenergie des Testpartikels

$E={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\varphi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}\$

sind dabei ebenfalls Konstanten der Bewegung.

Der Zusammenhang zwischen den Eigenzeitableitungen der Koordinaten ${\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\phi }}$ und der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v$ ist

${\frac {v_{r}}{\sqrt {1-v^{2}}}}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}$

für die radiale,

${\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1-v^{2}}}}={\dot {\theta }}\ \Sigma$

für die poloidiale und

${\frac {v_{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1-v^{2}}}}={\dot {\phi }}\ \Sigma$

für die axiale Komponente der Bewegung, wobei

${\bar {R}}={\sqrt {\frac {\Xi }{\Sigma }}}\ \sin \theta$

der axiale Gyrationsradius (lokaler Umfang durch 2π) ist.

Quellen

• Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0
• Ezra (Ted) Newman und Tim Adamo: Kerr-Newman metric. Scholarpedia, 9(10):31791
• Hakan Cebeci et al: Motion of the charged test particles in Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime and analytical solutions.
• Sarani Chakraborty: Light deflection due to a charged, rotating body, Seite 4