Partitionsfunktion

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Dieser Artikel beschreibt die Partitionsfunktion in der Mathematik. Zur Partitionsfunktion in der Statistischen Physik siehe Zustandssumme.[1]

Die Partitionsfunktionen geben die Anzahl der Möglichkeiten an, positive, ganze Zahlen in positive, ganze Summanden zu zerlegen. Üblicherweise betrachtet man die Zerlegungen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Jede solche Zerlegung wird in der Kombinatorik als (ungeordnete) Zahlpartition[2] oder manchmal kurz Partition[2] bezeichnet. Die Bestimmung aller Zahlpartitionen für eine bestimmte (große) natürliche Zahl ist ein wichtiges Problem sowohl in der theoretischen als auch der praktischen Informatik. Siehe dazu den Artikel Partitionierungsproblem.

Die Partitionsfunktion ohne Nebenbedingungen (Anzahl der ungeordneten Zahlpartitionen von ) wird als , manchmal auch als notiert und ist Folge A000041 in OEIS. Es gibt eine Reihe von Funktionen, bei denen an die Summanden zusätzliche Bedingungen gestellt werden, zum Beispiel dass jeder Summand nur einmal vorkommen darf (strikte Zahlpartitionen), diese Variante wird ebenfalls Partitionsfunktion, manchmal auch strikte Partitionsfunktion genannt, als oder notiert und ist Folge A000009 in OEIS.[3]

Partitionsfunktion P(n) in halblogarithmischer Darstellung

Mit einer aus der Partitionsfunktion abgeleiteten zahlentheoretischen Funktion kann die Anzahl der Isomorphietypen für die endlichen abelschen Gruppen angegeben werden.

Eigenschaften von P(n)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispielwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispielwerte von P(n) und zugehörige Zahlpartitionen
n P(n) Zahlpartitionen
0 1 () leere Partition/leere Summe
1 1 (1)
2 2 (1+1), (2)
3 3 (1+1+1), (1+2), (3)
4 5 (1+1+1+1), (1+1+2), (2+2), (1+3), (4)
5 7 (1+1+1+1+1), (1+1+1+2), (1+2+2), (1+1+3), (2+3), (1+4), (5)
6 11 (1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+2), (1+1+2+2), (2+2+2), (1+1+1+3), (1+2+3), (3+3), (1+1+4), (2+4), (1+5), (6)

Die Werte steigen danach schnell an (siehe Folge A000041 in OEIS):

Rekursive Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispielwerte von P(n,k)
P(n,k) k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n 1 1
2 1 1
3 1 1 1
4 1 2 1 1
5 1 2 2 1 1
6 1 3 3 2 1 1
7 1 3 4 3 2 1 1
8 1 4 5 5 3 2 1 1
9 1 4 7 6 5 3 2 1 1
10 1 5 8 9 7 5 3 2 1 1

Bezeichnet die Anzahl der Möglichkeiten, die positive, ganze Zahl in genau positive, ganze Summanden zu zerlegen, dann gilt

,

wobei sich die Zahlen rekursiv über und sowie

oder direkt durch

ermitteln lassen.[4][5]

Asymptotisches Verhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Relativer Fehler der Approximationsfunktion
5 10 100 250 500
in % 27,7 14,5 4,57 2,86 2,01

Für große Werte von gibt die Formel von Godfrey Harold Hardy und S. Ramanujan[2][6]

einen guten Näherungswert für . Insbesondere bedeutet dies, dass die Anzahl der Dezimalstellen von etwa proportional zur Quadratwurzel aus ist: P(100) hat 9 Stellen (), P(1000) hat 32 Stellen ().

hat etwa doppelt so viele Stellen wie .

Erzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine einfache erzeugende Funktion für die Partitionsfunktion gewinnt man aus der multiplikativ Inversen von Eulers Funktion

Man erhält

d. h. dass die Koeffizienten der Reihendarstellung von den Werten von entsprechen.

Zusammenhang mit den Pentagonalzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Koeffizienten von Eulers Funktion (Euler-Produkt)

lassen sich mit dem Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler einfach explizit berechnen. Die Folge ist Folge A010815 in OEIS und es gilt stets

Aus der Tatsache, dass Eulers Funktion multiplikativ invers zur erzeugenden Funktion der Partitionsfunktion ist, folgt, dass für die diskrete Faltung und gilt

Die Summation muss nur über erstreckt werden, da beide Folgen als Koeffizientenfolgen ihrer jeweiligen Funktion an negativen Stellen gleich Null sind.

Rekursionsformel aus dem Pentagonalzahlensatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der im vorigen Unterabschnitt angegebenen Faltungsbeziehung zu den Koeffizienten folgt für die Rekursionsformel

für die Partitionsfunktion.

Berechnung mit analytischer Zahlentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Möglichkeit zur direkten Berechnung liefert die aus der erzeugenden Funktion hergeleitete Formel

mit

und

die Hans Rademacher, aufbauend auf Erkenntnissen von S. Ramanujan und Godfrey Harold Hardy, fand.

Berechnung mit algebraischer Zahlentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine algebraische, geschlossene Form von , die ohne unendliche Reihenentwicklung auskommt, wurde 2011 von Jan Hendrik Bruinier und Ken Ono veröffentlicht.[7][8] Genauer gesagt geben Bruinier und Ono eine Funktion an, so dass sich für jede natürliche Zahl eine endliche Anzahl algebraischer Zahlen mit

finden lassen. Darüber hinaus gilt, dass auch alle Werte algebraisch sind.

Dieses theoretische Ergebnis führt nur in Spezialfällen (z. B. über daraus ableitbare Kongruenzen) zu einer schnelleren Berechnung der Partitionsfunktion.

Kongruenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kongruenzen
1 1
2 2
3 3
4 5 mod 5
5 7 mod 7
6 11 mod 11
7 15
8 22
9 30 mod 5
10 42
11 56
12 77 mod 7
13 101
14 135 mod 5
15 176
16 231
17 297 mod 11
18 385
19 490 mod 5 und 7
20 627

Ramanujan entdeckte bei seinen Studien eine Gesetzmäßigkeit. Beginnt man mit der 4 und springt um 5, so erhält man immer Vielfache der Sprungzahl 5 als Zerlegungszahlen. Beginnt man bei der 6 und springt um 11, so erhält man Vielfache von 11. Ramanujan entdeckte weitere derartige Beziehungen, auch Kongruenzen genannt, als er die Potenzen der Primzahlen 5, 7 und 11 sowie deren Produkte als Sprungzahlen untersuchte. Der amerikanische Zahlentheoretiker Ken Ono konnte zeigen, dass es für alle Primzahlen größer 3 Kongruenzen gibt. Ob dies für die beiden kleinsten Primzahlen, die 2 und 3, und deren Vielfache ebenso gilt, konnte Ono nicht nachweisen. Folgende Kongruenzen gehen auf Ramanujan zurück:

A. O. L. Atkin fand folgende Kongruenz:

Ferrers-Diagramme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

→ Im Artikel Young-Tableau wird ein ähnlicher Diagrammtyp ausführlich beschrieben, der wie die hier beschriebenen Ferrers-Diagramme eine Partition eindeutig bestimmt und vor allem in der Darstellungstheorie verwendet wird.

Die Zahlpartition kann durch folgendes Diagramm, das als Ferrers-Diagramm bezeichnet wird, dargestellt werden. Diese Diagramme wurden zu Ehren von Norman Macleod Ferrers benannt.[9]

****

***
***
**
*
*

6 + 4 + 3 + 1

Die 14 Kreise werden in 4 Spalten für die 4 Summanden der Partition aufgereiht, wobei die Spalten von links nach rechts nie höher werden. Es wird auch häufig die umgekehrte Konvention verwendet, bei der die Säulen von Kreisen auf der Grundlinie stehen und von links nach rechts nie niedriger werden. Die 5 Partitionen von 4 sind nachfolgend als Ferrers-Diagramme dargestellt:

*
*
*
*
**
*
*
**
**
***
*
****
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1

Konjugierte Partition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn wir das Diagramm der Partition an seiner Hauptdiagonale spiegeln, erhalten wir eine andere Partition von 14:

****

***
***
**
*
*

******
****
***
*
6 + 4 + 3 + 1 = 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1

Indem wir so Reihen in Spalten verwandeln, erhalten wir die Partition . Sie heißt die zu konjugierte Partition.[10] Unter den Partitionen von 4 sind und ; und jeweils konjugiert zueinander. Besonders interessant sind Partitionen wie , die zu sich selbst konjugiert sind, deren Ferrers-Diagramm also achsensymmetrisch zu seiner Hauptdiagonalen ist.

  • Die Anzahl der zu sich selbst konjugierten Partitionen von ist gleich der Anzahl der Partitionen von in verschiedene, ungerade Summanden.
Beweisidee: Die entscheidende Beobachtung ist, dass jede Spalte im Ferrers-Diagramm, die eine ungerade Anzahl von Kreisen enthält, in der Mitte „gefaltet“ werden kann und so einen Teil eines symmetrischen Diagramms ergibt:
*

*
*
*
*

***

*
*

Daraus gewinnt man, wie im folgenden Beispiel gezeigt, eine bijektive Abbildung der Partitionen mit verschiedenen, ungeraden Summanden auf die Partitionen, die zu sich selbst konjugiert sind:

o*x
o*x
o*x
o*
o*
o*
o*
o
o
ooooo
o****
o*xx
o*x
o*
9 + 7 + 3 = 5 + 5 + 4 + 3 + 2

Mit ähnlichen Methoden können zum Beispiel die folgenden Aussagen bewiesen werden: Die Anzahl der Partitionen von mit höchstens Summanden ist gleich

  1. der Anzahl der Partitionen von , bei denen kein Summand größer als ist.
  2. der Anzahl der Partitionen von mit genau Summanden.

Formalisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ferrers-Diagramme sind ein intuitives Hilfsmittel, mit denen sich Zusammenhänge zwischen ungeordneten Partitionen anschaulich erkennen und nachvollziehen lassen. Für die Erzeugung mit Computern und kompakte Speicherung sind sie ungeeignet, daher spielen auch „formalisierte“ Repräsentationen für diese Diagramme eine wichtige Rolle:

  1. Eine Zahlpartition von („Diagramm der Ordnung “) ist ein -Tupel („Anzahl der Spalten=Columns“) mit der Eigenschaft , heißt ihre Spaltenzahl. (Um hier auch die „leere“ Partition mitzuerfassen, muss man für setzen , es ist dann die leere Summe und ergibt immer 0.)
  2. Die Zahl heißt die Zeilenzahl (=„Rows“) von
  3. Eine Zahlpartition heißt „gültig“, wenn für stets gilt, für gültige Partitionen mit ist .
  4. Eine Zahlpartition heißt „strikt“, wenn für stets gilt. Strikte Partitionen sind immer gültig.
  5. Die konjugierte Partition einer gültigen Partition ist definiert durch . Sie ist gültig.

Alternativ und näher an der grafischen Darstellung der Ferrers-Diagramme kann man jede Partition als -Matrix mit Einträgen aus darstellen, wobei bedeutet, dass sich im Ferrers-Diagramm in der Reihe in Spalte ein Kreis befindet, , dass dort kein Kreis ist. Die Konjugierte einer Partition hat dann als Matrix die transponierte Matrix der ursprünglichen Partition.

Varianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Partitionen mit vorgegebenem kleinsten Summanden, p(k,n)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer Abwandlung der Partitionsfunktion wird verlangt, dass der kleinste Summand in der Zahlpartition größer oder gleich ist. Die Anzahl solcher Partitionen wird als notiert. Die „normale“ Partitionsfunktion ist somit Diese Abwandlung ist Folge A026807 in OEIS.

Beispielwerte für p(k,n)
Beispielwerte von p(k,n)
p(k,n) k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n 1 1
2 2 1
3 3 1 1
4 5 2 1 1
5 7 2 1 1 1
6 11 4 2 1 1 1
7 15 4 2 1 1 1 1
8 22 7 3 2 1 1 1 1
9 30 8 4 2 1 1 1 1 1
10 42 12 5 3 2 1 1 1 1 1

Zu den Werten von für kleine Zahlen siehe auch die zweite Tabelle rechts. Einzelwerte sind:

Rekursionsformel für p(k,n) und P(n)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt

wobei die Gaußklammer ist. Mit dieser Rekursionsformel lassen sich alle Werte von und damit auch für berechnen. Man beachte aber, dass bei der Rekursionsformel für die Berechnung von alle Werte von für bekannt sein oder mit berechnet werden müssen.

Geordnete Zahlpartitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man die Summanden in einer Zahlpartition als geordnete Menge, berücksichtigt also die Reihenfolge in der Summe, dann spricht man von einer geordneten Zahlpartition. Hier werden die folgenden Anzahlfunktionen betrachtet, für die kein Formelzeichen allgemein verbreitet ist.

  • ist die Anzahl der Darstellungen von als Summe von genau positiven ganzen Zahlen mit Berücksichtigung der Reihenfolge der Summanden, also die Anzahl der Lösungen der Gleichung
  • Es gilt .[2]
  • Die Anzahl lässt sich geometrisch deuten als Zahl der Punkte mit positiven, ganzzahligen Koordinaten auf der Hyperebene mit der Gleichung im -dimensionalen reellen affinen Punktraum.
  • Die Folge ist die Folge der Zahlen im pascalschen Dreieck, den Reihen nach gelesen, Folge A007318 in OEIS.
  • ist die Anzahl der Darstellungen von als Summe von höchstens positiven ganzen Zahlen mit Berücksichtigung der Reihenfolge der Summanden. Sie ist Folge A000079 in OEIS und es gilt[2]
  • ,
  • die Rekursionsformel und
  • , was sich leicht mit vollständiger Induktion aus der Rekursionsformel beweisen lässt.

Offenbar liefert die leicht zu berechnende Funktion eine (sehr grobe) obere Schranke für die Partitionsfunktion:[2]

Strikte Partitionen und verwandte Nebenbedingungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahlpartitionen von , die aus lauter ungeraden Summanden bestehen, lassen sich bijektiv abbilden auf die strikten Zahlpartitionen, das sind die Zahlpartitionen mit lauter unterschiedlichen Summanden. Diese Tatsache wurde bereits 1748 von Euler nachgewiesen.[11] Sie ist ein Spezialfall des Satzes von Glaisher der nach James Whitbread Lee Glaisher benannt ist:

Die Anzahl der Partitionen von , bei denen kein Summand durch teilbar ist, gleicht der Anzahl der Partitionen von , in denen keine übereinstimmenden Summanden vorkommen.[12]

Damit verwandt ist die folgende Aussage, die nach Leonard James Rogers als Satz von Rogers benannt ist:[12]

Die Anzahl der Partitionen von , deren Summanden sich um 2 oder mehr unterscheiden, ist der Anzahl der Partitionen von gleich, bei der alle Summanden bei Division durch 5 den Rest 1 oder 4 lassen.

Die Aussage ist Teil der Rogers-Ramanujan-Identitäten.

Mathematische Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Partitionierungsproblem

zu Anwendungen in Technik und Informatik.

Konjugationsklassen der symmetrischen Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Young-Tableau

Die Anzahl der Konjugationsklassen in der symmetrischen Gruppe ist gleich dem Wert der Partitionsfunktion, denn jede Konjugationsklasse entspricht genau einem Zykeltyp von Permutationen mit einer bestimmten Struktur der Darstellung in disjunkter Zyklenschreibweise.

Beispiele
  • Die Permutation gehört als Element der zu der Zahlpartition der Zahl 9, als Element der zur Zahlpartition von 12. Man beachte, dass Fixelemente der Permutation, die in der Zyklenschreibweise (als „Einerzyklen“) fast immer fortgelassen werden, in der Zahlpartition als Summanden 1 auftauchen. Jedes Element der , das in der disjunkten Zyklenschreibweise aus einem Dreier- und einem Viererzyklus besteht, ist in zu dem oben genannten Element konjugiert, es gibt in diesem Fall solche Permutationen.
  • Die Permutation gehört als Element der zur Zahlpartition von 12. Sie gehört in zu einer Konjugationsklasse, die Permutationen enthält.

Zahlpartition und endliche Mengenpartition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Äquivalenzrelation auf einer endlichen Menge mit Elementen bestimmt eine Mengenpartition von . In der Kombinatorik wird ohne Einschränkung der Allgemeinheit angenommen. Zu jeder Zahlpartition von gehört eine nicht leere Menge von isomorphen Äquivalenzklasseneinteilungen der Menge . Die Anzahl der Zahlpartitionen von ist daher kleiner gleich der Anzahl der Mengenpartitionen von , für echt kleiner:

Beispiele
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Anzahl der Zahlpartitionen 1 1 2 3 5 7 11 15 22 30 42 56
Anzahl der Mengenpartitionen 1 1 2 5 15 52 203 877 4140 21147 115975 678570
  • Zu der Zahlpartion von 3 gehören die 3 Mengenpartitionen .
  • Zu den Zahlpartitionen und von 5 gehören je Mengenpartitionen, zu den Zahlpartitionen und je genau eine Mengenpartion.

Endliche abelsche p-Gruppen und abelsche Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine positive Primzahl, dann ist für jede Gruppe mit der Gruppenordnung eine p-Gruppe. Die Anzahl der (Isomorphieklassen von) abelschen Gruppen mit Gruppenelementen ist – unabhängig von der Primzahl – gleich dem Wert der Partitionsfunktion, denn jede solche Gruppe ist nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen isomorph zu einem direkten Produkt mit und also . Da die Isomorphieklasse nicht von der Reihenfolge der Faktoren im direkten Produkt abhängt, entspricht jede Isomorphieklasse von abelschen Gruppen mit Elementen umkehrbar eindeutig einer Zahlpartition von .

Zum Beispiel gibt es bis auf Isomorphie jeweils genau abelsche Gruppen mit Elementen.

Anwendungsbeispiele
  1. Wie viele Isomorphietypen von abelschen Gruppen mit genau 70000 Elementen gibt es? Jede solche Gruppe ist, wieder nach dem Hauptsatz ein direktes Produkt ihrer abelschen p-Sylowgruppen zu den Primzahlen 2, 5 und 7. Es ist , also existieren „wesentlich verschiedene“ abelsche Gruppen mit 70000 Elementen.
  2. Wie viele Isomorphietypen von abelschen Gruppen mit 7200 Elementen gibt es, die ein Element der Ordnung 180 enthalten? Es ist . Von den abelschen 2-Gruppen und 3-Gruppen kommen nur solche in Betracht, die zu einer Partition von 5 bzw. 2 gehören, die einen Summanden größer oder gleich 2 enthält, damit fällt jeweils eine Zahlpartition (Summe von Einsen) weg. Es gibt also solche Gruppen.
  3. Ist nun zusätzlich zu den Informationen des vorigen Beispiels bekannt, dass kein Element eine größere Ordnung als 180 hat, so kommen nur noch 2 Arten von 2-Sylowgruppen und eine Art 5-Sylowgruppe in Betracht und es gibt genau 2 Isomorphietypen von Gruppen mit diesen Eigenschaften.

Anzahlfunktion von Isomorphietypen endlicher abelscher Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Hauptsatz über die endlich erzeugten abelschen Gruppen erlaubt es, die Anzahl der Isomorphietypen endlicher abelscher Gruppen mit Elementen durch die Partitionsfunktion auszudrücken:

  • Zu jeder natürlichen Zahl mit der Primfaktorzerlegung existieren genau Isomorphietypen von abelschen Gruppen mit Elementen.
  • Die Folge ist Folge A000688 in OEIS, sie ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion von und als solche durch ihre Werte für Primzahlpotenzen vollständig bestimmt.
  • Die der Anzahlfunktion zugeordnete (formale) Dirichletreihe ist
mit ihr Eulerprodukt lautet
  • Die Anzahlfunktion gibt für zugleich die Anzahl der durch die Teilbarkeitsrelation geordneten Ketten an, deren Produkt gleich ist

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jacobus Hendricus van Lint, R. M. Wilson: A Course in Combinatorics. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2001, ISBN 0-521-80340-3.
  • Derrick Henry Lehmer: Two nonexistence theorems on partitions. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Volume 52, Nr. 6, 1946, S. 538–544, doi:10.1090/S0002-9904-1946-08605-X (projecteuclid.org [abgerufen am 18. Februar 2012]).
  • John Edensor Littlewood: A Mathematician’s Miscellany. Eine Entdeckungsreise. Methuen, London 1953, ISBN 3-540-42386-9, 10.7 Zahlpartitionen (Volltext in verschiedenen Dateiformaten (englisch) [abgerufen am 15. Februar 2012] Littlewood erzählt in diesem Buch unter anderem über Hardys Zusammenarbeit mit Ramanujan und wie sie das Problem Approximation der Partitionsfunktion 1918 gelöst haben).
  • Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil: Diskrete Mathematik. Eine Entdeckungsreise. Springer, Berlin / Heidelberg / New York usw. 2002, ISBN 3-540-42386-9, 10.7 Zahlpartitionen (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 8. Februar 2012] englisch: Invitation to Discrete Mathematics. Übersetzt von Hans Mielke, Lehrbuch, das wenig Vorkenntnisse – gehobene Schulmathematik bis 2. Semester Mathematikstudium – voraussetzt).

Zu den Anwendungen in der Gruppentheorie:

  • Thomas W. Hungerford: Algebra. In: Graduate texts in mathematics. 8. korrigierte Auflage. Nr. 73. Springer, New York / Berlin / Singapore / Tokyo / Heidelberg / Barcelona / Budapest / Hong Kong /London / Milan / Paris / Santa Clara 1996, ISBN 3-540-90518-9, I. Groups, II. The Structure of Groups, S. 35–82 (Inhaltsverzeichnis filediva.com (PDF; 8 MB) [abgerufen am 15. Februar 2012]).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Florian Scheck: Theoretische Physik 5: Statistische Theorie der Wärme. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-79823-1, S. 98 (online).
  2. a b c d e f Matoušek, Nešetřil (2002)
  3. Eric W. Weisstein: Partition Function Q. In: MathWorld (englisch).
  4. Angelika Steger: Diskrete Strukturen 1: Kombinatorik, Graphentheorie, Algebra. Springer, 2001, ISBN 978-3-540-67597-6, S. 36.
  5. Karl-Heinz Zimmermann: Diskrete Mathematik. BoD, 2006, ISBN 978-3-8334-5529-2, S. 115.
  6. Littlewood, 1953
  7. J. H. Bruinier, K. Ono: An algebraic formula for the partition function, 2011.
  8. sueddeutsche.de: Eulers Erbe – Mathematiker feiern Entdeckung in der Zahlentheorie. sueddeutsche.de, abgerufen 29. Januar 2011.
  9. Ferrers war ein britischer Mathematiker (11. August 1829 bis 31. Januar 1903), siehe Matoušek, Nešetřil (2002)
  10. Ulrik Brandes: Methoden der Netzwerkanalyse – Vorlesungsskript, 1.15 (PDF; 316 kB) Universität Konstanz; abgerufen 17. Februar 2012.
  11. Leonhard Euler: Introductio analysin infinitorum, Band 1. Lausanne 1748, S. 253–275
  12. a b Lehmer, 1946