Benutzer:AndreasMath/Aufblasung (Algebraische Geometrie))

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor AndreasMath auf.

Aufblasung der affinen Ebene..

In der Mathematik nennt man eine geometrische Transformation eine Aufblasung oder Aufblähung (englisch blowing up oder blowup), selten auch eine Explosion, wenn der Unterraum eines gegebenen Raumes durch den Raum aller Richtungen, welche von diesem Unterraum ausgehen, ersetzt wird. Beispielsweise wird bei der Aufblasung eines Punktes der Ebene dieser Punkt durch den projektiven Tangentialraum in diesem Punkt ersetzt. Dies entspricht dabei eher der analogen Idee des Hineinzoomens in eine Photographie um einen Teil des Bildes zu vergrössern, als derjenigen einer "Explosion" im eigentlichen Sinne. Die deutschen Begriffe "Aufblasung", "Aufblähung" bzw. "Explosion" werden dabei selten verwendet, sondern man spricht auch im Deutschen meist von einem "Blow-up", "Blowing up" oder einer "Blow-up-Operation".

Die Aufblasung ist die fundamentalste Transformation im Gebiet der birationalen Geometrie, denn jeder birationale Morphismus zwischen projektiven Varietäten ist eine Aufblasung. Der Satz der schwachen Faktorisierung besagt, dass jede birationale Abbildung in ein Verknüpfungsprodukt einfacher Aufblasungen (engl. simple blowups) faktorisiert werden kann. Die Cremona-Gruppe, das heisst, die Gruppe der birationalen Automorphismen der Ebene, wird durch diese Aufblasungen erzeugt.

Neben der Bedeutung birationale Transformationen zu beschreiben, sind Aufblasungen auch wichtig, um neue Räume zu konstruieren. Beispielsweise verfahren die meisten Methoden zur Auflösung von Singularitäten in der Weise, dass sie Singularitäten aufblasen bis sie glatt werden. Auf diese Wiese können Aufblasungen zum Auflösen von Singularitäten birationaler Funktionen benutzt werden.

Klassisch wurden Aufblasungen extrinsisch definiert, indem zuerst die Aufblasung auf Räumen wie dem projektiven Raum durch explizite Konstruktion mittels Koordinaten definiert wurde und danach diese durch Einbettung auf andere Räume übertragen wurde. Daraus sind die klassischen Begriffe wie zum Beispiel derjenige der monoidalen Transformation enstanden. Die moderne algebraische Geometrie behandelt Aufblasungen als eine intrinsische Operation auf algebraischen Varietäten. Bei dieser Sichtweise ist eine Aufblasung die universale Weise eine algebraische Untervarietät in einen Cartier-Divisor zu verwandeln.

Aufblasungen werden auch monoidale Transformationen, lokale quadratische Transformationen, Dilatation, σ-Prozess oder Hopf-Abbildung genannt.

Aufblasung eines Punktes einer Ebene

Die Aufblasung eines Punktes in einer Ebene ist der einfachste Fall und die meisten typischen Merkmale einer Aufblasung können an diesem Beispiel studiert werden.

Eine Aufblasung lässt sich synthetisch als Inzidenzrelation beschreiben. Eine wichtige Rolle spielt die Tatsache, dass die Graßmann-Mannigfaltigkeit G(1,2) die Menge aller Geraden durch einen Punkt P der Ebene parametrisiert. Die Aufblasung X der projektiven Ebene P² im Punkt P, ist dann

$X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {G} (1,2).$

Dabei bezeichnet Q einen anderen Punkt der Ebene und $\ell$ ist ein Element der Graßmann-Mannigfaltigkeit. X ist eine projektive Varietät, denn X ist eine abgeschlossene Varietät eines Produktes von projektiven Varietäten. Auf X ist ein natürlicher Morphismus π auf P² definiert, welcher das Paar $(Q,\ell )$ auf Q abbildet. Dieser Morphismus ist ein Isomorphismus auf der offenen Teilmenge aller Punkte $(Q,\ell )$ mit Q ≠ P, denn die Gerade $\ell$ ist gerade durch diese beiden Punkte bestimmt. Ist jedoch Q = P, dann kann die Gerade $\ell$ irgendeine Gerade durch den Punkt P sein. Diese Geraden entsprechen dem Raum der Richtungen durch den Punkt P, welcher isomorph zu P¹ ist. Der Raum P¹ wird dabei exzeptioneller Divisor (engl. exceptional divisor) genannt und nach Definition ist dies der projizierte normale Raum in P. Da P ein Punkt ist, entspricht der normale Raum dem Tangentialraum womit der exzeptionelle Divisor isomorph zum projizierten Tangentialraum in P.

Um die Aufblasung X in Koordinaten anzugeben, schreiben wir Gleichungen für die Inzidenzstruktur hin. Sei P² in den homogenen Koordinaten [X₀:X₁:X₂] gegeben und damit P als den Punkt [P₀:P₁:P₂]. Aufgrund projektiver Dualität ist G(1,2) isomorph zu P². Damit können wir P² die homogenen Koordinaten [L₀:L₁:L₂] zuordnen. Eine Gerade $\ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]$ ist die Menge aller [X₀:X₁:X₂], so dass X₀L₀ + X₁L₁ + X₂L₂ = 0 ist. Damit kann die Aufblasung beschrieben werden als

$X=\{([X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}])\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0\}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.$

Die Aufblasungsoperation ist ein Isomorphismus ohne den Punkt P und indem wir in der affinen Ebene A² statt in der projektiven Ebene P² arbeiten, erhalten wir einfachere Gleichungen für die Aufblasung.

Bis auf eine vorgängige projektive Transformation, können wir P = [0:0:1] annehmen. Seien x und y die Koordinaten in der affinen Ebene X₂≠0. Die Bedingung P ∈ $\ell$ impliziert L₂ = 0 und deshalb können wir die Graßmann-Mannigfaltigkeit durch einen exzeptionellen Divisor P¹ ersetzen. Damit ist Aufblasung gerade die Varietät

$\{((x,y),[z:w])\mid xz+yw=0\}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.$

Jedoch ist es üblicher, durch einen Koordinatenwechsel eines der Vorzeichen zu drehen. Dann schreiben wir die Aufblasung mit Hilfe einer Determinante als

$\left\{((x,y),[z:w])\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.$

Der Grund ist, dass die Gleichung in dieser Schreibweise einfacher zu verallgemeinern ist.

Wenn wir den Punkt im Unendlichen der Graßmann-Mannigfaltigkeit entfernen, zum Beispiel, indem wir w = 1 setzen, dann lässt sich die Aufblasung leicht visualisieren. Wir erhalten dann die Standard-Sattelfläche y = xz im dreidimensionalen Raum.

Die Aufblasung kann auch beschrieben werden, indem wir direkt Koordinaten auf den Normalenraum an den Punkt verwenden. Dann arbeiten wir wieder in der affinen Ebene A². Der Normalenraum an den Ursprung ist der Vektorraum m/m², wobei m = (x, y) das maximale Ideal des Urspungs ist. Algebraisch ist die Projektivierung von m/m² die Proj-Konstruktion seiner symmetrischen Algebra. Das heisst, $X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.$

In unserem Fall erhalten wir die konkrete Beschreibung

$X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),$

wobei x und y vom Grad 0, und z und w vom Grad 1 sind.

Über den reellen oder den komplexen Zahlen hat die Aufblasung eine topologische Beschreibung als die verbundene (zusammenhängende) Summe $\mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}$. Angenommen P ist der Ursprung in A² ⊆ P² und wir schreiben L für die Gerade im Unendlichen. A² \ {0} besitzt eine Umkehrabbildung t, welche (x, y) das Element (x/(|x|² + |y|²), y/(|x|² + |y|²)) zuordnet. t ist dabei die Kreisspiegelung (Kreisinversion) bezüglich der Einheitssphäre S: Sie hält S fest, erhält jede Gerade durch den Ursprung und spiegelt das Innere mit dem Äusseren der Sphäre. Diese Kreisspiegelung t lässt sich zu einer stetigen Abbildung P² \ {0} → A² erweitern, indem die Gerade im Unendlichen auf den Ursprung abgebildet wird. Diese Erweiterung, welche wir ebenfalls mit t bezeichnen, können wir benutzen um die Aufblasung zu konstruieren. Sei C das Komplement der Einheitskugel. Die Aufblasung X ist dann die Mannigfaltigkeit, welche wir erhalten, wenn wir zwei Kopien von C an S anfügen. Dabei ist X eine Abbildung π von X nach P² zugeordnet, welche die Identität auf der ersten Kopie von C ist und welche auf der zweiten Kopie von C gerade die erweiterte Kreisspiegelung t ist. π ist ein Isomorphismus ohne den Punkt P und das Faserbündel über P entspricht der Geraden im Unendlichen in der zweiten Kopie von C. Jedem Punkt dieser Geraden entspricht dabei wiederum und in eindeutiger Weise eine Gerade durch den Urspung, so dass das Faserbündel über π allen möglichen Normalrichtungen durch den Urspung entspricht.

Für CP² sollte dieses Vorgehen eine orientierte Mannigfaltigkeit hervorbringen. Um dies zu erreichen, müssen die beiden Kopien von C entgegengesetzte Orientierungen haben. Symbolisch ist X dann $\mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}$, wobei ${\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}$ die der Standard-Orientierung CP² entgegengesetzte Orientierung ist.

Aufblasung von Punkten in komplexen Räumen

Sei Z der Ursprung im n-dimensionalen komplexen Raum, Cⁿ. Das heisst, Z ist der Punkt, in welchem die n Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ gleichzeitig Null sind. Sei P^{n - 1} der (n - 1)-dimensionale komplexe projektive Raum mit homogenen Koordinaten $y_{1},\ldots ,y_{n}$. Sei ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$ die Teilmenge von Cⁿ × P^{n - 1}, welche die Gleichungen $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ für i, j = 1, ..., n erfüllen. Die Projektion

$\pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}$

induziert in natürlicher Weise eine holomorpe Abbildung

$\pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.$

Diese Abbildung π (bzw., der Raum ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$ selbst) wird die Aufblasung von Cⁿ genannt.

Der exzeptionelle Divisor E wird definiert als das inverse Bild des Aufblasungspunktes Z unter der Aufblasung π. Man sieh dann leicht, dass

$E=\{Z\}\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}$

eine Kopie des projektiven Raumes ist. E ist ein sogenannt effektiver (oder "positiver") Divisor. Ohne E ist π ein Isomorphismus zwischen ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E$ und Cⁿ \ {Z}; eine birationale Abbildung zwischen ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$ und Cⁿ.

Wenn wir dagegen die holomorphe Projektion

$q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}$

betrachten, erhalten wir das tautologische Linienbündel von $\mathbf {P} ^{n-1}$ und wir können den exzeptionellen Divisor $\lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}$ mit seinem Null-Schnitt $\mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}$ identifizieren, welcher jedem Punkt $p$ das Nullelement $\mathbf {0} _{p}$ in der Faser über $p$ zuordnet.

Blowing up submanifolds in complex manifolds

More generally, one can blow up any codimension-k complex submanifold Z of Cⁿ. Suppose that Z is the locus of the equations $x_{1}=\cdots =x_{k}=0$, and let $y_{1},\ldots ,y_{k}$ be homogeneous coordinates on P^{k - 1}. Then the blow-up ${\tilde {\mathbf {C} }}^{n}$ is the locus of the equations $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ for all i and j, in the space Cⁿ × P^{k - 1}.

More generally still, one can blow up any submanifold of any complex manifold X by applying this construction locally. The effect is, as before, to replace the blow-up locus Z with the exceptional divisor E. In other words, the blow-up map

$\pi :{\tilde {X}}\to X$

is a birational mapping which, away from E, induces an isomorphism, and, on E, a locally trivial fibration with fiber P^{k - 1}. Indeed, the restriction $\pi |_{E}:E\to Z$ is naturally seen as the projectivization of the normal bundle of Z in X.

Since E is a smooth divisor, its normal bundle is a line bundle. It is not difficult to show that E intersects itself negatively. This means that its normal bundle possesses no holomorphic sections; E is the only smooth complex representative of its homology class in ${\tilde {X}}$. (Suppose E could be perturbed off itself to another complex submanifold in the same class. Then the two submanifolds would intersect positively — as complex submanifolds always do — contradicting the negative self-intersection of E.) This is why the divisor is called exceptional.

Let V be some submanifold of X other than Z. If V is disjoint from Z, then it is essentially unaffected by blowing up along Z. However, if it intersects Z, then there are two distinct analogues of V in the blow-up ${\tilde {X}}$. One is the proper (or strict) transform, which is the closure of $\pi ^{-1}(V\setminus Z)$; its normal bundle in ${\tilde {X}}$ is typically different from that of V in X. The other is the total transform, which incorporates some or all of E; it is essentially the pullback of V in cohomology.

Blowing up schemes

To pursue blow-up in its greatest generality, let X be a scheme, and let ${\mathcal {I}}$ be a coherent sheaf of ideals on X. The blow-up of X with respect to ${\mathcal {I}}$ is a scheme ${\tilde {X}}$ along with a morphism

$\pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X$

such that $\pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}$ is an invertible sheaf, characterized by this universal property: for any morphism f: Y → X such that $f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ is an invertible sheaf, f factors uniquely through π.

Notice that

${\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}$

has this property; this is how the blow-up is constructed. Here Proj is the Proj construction on graded sheaves of commutative rings.

Exceptional divisors

The exceptional divisor of a blowup $\pi :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X$ is the subscheme defined by the inverse image of the ideal sheaf ${\mathcal {I}}$, which is sometimes denoted $\pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}$. It follows from the definition of the blow up in terms of Proj that this subscheme E is defined by the ideal sheaf $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}$. This ideal sheaf is also the relative ${\mathcal {O}}(1)$ for π.

π is an isomorphism away from the exceptional divisor, but the exceptional divisor need not be in the exceptional locus of π. That is, π may be an isomorphism on E. This happens, for example, in the trivial situation where ${\mathcal {I}}$ is already an invertible sheaf. In particular, in such cases the morphism π does not determine the exceptional divisor. Another situation where the exceptional locus can be strictly smaller than the exceptional divisor is when X has singularities. For instance, let X be the affine cone over P¹ × P¹. X can be given as the vanishing locus of xw − yz in A⁴. The ideals (x, y) and (x, z) define two planes, each of which passes through the vertex of X. Away from the vertex, these planes are hypersurfaces in X, so the blowup is an isomorphism there. The exceptional locus of the blowup of either of these planes is therefore centered over the vertex of the cone, and consequently it is strictly smaller than the exceptional divisor.

Further examples

Blowups of linear subspaces

Let $\mathbf {P} ^{n}$ be Vorlage:Mvar-dimensional projective space. Fix a linear subspace Vorlage:Mvar of codimension Vorlage:Mvar. There are several explicit ways to describe the blowup of $\mathbf {P} ^{n}$ along Vorlage:Mvar. Suppose that $\mathbf {P} ^{n}$ has coordinates $X_{0},\dots ,X_{n}$. After changing coordinates, we may assume that $L=\{X_{n-d+1}=\dots =X_{n}=0\}$. The blowup may be embedded in $\mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-d}$. Let $Y_{0},\dots ,Y_{n-d}$ be coordinates on the second factor. Because Vorlage:Mvar is defined by a regular sequence, the blowup is determined by the vanishing of the two-by-two minors of the matrix

$${\begin{pmatrix}X_{0}&\cdots &X_{n-d}\\Y_{0}&\cdots &Y_{n-d}\end{pmatrix}}.$$

This system of equations is equivalent to asserting that the two rows are linearly dependent. A point $P\in \mathbf {P} ^{n}$ is in Vorlage:Mvar if and only if, when its coordinates are substituted in the first row of the matrix above, that row is zero. In this case, there are no conditions on Vorlage:Mvar. If, however, that row is non-zero, then linear dependence implies that the second row is a scalar multiple of the first and therefore that there is a unique point $Q\in \mathbf {P} ^{n-d}$ such that $(P,Q)$ is in the blowup.

This blowup can also be given a synthetic description as the incidence correspondence

$$\{(P,M)\colon P\in M,\,L\subseteq M\}\subseteq \mathbf {P} ^{n}\times \operatorname {Gr} (n,n-d+1),$$

where $\operatorname {Gr}$ denotes the Grassmannian of $(n-d+1)$-dimensional subspaces in $\mathbf {P} ^{n}$. To see the relation with the previous coordinatization, observe that the set of all $M\in \operatorname {Gr} (n,n-d+1)$ that contain Vorlage:Mvar is isomorphic to a projective space $\mathbf {P} ^{n-d}$. This is because each subspace Vorlage:Mvar is the linear join of Vorlage:Mvar and a point Vorlage:Mvar not in Vorlage:Mvar, and two points Vorlage:Mvar and Vorlage:Mvar determine the same Vorlage:Mvar if and only if they have the same image under the projection of $\mathbf {P} ^{n}$ away from Vorlage:Mvar. Therefore, the Grassmannian may be replaced by a copy of $\mathbf {P} ^{n-d}$. When $P\not \in L$, there is only one subspace Vorlage:Mvar containing Vorlage:Mvar, the linear join of Vorlage:Math and Vorlage:Math. In the coordinates above, this is the case where $(X_{0},\dots ,X_{n-d})$ is not the zero vector. The case $P\in L$ corresponds to $(X_{0},\dots ,X_{n-d})$ being the zero vector, and in this case, any Vorlage:Mvar is allowed, that is, any Vorlage:Mvar containing Vorlage:Mvar is possible.

Blowing up intersections of curves scheme-theoretically

Let $f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]$ be generic homogeneous polynomials of degree $d$ (meaning their associated projective varieties intersects at $d^{2}$ points by Bézout's theorem). The following projective morphism of schemes gives a model of blowing up $\mathbb {P} ^{2}$ at $d^{2}$ points:

$${\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}$$

Looking at the fibers explains why this is true: if we take a point $p=[x_{0}:x_{1}:x_{2}]$ then the pullback diagram

$${\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t]}{sf(p)+tg(p)}}\right)&\rightarrow &{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\textbf {Spec}}(\mathbb {C} )&{\xrightarrow {[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}}&{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}$$

tells us the fiber is a point whenever $f(p)\neq 0$ or $g(p)\neq 0$ and the fiber is $\mathbb {P} ^{1}$ if $f(p)=g(p)=0$.

Related constructions

In the blow-up of Cⁿ described above, there was nothing essential about the use of complex numbers; blow-ups can be performed over any field. For example, the real blow-up of R² at the origin results in the Möbius strip; correspondingly, the blow-up of the two-sphere S² results in the real projective plane.

Deformation to the normal cone is a blow-up technique used to prove many results in algebraic geometry. Given a scheme X and a closed subscheme V, one blows up

$V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}$

Then

${\tilde {Y}}\to \mathbf {C}$

is a fibration. The general fiber is naturally isomorphic to X, while the central fiber is a union of two schemes: one is the blow-up of X along V, and the other is the normal cone of V with its fibers completed to projective spaces.

Blow-ups can also be performed in the symplectic category, by endowing the symplectic manifold with a compatible almost complex structure and proceeding with a complex blow-up. This makes sense on a purely topological level; however, endowing the blow-up with a symplectic form requires some care, because one cannot arbitrarily extend the symplectic form across the exceptional divisor E. One must alter the symplectic form in a neighborhood of E, or perform the blow-up by cutting out a neighborhood of Z and collapsing the boundary in a well-defined way. This is best understood using the formalism of symplectic cutting, of which symplectic blow-up is a special case. Symplectic cutting, together with the inverse operation of symplectic summation, is the symplectic analogue of deformation to the normal cone along a smooth divisor.

See also

• Infinitely near point
• Resolution of singularities

References

• Markus Brodmann: Algebraische Geometrie. Eine Einführung. Birkhäuser, 1989, ISBN 3-7643-1779-5. 
• William Fulton: Intersection Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98549-2. 
• Phillip Griffiths, Joseph Harris: Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons, 1978, ISBN 0-471-32792-1. 
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, 1977, ISBN 0-387-90244-9. 
• János Kollár: Lectures on Resolution of Singularities. Princeton University Press, 2007, ISBN 0-691-12923-1. 
• Dusa McDuff, Dietmar Salamon: Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press, 1998, ISBN 0-19-850451-9.