Multiindex

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In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem Multiindex zusammen. Verallgemeinert man Formeln von einer Veränderlichen auf mehrere Veränderliche, zum Beispiel von Potenzreihen in einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Formal gesehen ist ein Multiindex ein Tupel natürlicher Zahlen.

Konventionen der Multiindex-Schreibweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt seien jeweils -Tupel natürlicher Zahlen. Für die Multiindex-Schreibweise werden üblicherweise die folgenden Konventionen vereinbart:

wobei und einen Differentialoperator bezeichnet.

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Potenzreihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Mehrfachpotenzreihe lässt sich kurz schreiben als .

Potenzfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist und sind , so gilt und .

Geometrische Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für gilt , wobei ist.

Binomischer Lehrsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und ist , so gilt bzw. .

Multinomialtheorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für und ist bzw. , was sich kurz schreiben lässt als .

Leibniz-Regel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist und sind m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt

beziehungsweise

.

Diese Identität heißt Leibniz-Regel.

Und sind m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so ist

,

wobei ist.

Cauchy-Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Mehrfachpotenzreihen gilt .

Sind Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt , wobei ist.

Exponentialreihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für gilt .

Binomische Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und sind alle Komponenten von betragsmäßig , so gilt .

Vandermondesche Konvolution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist und sind , so gilt .

Ist und , so gilt .


Cauchysche Integralformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In mehreren Veränderlichen lässt sich die cauchysche Integralformel

kurz schreiben als

,

wobei sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung , wobei ist.

Taylor-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine analytische Funktion oder eine holomorphe Abbildung, so kann man diese Funktion in eine Taylor-Reihe

entwickeln, wobei ein Multiindex ist.

Hurwitz-Identität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für mit und gilt .

Dies verallgemeinert die Abelsche Identität .

Letztere erhält man im Fall .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.