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Zwei verschiedene Methoden, die reellen Zahlen durch Unendlichkeiten zu erweitern

Als erweiterte reelle Zahlen bezeichnet man in der Mathematik eine Menge, die aus dem Körper der reellen Zahlen durch Hinzufügen neuer Symbole für unendliche Elemente (auch: uneigentliche Punkte) entsteht. Man unterscheidet genauer zwischen den affin erweiterte reellen Zahlen, bei denen es zwei vorzeichenbehaftete uneigentliche Punkte gibt, und den projektiv erweiterten reellen Zahlen mit nur einem vorzeichenlosen uneigentlichen Punkt. Die affine Erweiterung ist in der Literatur üblicherweise auch dann gemeint, wenn nur von erweiterten reellen Zahlen ohne Zusatz affin bzw. projektiv die Rede ist, in diesem Artikel werden so jedoch beide Erweiterungen gemeinsam bezeichnet.

Beispielsweise machen die erweiterten reellen Zahlen es möglich, die unendlichen Elemente als den Grenzwert von bestimmt divergenten Folgen anzusehen und somit solche Folgen analog zu kovergenten Folgen zu behandeln. Die Definition der Erweiterungen ist dementsprechend zunächst topologisch motiviert. Die Arithmetik der reellen Zahlen lässt sich dagegen auf die erweiterten reellen Zahlen nicht vollständig fortsetzen.

Definition

Die reellen Zahlen bilden mit ihrer üblichen Topologie einen lokalkompakten Raum. Durch geeignetes Hinzufügen uneigentlicher Punkte entsteht hieraus ein kompakter Raum.

• Bei der affinen Erweiterung ergänzt man $\mathbb {R}$ um zwei Elemente $+\infty$ und $-\infty$ als vorzeichenbehaftete Unendlichkeiten zu ${\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}$. Mit $\pm \infty$ werden zunächst einfach zwei beliebige Nicht-Elemente der reellen Zahlen bezeichnet.
• Im Fall der projektiven Erweiterung betrachtet man die Einpunktkompaktifizierung $\mathbb {R} ^{\ast }:=\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ mit einem einzigen durch das Symbol $\infty$ bezeichneten uneigentlichen Punkt.

Topologie

Jede in $\mathbb {R}$ offene Menge sei auch in ${\bar {\mathbb {R} }}$ bzw. $\mathbb {R} ^{\ast }$ offen. Zusätzlich wird eine Umgebungsbasis für die uneigentlichen Punkte angegeben.

affiner Fall

Für jedes $a\in \mathbb {R}$ soll $[-\infty ,a[:=\{x\in \mathbb {R} \mid x<a\}\cup \{-\infty \}$ offene Umgebung von $-\infty$ und $]a,+\infty ]:=\{x\in \mathbb {R} \mid x>a\}\cup \{+\infty \}$ offene Umgebung von $+\infty$ sein. Hierdurch wird beispielsweise die durch $x_{n}=n$ gegebene Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zu einer gegen $+\infty$ konvergenten Folge: Für jedes $a\in \mathbb {R}$ sind fast alle Folgenglieder in $]a,+\infty ]$ enthalten, nämlich all jene mit $n>a$.

Die Abbildung $f\colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [-1,1]$, die durch $f(x)={\tfrac {x}{1+|x|}}$ für $x\in \mathbb {R}$, $f(-\infty )=-1$, $f(+\infty )=+1$ gegeben ist, ist ein Homöomorphismus. Topologisch ist ${\bar {\mathbb {R} }}$ also völlig gleichwertig mit einem abgeschlossenen Intervall.

Die affin erweiterten reellen Zahlen bilden eine streng total geordnete Menge, indem die Ordnung der reellen Zahlen durch $-\infty <a$, $a<+\infty$ für alle $a\in \mathbb {R}$ sowie $-\infty <+\infty$ fortgesetzt wird. Die üblichen Schreibweisen $]a,b[$ für offene, $[a,b[$ und $]a,b]$ für halb-offene und $[a,b]$ für geschlossene Intervalle sind somit auch sinnvoll, wenn $a=-\infty$ und/oder $b=+\infty$ ist. Die Topologie von ${\bar {\mathbb {R} }}$ ist zugleich die von dieser Ordnung definierte Ordnungstopologie.

Die Homöomorphie mit $[-1,1]$ zeigt, dass ${\bar {\mathbb {R} }}$ metrisierbar ist. Allerdings lässt sich die Standardmetrik auf $\mathbb {R}$ nicht zu einer Metrik auf ${\bar {\mathbb {R} }}$ fortsetzen: Hierzu müsste $\{x\in {\bar {\mathbb {R} }}\mid d(x,+\infty )<1\}$ offen sein, also ein $]a,+\infty ]$ enthalten; hieraus würde aber $2=d(a+1,a+3)\leq d(a+1,+\infty )+d(+\infty ,a+3)<1+1$ folgen.

projektiver Fall

Für jede positive reelle Zahl $r$ soll das Komplement von $[-r,r]$ offene Umgebung von $\infty$ sein. Allgemeiner folgt so, wie für die Einpunktkompaktifizierung üblich, dass für jede Kompakte Teilmenge $K\subset \mathbb {R}$ das Komplement ${\bar {\mathbb {R} }}\setminus K$ eine offene Umgebung von $\infty$ ist. Hierdurch wird beispielsweise auch die durch $x_{n}=(-1)^{n}n$ gegebene Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zu einer gegen $+\infty$ konvergenten Folge: Für jedes $r>0$ sind fast alle Folgenglieder im Komplement von $[-r,r]$ enthalten, d.h. es gilt $|x_{n}|>r$. Allgemein wird aus jeder dem Betrage nach bestimmt divergenten reellen Folge eine in $\mathbb {R} ^{\ast }$ gegen $\infty$ konvergente.

Mit dieser Topologie wird $\mathbb {R} ^{\ast }$ homöomorph zur Kreislinie $S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}$. Ein Homöomorphismus $g\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{\ast }$ ist beispielsweise gegeben durch $g(x,y)={\tfrac {x}{1-y}}$ für $(x,y)\neq (0,1)$ und $g(0,1)=\infty$. Ebensowenig wie die Kreisline lässt sich daher $\mathbb {R} ^{\ast }$ in mit der Topologie verträglicher Weise total ordnen. Üblicherweise belässt man es dabei, dass $\infty$ mit endlichen Zahlen unvergleichbar ist.

Wie im affinen Fall ist auch die projektive Erweiterung metrisierbar, jedoch nicht durch Fortsetzen der reellen Standardmetrik.

Man kann sich $\mathbb {R} ^{\ast }$ auch als aus ${\bar {\mathbb {R} }}$ durch Zusammenkleben der Punkte $-\infty$ und $+\infty$ entstanden denken.

Gemeinsame Eigenschaften

Sowohl die affine als auch die projektive Erweiterung bilden einen kompakten Raum, in dem die reellen Zahlen eine dichte Teilmenge sind. Hieraus ergibt sich, dass jede Zahlenfolge dann eine konvergente Teilfolge (und sei es gegen einen uneigentlichen Punkt) enthält. Nur bestimmt (bzw. betragsmäßig bestimmt) divergente reelle Folgen werden in der Erweiterung zu konvergenten Folgen. Eine Folge wie die durch $x_{n}=(-1)^{n}$ gegebene ist auch in den erweiterten reellen Zahlen divergent.

Vereinfachte Schreibweisen

Die Einführung der (affin) erweiterten reellen Zahlen erlaubt es zunächst, die Schreibweisen $\lim _{x\to +\infty }$ und $\lim _{x\to -\infty }$ analog zu $\lim _{x\to x_{0}}$ mit endlichem $x_{0}$ zu behandeln, ohne dies als eigene Notation oder Sprechweise gesondert einzuführen. Auch ohne dies lediglich symbolische Schreibweisen wie $\lim x_{n}=+\infty$ für bestimmt divergente Folgen gliedern sich nahtlos in den Fall konvergenter Folgen ein.

Arithmetik

Es stellt sich die Frage, wie die mathematischen Grundrechenarten an die neuen unendlichen Stellen angepasst werden sollen. Im Sinne des Permanenzprinzips sollen hierbei alte Rechenregeln fortbestehen, aber durchgängig ist dies nicht machbar, da die erweiterten reellen Zahlen keinen vollständig geeordneten Körper bilden können – ein solcher müsste wieder isomorph (und homöomorph) zu $\mathbb {R}$ sein. Mindestens für einige Argumente bleiben die Operationen also undefiniert.

Für $A={\bar {\mathbb {R} }}$ bzw. $A=\mathbb {R} ^{\ast }$ möchte man für möglichst viele $a,b\in A$ einen wiederum in $A$ liegenden Wert für die Ausdrücke

$a+b,\quad -a,\quad a-b,\quad a\cdot b,\quad a^{-1},\quad {\frac {a}{b}}$

derart definieren, dass die üblichen Rechengesetze (insb. Assoziativgesetz und Kommutativgesetz von Addition und Multiplikation sowie das Distributivgesetz) auch für diese Erweiterung gültig bleiben. Genauer lautet eine sinnvolle Forderung: Stimmen zwei Ausdrücke in endlich vielen Variablen im Endlichen stets überein, sofern beide Seiten (also auch alle benutzten Teilausdrücke) definiert sind, und ist auch nicht aus trivialen Gründen stets eine Seite undefiniert, so soll diese Eigenschaft auch in der Erweiterung gelten, also wenn auch unendliche Werte für die Variablen zugelassen sind und alle Teilausdrücke definiert sind. Eine solche Gleichung ist beispielsweise ${\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {b}{a}}=1$. Im Endlichen gilt dies für $a\neq 0,b\neq 0$, d.h. sobald ${\tfrac {a}{b}}$ und ${\tfrac {b}{a}}$ definiert sind (das Produkt ist hier immer definiert). Wenn für den Fall $a=1,b=0$ in der Erweiterung ${\tfrac {1}{0}}=\infty$ definiert wird, muss entweder $\infty \cdot 0=1$ gelten oder das Produkt $\infty \cdot 0$ undefiniert sein.

Zusätzlich zu den Grundrechenarten interessiert noch die Potenzrechnung, d.h. man möchte dem Ausdruck $a^{b}$ für möglichst viele $a,b$ einen Wert so zuweisen, dass die Potenzgesetze $a^{b+c}=a^{b}\cdot a^{c}$, $a^{b\cdot c}=(a^{b})^{c}$, $(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}$ immer dann gelten, wenn alle auftretenden Teilausdrücke definiert sind.

Rechenregeln aus Stetigkeit

Die genannten (algebraisch formulierten) Bedingungen sind auf jeden Fall dann erfüllt, wenn die Operationen stetig fortgesetzt werden. Es gibt jedoch beispielsweise keine stetige Abbildung ${\bar {\mathbb {R} }}\times {\bar {\mathbb {R} }}\to {\bar {\mathbb {R} }}$ bzw. $\mathbb {R} ^{\ast }\times \mathbb {R} ^{\ast }\to \mathbb {R} ^{\ast }$, die auf $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ mit der Addition übereinstimmt. Daher ist die stetige Fortsetzung grundsätzlich nur partiell möglich. Durch möglichst weitreichende stetige Fortsetzung ergeben sich folgende Rechenregeln, bei denen für auf diesem Wege nicht zu definierende Ausdrücke der Wert „?“ notiert wird:

Grundrechenarten

in ${\bar {\mathbb {R} }}$	in $\mathbb {R} ^{\ast }$
Vergleiche
$-\infty <a<+\infty$ für endliches $a$	$\infty$ ist mit endlichen $a$ nicht vergleichbar
Negation
$-(\pm \infty )=\mp \infty$	$-\infty =\infty$
Addition und Subtraktion
$\pm \infty +a=a\pm \infty =\pm \infty$ für endliches $a$ $\infty +\infty =\infty$ $-\infty -\infty =-\infty$	$\infty +a=a+\infty =\infty$ für endliches $a$
$\infty -\infty =?$	$\infty \pm \infty =?$
Multiplikation
$(\pm \infty )\cdot a=a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty$ für $0<a\leq \infty$ $(\pm \infty )\cdot a=a\cdot (\pm \infty )=\mp \infty$ für $-\infty \leq a<0$	$\infty \cdot a=a\cdot \infty =\infty$ für $a\neq 0$ (inklusive $a=\infty$)
$0\cdot (\pm \infty )=?$	$0\cdot \infty =?$
Kehrwerte
$(\pm \infty )^{-1}=0$	$\infty ^{-1}=0$ $0^{-1}=\infty$
$0^{-1}=?$
Division
${\tfrac {a}{\pm \infty }}=0$ für endliches $a$ ${\tfrac {\pm \infty }{a}}=\pm \infty$ für $0<a<\infty$ ${\tfrac {\pm \infty }{a}}=\mp \infty$ für $-\infty <a<0$	${\tfrac {a}{\infty }}=0$ für endliches $a$ ${\tfrac {\infty }{a}}=\infty$ für endliches $a$
${\tfrac {\infty }{\infty }}=?$ ${\tfrac {a}{0}}=?$ für $a$ beliebig	${\tfrac {\infty }{\infty }}=?$ ${\tfrac {0}{0}}=?$

Potenzen

Definitionsbereich (rot) von $x^{y}$ im Reellen und Kandidaten (blau) für stetige Fortsetzungen. Die unendlich langen Achsen sind auf ein endliches Intervall gestaucht.

Im Folgenden wird nur im affinen Fall ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ die stetige Fortsetzung des Potenzierens angegeben. Hierbei ist zu beachten, dass bereits im Endlichen $a^{b}$ nur (reell) definiert ist, wenn $a>0$ (und $b$ beliebig) oder $a<0$ und $b\in \mathbb {Z}$ oder $a=0$ und $b\geq 0$.

Ausdruck	Wert	Bedingung
$a^{+\infty }$	$+\infty$	$1<a\leq +\infty$
	$0$	$-1<a<1$
	?	$a=1$ oder $-\infty \leq a\leq -1$
$a^{-\infty }$	$0$	$1<a\leq +\infty$ oder $-\infty \leq a<-1$
	$+\infty$	$0\leq a<1$
	?	$-1\leq a<0$
$0^{a}$	$+\infty$	$-\infty \leq a<0$
	?	$a=+\infty$
$(+\infty )^{a}$	$+\infty$	$0<a\leq +\infty$
	$0$	$-\infty \leq a<0$
	?	$a=0$
$(-\infty )^{n}$	$(-1)^{n}\infty$	$n>0$ ganzzahlig
	$1$	$n=0$
	$0$	$n<0$ und ganzzahlig

Der Wert von $a^{b}$ mit negativem $a$ und endlichem nicht-ganzen $b$ bleibt undefinert, da diese Stellen nicht zum Abschluss des Definitionsbereiches der endlichen Potenzfunktion gehören. Zu den stetigen Fortsetzungen mit nichtpositiver Basis $-\infty \leq a\leq 0$ ist zu beachten, dass diese Stellen zwar zum Abschluss des Definitionsbereiches gehören, aber keine inneren Punkte des Abschlusses sind. Es gibt daher gänzlich außerhalb des Definitionsbereiches liegende Folgen, die gegen diese Stellen konvergieren.

Funktionswerte

Einige Standardfunktionen lassen sich stetig ins Unendliche fortsetzen zu Abbildungen ${\bar {\mathbb {R} }}\to {\bar {\mathbb {R} }}$, so etwa

• $|\pm \infty |=+\infty$
• $\arctan(\pm \infty ):=\pm {\frac {\pi }{2}}$
• $e^{+\infty }:=+\infty$ und $e^{-\infty }:=0$ (in $\mathbb {R} ^{\ast }$ ist $e^{\infty }$ jedoch nicht definiert).

Undefinierte Ausdrücke

Mit der Methode der stetigen Fortsetzung lässt sich in ${\bar {\mathbb {R} }}$ für die Grundrechnungsarten-Ausdrücke

$\infty -\infty ,\quad 0\cdot \infty ,\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad {\frac {a}{0}}$

bzw. in $\mathbb {R} ^{\ast }$ für

$\quad \infty +\infty ,\quad 0\cdot \infty ,\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad {\frac {0}{0}}$

kein Wert angeben. Prinzipiell wäre es denkbar, eine geeignete – notwendig unstetige – Festsetzung zu finden. Das ist für die genannten Ausdrücke jedoch nicht möglich, ohne das Permanenzprinzip zu verletzen, d.h. ohne Widerspruch zu den üblichen Rechenregeln. Dies zeigt im einzelnen die folgende Aufstellung:

• $\infty -\infty$:

  Wegen $x-x=0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ folgt durch das Permanenzprinzip, dass $\infty -\infty =0$ gelten sollte, wenn der Ausdruck definiert ist. Dies führt jedoch auf den Widerspruch $\infty =\infty +0=\infty +(\infty -\infty )=(\infty +\infty )-\infty =\infty -\infty =0$.

• $\infty +\infty$ in $\mathbb {R} ^{\ast }$:

  Analog, da $\infty =-\infty$.

• $0\cdot \infty$:

  Wegen $0\cdot x=0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ soll $0\cdot \infty =0$ gelten. Andererseits gilt $x^{-1}\cdot x=1$, soweit die linke Seite definiert ist. Demnach ergibt sich der Widerspruch $0=0\cdot \infty =\infty ^{-1}\cdot \infty =1$

• ${\frac {\infty }{\infty }}$:

  Wegen ${\tfrac {x}{x}}=1$ und ${\tfrac {2x}{x}}=2$ ergibt sich $1={\tfrac {\infty }{\infty }}={\tfrac {2\infty }{\infty }}=2$

• ${\frac {0}{0}}$:

  Auch hier folgt $1={\tfrac {0}{0}}={\tfrac {2\cdot 0}{0}}=2$.

• ${\frac {a}{0}}$ in ${\bar {\mathbb {R} }}$:

  Aus ${\tfrac {x}{y}}=-{\tfrac {x}{-y}}$ folgt, dass ${\tfrac {a}{0}}=-{\tfrac {a}{0}}$ gelten soll, folglich ${\tfrac {a}{0}}=0$. Wegen ${\tfrac {x}{y}}\cdot {\tfrac {y}{x}}=1$ folgt $0=0\cdot 0={\tfrac {a}{0}}\cdot {\tfrac {0}{a}}=1$.

Den aufgelisteten Ausdrücken einen Wert zuzuweisen, ist also auf „vernünftige“ Weise nicht möglich. Abgesehen von ${\tfrac {a}{0}}$ mit $a\neq 0$ werden die so in ${\bar {\mathbb {R} }}$ nicht definierten Ausdrücke auch als unbestimmte Ausdrücke bezeichnet.

Abweichend von obiger Liste wird in einigen Gebieten der Mathematik, namentlich der Maßtheorie, gewöhnlich $0\cdot \infty =0$ vereinbart, da auf diese Weise zahlreiche Aussagen konziser zu fassen sind. In dem Fall ist darauf zu achten, dass niemals der Kehrwert von unendlich benutzt wird, bzw. es ist auf die Festsetzung $\infty ^{-1}=0$ zu verzichten. Andernfalls müssten die Ausnahmen der gewöhnlichen Rechenregeln (nämlich, dass nicht immer $x\cdot x^{-1}=1$ gilt) regelmäßig durch Fallunterscheidungen bedacht werden, und dies machte den Vorteil der Abkürzung wieder wett.

Algebraische Fortsetzung des Potenzierens

Anders als bei den vier Grundrechenarten ist es auch unabhängig von Stetigkeitsbetrachtungen möglich, konsistent (aber unstetig)

$1^{\pm \infty }=(\pm \infty )^{0}=1$

zu definieren. Dass zumindest kein anderer Wert für diese Ausdrücke definiert werden kann, ergibt sich direkt aus dem Permanenzprinzip, da im Endlichen $1^{x}=x^{0}=1$ gilt. Diese Festsetzungen sind konsistent im dem Sinne, dass das die Potenzgesetze $a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}$, $(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}$ und $(a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}$ gelten, wann immer alle Teilausdrücke definiert sind.

Im Zusammenhang mit Grenzwertuntersuchungen werden jedoch die Ausdrücke $1^{\infty }$, $\infty ^{0}$ und sogar $0^{0}$ zu den unbestimmten Ausdrücken gezählt.

Das Lösen von Gleichungen

Beim Lösen von Gleichungen ist Vorsicht geboten, wenn man mit Unendlichkeiten arbeitet, da zusätzliche Lösungen existieren können. Besonders offensichtlich wird dies bei der Gleichung $a+x=b$, die für endliche $a,b$ stets genau eine Lösung hat. Dagegen hat $\infty +x=0$ gar keine und $\infty +x=\infty$ unendlich viele. Einige weitere Beispiele, die sich aus den obigen Rechenregeln ergeben, zeigt die folgende Tabelle:

Gleichung	Lösungen in $\mathbb {R}$	Zusätzlich in ${\bar {\mathbb {R} }}$	Zusätzlich in $\mathbb {R} ^{\ast }$
$x=-x$	$0$		$\infty$
$x=2x$	$0$	$+\infty ,-\infty$	$\infty$
$x=x\cdot x$	$0,1$	$+\infty$	$\infty$

Beim Umformen von Gleichungen kann nicht mehr allgemein auf die Kürzungseigenschaft der Addition (aus $a+c=b+c$ folgt $a=b$) zurückgegriffen werden, sondern nur unter der Voraussetzung, dass $c$ endlich ist. Die Kürzungseigenschaft der Multiplikation (aus $a\cdot c=b\cdot c$ folgt $a=b$), die auch im Endlichen nur unter der Voraussetzung $c\neq 0$ gilt, ist ebenfalls für unendliches $c$ ungültig. Die letzte Gleichung aus obiger Tabelle, $x=x\cdot x$, lässt sich nicht äquivalent umformen zu $0=x\cdot x-x$, denn diese hat im Gegensatz zu ersterer keine unendliche Lösung (für $x=+\infty$ ist die rechte Seite nicht definiert).

Komplexe Zahlen

Wenn man statt von den reellen von den komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ ausgeht, betrachtet man hauptsächlich die zu einer Sphäre $S^{2}$ homöomorphe Einpunktkompaktifizierung $\mathbb {C} ^{\ast }:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ (Riemannsche Zahlenkugel). Die Rechenregeln für die Grundrechenarten stimmen hierbei im wesentlichen mit denen für die Einpunktkompaktifizierung von $\mathbb {R}$ überein. Es gibt auch hier alternative Ansätze, bei denen $\mathbb {C}$ zu einer abgeschlossenen Kreisscheibe oder zur projektiven Ebene kompaktifiziert wird.

Weblinks

• Davic W. Cantrell, Affinely Extended Real Numbers auf MathWorld (en.)
• Davic W. Cantrell, Projectively Extended Real Numbers auf MathWorld (en.)

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