Abstand zweier Punkte,
d
{\displaystyle d}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Der Abstand , auch die Entfernung oder die Distanz zweier Punkte ist die Länge der kürzesten Verbindung dieser Punkte.
Im euklidischen Raum ist dies die Länge der geradlinigen Strecke zwischen den beiden Punkten. Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Gegenstände, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der Schwerpunkte.
Die Metrik ist der Teil der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt.
Der Abstand , die Entfernung , die Distanz zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei Zeitpunkten wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer Differenz bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten Referenzpunkt des Koordinatensystems , nicht aber von dessen Skalierung (siehe auch Maßstabsfaktor ) .
In der beobachtenden Astronomie wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als Winkelabstand
Der Abstand zweier Mengen im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem metrischen Raum ) kann über die Hausdorff-Metrik definiert werden.
Euklidischer Abstand Im kartesischen Koordinatensystem berechnet man den Abstand (euklidischer Abstand) zweier Punkte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras :
Der Abstand zweier Punkte in der Ebene
d
(
A
,
B
)
=
∑
i
=
1
n
(
a
i
−
b
i
)
2
, wobei
A
=
(
a
1
,
…
,
a
n
)
∈
R
n
und
B
=
(
b
1
,
…
,
b
n
)
∈
R
n
{\displaystyle d(A,B)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}{\text{, wobei }}A=(a_{1},\dotsc ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ und }}B=(b_{1},\dotsc ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
[1] Für die Ebene (
A
,
B
∈
R
2
{\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{2}}
d
(
A
,
B
)
=
(
a
1
−
b
1
)
2
+
(
a
2
−
b
2
)
2
{\displaystyle d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}}
Für den dreidimensionalen Raum (
A
,
B
∈
R
3
{\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{3}}
d
(
A
,
B
)
=
(
a
1
−
b
1
)
2
+
(
a
2
−
b
2
)
2
+
(
a
3
−
b
3
)
2
{\displaystyle d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}}
[2] Der Abstand eines Punkts von einer Geraden oder einer ebenen Fläche ist der Abstand vom Fußpunkt des darauf gefällten Lots , der von einer gekrümmten Linie ist stets ein Abstand von einer ihrer Tangenten .
Berechnungsmöglichkeiten für die Abstände von Punkten zu Geraden oder Ebenen sind in der Formelsammlung analytische Geometrie aufgeführt.
Abstand in der Ebene Abstand zwischen Punkt und Gerade Der Abstand zwischen dem Punkt
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
Geraden mit der Koordinatenform
a
x
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle ax+by+c=0}
|
a
x
0
+
b
y
0
+
c
|
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
Der Punkt auf der Geraden, der
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
Koordinaten
(
x
=
b
(
b
x
0
−
a
y
0
)
−
a
c
a
2
+
b
2
,
y
=
a
(
−
b
x
0
+
a
y
0
)
−
b
c
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle \left(x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}},\;y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)}
Wenn die Gerade durch die Punkte
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{2},y_{2})}
a
=
y
2
−
y
1
{\displaystyle a=y_{2}-y_{1}}
b
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle b=x_{1}-x_{2}}
c
=
x
2
y
1
−
x
1
y
2
{\displaystyle c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}
Diese Werte können in die Formeln eingesetzt werden.[3]
Abstand im dreidimensionalen Raum Abstand zwischen Punkt und Gerade Der Abstand zwischen dem Punkt
p
0
→
=
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle {\vec {p_{0}}}=(x_{0},y_{0},z_{0})}
Geraden , die durch die Punkte
p
1
→
=
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle {\vec {p_{1}}}=(x_{1},y_{1},z_{1})}
p
2
→
=
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle {\vec {p_{2}}}=(x_{2},y_{2},z_{2})}
[4]
|
(
p
2
→
−
p
1
→
)
×
(
p
1
→
−
p
0
→
)
|
|
p
2
→
−
p
1
→
|
=
|
(
p
0
→
−
p
1
→
)
×
(
p
0
→
−
p
2
→
)
|
|
p
2
→
−
p
1
→
|
{\displaystyle {\frac {\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{1}}}-{\vec {p_{0}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}={\frac {\left|({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{2}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}}
Abstand zwischen zwei Geraden Zwei Geraden , wobei die eine durch die Punkte
p
1
→
=
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle {\vec {p_{1}}}=(x_{1},y_{1},z_{1})}
p
2
→
=
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle {\vec {p_{2}}}=(x_{2},y_{2},z_{2})}
p
3
→
=
(
x
3
,
y
3
,
z
3
)
{\displaystyle {\vec {p_{3}}}=(x_{3},y_{3},z_{3})}
p
4
→
=
(
x
4
,
y
4
,
z
4
)
{\displaystyle {\vec {p_{4}}}=(x_{4},y_{4},z_{4})}
[5]
|
(
p
3
→
−
p
1
→
)
⋅
(
(
p
2
→
−
p
1
→
)
×
(
p
4
→
−
p
3
→
)
)
|
|
(
p
2
→
−
p
1
→
)
×
(
p
4
→
−
p
3
→
)
|
{\displaystyle {\frac {\left|({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\cdot (({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}}))\right|}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}})\right|}}}
Abstand zwischen Punkt und Ebene Der Abstand zwischen dem Punkt
p
0
→
=
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle {\vec {p_{0}}}=(x_{0},y_{0},z_{0})}
Ebene mit der Koordinatenform
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
{\displaystyle ax+by+cz+d=0}
|
a
x
0
+
b
y
0
+
c
z
0
+
d
|
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle {\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}
Wenn drei Punkte
p
1
→
=
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle {\vec {p_{1}}}=(x_{1},y_{1},z_{1})}
p
2
→
=
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle {\vec {p_{2}}}=(x_{2},y_{2},z_{2})}
p
3
→
=
(
x
3
,
y
3
,
z
3
)
{\displaystyle {\vec {p_{3}}}=(x_{3},y_{3},z_{3})}
Dreipunkteform ), dann lässt sich der Abstand mit folgender Formel berechnen:
(
p
2
→
−
p
1
→
)
×
(
p
3
→
−
p
1
→
)
|
(
p
2
→
−
p
1
→
)
×
(
p
3
→
−
p
1
→
)
|
⋅
(
p
0
→
−
p
1
→
)
{\displaystyle {\frac {({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\right|}}\cdot ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})}
Dabei steht
×
{\displaystyle \times }
Kreuzprodukt ,
⋅
{\displaystyle \cdot }
Skalarprodukt und
|
|
{\displaystyle \left|\quad \right|}
Betrag des Vektors . Alternativ kann man auch
a
=
y
1
z
2
−
y
2
z
1
+
y
2
z
3
−
y
3
z
2
+
y
3
z
1
−
y
1
z
3
{\displaystyle a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}+y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}+y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3}}
b
=
z
1
x
2
−
z
2
x
1
+
z
2
x
3
−
z
3
x
2
+
z
3
x
1
−
z
1
x
3
{\displaystyle b=z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}+z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2}+z_{3}x_{1}-z_{1}x_{3}}
c
=
x
1
y
2
−
x
2
y
1
+
x
2
y
3
−
x
3
y
2
+
x
3
y
1
−
x
1
y
3
{\displaystyle c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}}
d
=
x
1
y
2
z
3
−
x
1
y
3
z
2
+
x
2
y
3
z
1
−
x
2
y
1
z
3
+
x
3
y
1
z
2
−
x
3
y
2
z
1
{\displaystyle d=x_{1}y_{2}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{2}+x_{2}y_{3}z_{1}-x_{2}y_{1}z_{3}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{3}y_{2}z_{1}}
einsetzen.[6]
Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen Auf der Kugeloberfläche wird der Abstand entlang von Großkreisen bestimmt und im Gradmaß oder Bogenmaß angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe Orthodrome .
Auf dem Erdellipsoid oder anderen konvexen Flächen benutzt man die geodätische Linie oder den Normalschnitt .
In der Geodäsie und den Geowissenschaften spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.
Siehe auch Weblinks Einzelnachweise
↑ Petra Stein , Sven Vollnhals: 3.5.1 Spezialfälle der Minkowski-Metrik: Das euklidische Distanzmaß. Grundlagen clusteranalytischer Verfahren. Universität Duisburg-Essen, 1. April 2011, S. 15 , abgerufen am 19. Oktober 2018 . ↑ Klaus Hefft: 9.1.3 Euklidischer Raum. MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik. Universität Heidelberg, 8. Juli 2018, abgerufen am 19. Oktober 2018 . ↑ Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--2-Dimensional
↑ Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--3-Dimensional
↑ Wolfram MathWorld: Line-Line Distance
↑ Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance
