Diskussion:Differential (Mathematik)

Diskussion vom 10. Feb 2004 bis 28. Feb 2005

Gehen hier nicht die Begriffe Differenz und Differential durcheinander? Mir fehlt da ein lim, dann allerdings wäre die Schrittweite fehl am Platze. (Sollte das jemand ändern, entferne er diesen Artikel bitte von der Liste der Artikel, die Aufmerksamkeit benötigen.
NB: Es fehlt noch die Oma-Meyer&Schüler_Kurt-Einleitung. --Mikue 09:01, 10. Feb 2004 (CET)

Ist schon lange her, dass ich AnaII hatte, daher ist meine Aussage vielleicht nicht ganz richtig:

Auf [1] steht etwas zum hier beschriebenen Differential-Begriff: Anscheinend handelt es sich um die x-Änderung und die zugehörige y-Änderung eines Differenzenquotienten, da steht aber auch noch was von der y-Änderung der Tangente... ?!

Auf [2] steht etwas zum totalen Differential, das Thema gehört sicherlich auch in diesen Artikel. --SirJective 11:28, 14. Feb 2004 (CET)

Behauptung: Differentiale gibt es in der Mathematik nicht. Es gibt Differentialformen. Wer etwas anderes behauptet, möge bitte dx definieren. Der Artikel sollte sich auf den historischen Begriff beschränken (also so mit unendlich kleinen Zahlen und sowas, meinetwegen auch Nichtstandard-Analysis).--Gunther 00:27, 28. Feb 2005 (CET)

Ich finde den Artikel fürchterlich, habe mich aber noch nicht rangetraut, da ich das Differential selbst gar nicht vernünftig definieren kann. Wenn Du Ahnung hast Gunther, bitte ran! Viele Gruesse --DaTroll 11:12, 28. Feb 2005 (CET)

Wie gesagt, nach meinem Kenntnisstand gibt es den Begriff Differential nicht (höchstens Kähler-Differential, aber das hat mit dem gegenwärtigen Inhalt des Artikel nur sehr indirekt zu tun). Ein Teil der historischen Idee der infinitesimalen Änderung konnte im Begriff des Differenzenquotienten und der Ableitung gefasst werden, ein anderer Teil im Begriff der Differentialform und des Integrals von Differentialformen. Beispielsweise ist für Differentialformen df = f′ · dx durchaus richtig, aber dann nur um die Schreibweise df/dx zu rechtfertigen einen Quotienten von Differentialformen einzuführen, ist unüblich und kommt mir übertrieben vor.--Gunther 14:37, 28. Feb 2005 (CET)

Die Baustelle steht hier, weil in diesem Artikel die Absätzte nicht funktionieren, überall Leerzeilen, aber kein einziger Absatz, wer kennt sich aus? Roomsixhu

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 19:26, 12. Nov. 2012 (CET)

Rewrite

Ich habe mal angefangen, etwas zu den modernen Begriffen zu sagen. Ehrlich gesagt denke ich, dass der Rest in Differentialrechnung besser aufgehoben ist (ab "Das Differential des Differentialquotienten"). Jemand mit Ahnung sollte noch was zu Nichtstandard-Analysis schreiben. (Und die Derivation-Links sollten angepasst werden.) Schön wäre es auch, wenn jemandem noch etwas dazu einfällt, wie man Integrale von Differentialformen schön erklärt (warum alternierende n-Formen?).--Gunther 14:21, 13. Mär 2005 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 19:26, 12. Nov. 2012 (CET)

Gliederung

Eine sinnvolle Gliederung wäre wohl in die drei Teile:

• Geschichte,
• moderne Begrifflichkeit,
• Nichtstandardanalysis,

nicht notwendigerweise in dieser Reihenfolge. Irgendwo sollte noch etwas zu den Rechnungen der Physiker a la Enthalpie (verlinkt hierher) stehen.--Gunther 21:57, 24. Mär 2005 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 19:26, 12. Nov. 2012 (CET)

Das Unendliche in Klassischer Analysis und Nichtstandard Analysis

Wie ich mich bei D.Spalt unterrichtet habe, gibt es einen Unterschied in der Behandlung des Unendlichen (groß oder klein) in Konventioneller Analysis und Nichtstandard-Analysis

Konventionelle Analysis

Von Leibniz/Newton über Cauchy, bis auch Courant(mein Lehrbuch). Man könnte sie auch klassische oder einfach Analysis nennen. Sie nimmt das Unedliche in einem uneigentlichen Sinn:

• $\infty$ ist nur im uneigentlichen Sinn

eine Zahl - denn es gibt zwar Rechenregeln für $\infty$, doch sind diese andere als jene für die gewöhnlichen, die eigentlichen Zahlen.

• Unendlich ist nur im uneigentlichen Sinn ein Begriff -- denn es gibt zwar Mathematische Aussagen, in denen er vorkommt, nicht aber Aussagen über ihn. "Unendlich" ist eine abkürzende Redeweise für einen sonst umständlich zu formulierenden Sachverhalt, nicht aber selbst ein (Untersuchungs-)Gegenstand der Infinitesimalrechnung.

Ich glaube hier hat die Auseinandersetzung mit einem uneigentlichen dx und den Parallelen zwischen seinen anderen Rechenregeln und den Rechenregeln eigentlicher Zahlen einen Sinn.

Nichtstandard-Analysis

Gegenüber der etablierten Tradition der Konventionellen Analysis begann 1958-66 eine neue Tradition (ein ontologischer Umsturz vergleichbar dem euklidische-nichteuklidische Geometrie) -- sie heiße hier Hyperrelle Analysis (Nichtstandard-Analysis). Diese nimmt das Unendliche im eigentlichen Sinn:

• Es gibt unendliche Zahlen (kleine wie große, jeweils eine Vielzahl davon) genau so, wie es endliche gibt; insbesondere gelten für sie dieselben Rechenregeln
• Unendlich ist ein Begriff mit vollem Bürgerrecht und legitimer Gegenstand von Aussagen

Innerhalb der Tradition der Hyperrellen Analysis (Nichtstandard-Analysis) gibt es verschiedene Traditionslinien, insbesondere eine orginär

• infinitesimalmathematische (Schmieden/Laugwitz 1958, Omega-Zahlen(große)) und eine orginär
• logische (Robinson 1966), bei der es um die logische Fundierung oder die funktionalanalytische Perspektive geht.

Die Folge hiervon ist, ein Lehrsatz der Infinitesimalrechnung ist nicht mehr a priori in unzweifelhafter Weise mathematisch eindeutig zu deuten.

Hier benötigt man wohl kein dx mehr, denn es ist ein eigentlicher Begriff, wie der endlicher Zahlen. Irgendwie logisch.

--Roomsixhu 21:15, 22. Apr 2005 (CEST)

Zwei Punkte dazu:

• $\mathrm {d} x$ ist swiw auch in der Nichtstandardanalysis nicht vernünftig definierbar (außer als "eine beliebige unendlich kleine Zahl", aber das ist ja keine Definition).
• Der Unterschied bei "unendlich" als "Zahl" ist nicht so grundsätzlicher Natur. Auch in der gewöhnlichen Analysis hat $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ eine vernünftige topologische Struktur, so dass man nicht zwischen Grenzwerten für $x\to a$ und Grenzwerten für $x\to \infty$ unterscheiden muss.

--Gunther 21:57, 22. Apr 2005 (CEST)

Zitat

Ich war verwirrt, weil zwischendurch so viel moderner Text steht, das ist in jedem Fall überarbeitungsbedürftig. Ich habe aber meine Zweifel, dass es 1704 eine deutsche Ausgabe eines Werkes von Newton gab.-- Gunther 01:53, 16. Apr 2005 (CEST)

In der Notiz von Newton finde ich sowohl Größe als auch Grösse. Gibt es hier einen Bezug zu einer uralten deutschen Übersetzung?

Ja,ja aber das Zitat ist irgendwie schon sehr wertvoll für das Verständnis, warum man mit Differentialen rechnen kann, obwohl sie weder Differenzen noch alleinig Ergebnisse eines Grenzwertübergangs und sonst nichts sind. Newton hat nämlich, wie z.B auch in einem alten Joos "Höhererr Mathematik .." Buch aufgegriffen, schon etwas nicht selbstverständliches gemacht, mit der Erklärung war er selbst nicht zufrieden.Bei Leibniz kann man gleich losrechen, aber er hat auch diesen anderen Ansatz . --Roomsixhu 23:21, 16. Apr 2005 (CEST)

Ich bin mir nicht sicher, ob wirklich jemand versteht, warum so wenig schiefgeht, wenn man mit Differentialen rechnet. Du solltest deutlicher machen, dass die zweite Hälfte (ab "Das Differential des Differentialquotienten") die historische Entwicklung darstellt und nicht mathematisch präzise ist (oder zumindest die Präzisierung weitere Arbeit erfordert). Welche Funktion der Abschnitt "Ableitung eines Polynoms" hat, ist mir nicht klar.-- Gunther 00:02, 17. Apr 2005 (CEST)

Ableitung des Polynoms ist nicht von mir. Wie auch einiges andere nicht. Insgesamt ist mir auch aufgefallen, daß im Artikel zwei widersprüchliche Beschreibungen stehen und noch eine dritte, aber das ganze Durcheinander macht ja nur klar, daß hier Erklärungsbedarf vorliegt. Ich wäre auch gewillt zu kürzen für mehr Übersicht und für eine bessere Trennung, der verschiedenen Ansätze.--Roomsixhu 00:46, 17. Apr 2005 (CEST)

So, weil hier eine kleine Reformbewegung durchscheint habe ich mir den ganzen Artikel daraufhin noch einmal angesehen. Der Absatz Differentialquotient gehört meines Erachtens ganz in den Artikel Differentialrechnung. Ebenso Differentiale in der Integralrechnung respektive in den Artikel Integralrechnung.

Jetzt lassen sich drei Bereiche eingrenzen.

• 1. Spezialfälle z.B.. Kähler-Differentiale
• 2. Formen der Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher und damit wohl auch Begriffe der Differentialgeometrie. Differentialformen
• 3. Die nicht immer exakten entwicklungsgeschichtlich dargestellten. Also doch historisch.

Die Abschnitte bis einschließlich "Kähler-Differentiale" hatte ich konzipiert als Übersicht über die modernen Begriffe, die sich aus der Idee des Differentials entwickelt haben, jeweils mit einer kleinen Motivation, was sie mit unendlich kleinen Zahlen zu tun haben. (So ist das ja auch in der Einleitung angekündigt.) Ich würde sie eigentlich gerne behalten, jeweils mit einem "siehe auch" auf den Hauptartikel zu dem jeweiligen Begriff. Denn es gibt in der modernen Mathematik nun einmal kein "Differential" $\mathrm {d} x$ mehr (s.u.).-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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Das Problem wird heutzutage ganz allgemein vom Schwanz her aufgezäumt in folgendem Sinne "Was ist ein Differential? Zum Beispiel dx, dy, d(yz)? Wieviel Meter ist es lang? Es kommt überall vor, vor allem als Faktor beim Integral. $\int x{\rm {d}}x={\frac {1}{2}}x^{2}+C$ Hier wiederum wurde mir die komplette höhere Mathematik um die Ohren gehauen, ohne Bescheid zu sagen, daß höher eigentlich nur den Gegensatz zur klassisch griechisch antiken bedeutet, eine ganze Analysis mit allen Sonderfällen beigebracht auf der Grundlage eines Differentialquotienten, noch immer ohne Begriff vom Differential, und als das dann alles fertig ist, erklärt man, weil man ja jetzt die Tangente kennt, das Differential als Teil der Tangentengleichung."

Dieses "Differential" ist IMNSHO Unsinn, in meinem Schulmathebuch stand dann auch irgendsoein Schwammsatz a la "dx ist eine unbestimmte Größe und dy = f' dx". Das braucht niemand, das verwendet niemand. Ich habe bisher noch nicht einmal eine präzise Definition gesehen.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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Das Differential des Differentialquotienten empfinde ich in diesem Sinne als unbefriedigend. Er ist zwar im modernen Sinne wohl exakt, aber fängt auch von hinten an. Ihm kann man die Notiz von Newton (er erfand den Reihenanstz) gegenüberstellen, wo einfach etwas weggelassen wird, was vielleicht nicht exakt aber doch nachvollziehbarer ist. Newtons Lehrer Barrow erkannte jedoch schon den Zusammenhang und das scheint immer wichtig, der Umkehrung der Differentialrechnung in die Integralrechnung, Auch Leiniz sagte, das Differential finden heiße die Tangente an eine Kurve zeichnen (man beachte die damals übliche geometri sch betonte Argumentation, nicht so bei Newton!), aber seine Rechenregeln siehe Notation, die er auf höchstens zwei Seiten fast ohne mathemathische Typographie ausführt sind überwältigend einfach.

Zu diesem "Differential" s.o.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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Das Differential des Integrals gehört jetzt nicht wie obiges in die Integralrechnung sondern ist wirklich symbolisch und daher historisch.

Ordnung der Differentiale setzt sich zwischen alle Stühle ebenso wie Begrifflicher Unterschied zwischen Integrieren und Differenzieren und spielt wieder etwas mit den Begriffen, aber sie sind wohl historisch einzuordnen, weil nicht so exakt sind, und sie die Sache von der Seite der Differentiale nicht der Differentialrechnung aufrollen.

Aber $\mathrm {d} ^{2}y$ ist modern nur schwer haltbar: Geschichte.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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Zu Historisches habe ich noch Pascal's Abhandlung über die Sinus der Viertelkreises anzubieten.

Sagt mir nichts.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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Notation ist historisch obwohl kontinuirlich von damals bis wenn nicht heute, so aber doch bis zu den Zeiten der endgültigen modernen Ausprägung der Darstellung entstanden. Auf jeden Fall hilfreich, auch für jeden angehenden Physikstudenten, denn gerade da braucht man die Rechenregelen in Differentialschreibweise.

Die ersten vier Abschnitte haben ja auch eine präzise Deutung als Gleichungen von Differentialformen. Die verschiedenen Notationen für die Ableitung haben dann eher wieder historischen Charakter, auch wenn sie alle noch üblich sind.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

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In diesem Sinne würde ich jetzt demnächst an den Artikel herangehen. Scheint das befriedigend?--Roomsixhu 02:08, 17. Apr 2005 (CEST)

Habe meine Bemerkungen eingestreut, ich hoffe, es ist nicht zu unübersichtlich.-- Gunther 02:34, 17. Apr 2005 (CEST)

Ich finde aber diese Darstellung der Ordnung der Differentiale im Gegensatz zur Ordnung der unedlichkleinen Größen bemerkenswert. In modernen Zeichen $g'(f'(x))$ vielleicht, im Sinne von ddy. Es verhält sich doch fast so, wie die römischen Zahlen zu den arabischen. und man fällt doch immer wieder darauf zurück, das Differential der Unabhängigen aufzusuchen, bzw entsprechend geschickt zu substituieren. Und die Kettenregel läßt sich doch fast nur mit Differentialen quasi anatomisch darstellen. Newton hat Monsterformeln, an die habe ich mich auch noch nicht herangetraut, aber er war auch seinerzeit mathematisch hervorragend ausgebildet, Leibniz von den Bildungsinstitutionen gar nicht und später autodidaktisch und im Briefwechsel mit Bernoulli wohl auch nicht ganz auf der Höhe, aber er braucht wie gesagt nicht mal zwei Seiten.--Roomsixhu 03:41, 17. Apr 2005 (CEST)

Es gibt durchaus auch andere Schreibweisen, die die Kettenregel suggestiv machen, z.B. $D(fg)=Df\circ Dg$ oder $(fg)_{*}=f_{*}g_{*}$. Du bist Dir bei Deiner Änderung von 04:10, 17. Apr 2005 übrigens sicher, dass das urheberrechtlich unbedenklich ist? Ich bin da immer ein bisschen paranoid.-- Gunther 10:42, 17. Apr 2005 (CEST)

Quarts de Cercle

Das charakteristische Dreieck

Als Gottfried Wilhelm Leibniz als junger Mann 1673 in Paris war, empfing er eine entscheidende Anregung durch eine Betrachtung Pascals in dessen 1659 erschienener Schrift Traité des sinus des quarts de cercle (Traktat über den Sinus des Viertelkreises). Er sagt, er habe darin ein Licht gesehen, das der Autor nicht bemerkt habe. Es handelt sich um folgendes (mit modernen Zeichen geschrieben, siehe Abbildung): Um das statische Moment

$\int \limits _{0}^{{\frac {1}{2}}a\Pi }y\,ds$

des Viertelkreisbogens bezüglich der x- Achse zu bestimmen^{<ref>Bei konstanter Dichte deckt sich die Teilmasse $m_{\nu }$ mit dem Bogen $\Delta s$ an dieser Stelle und $\mathrm {d} s$ entsprechend.</ref>}, schließt Pascal aus der Ähnlichkeit der Dreiecke

$\Delta x,\Delta y,\Delta s$

und

$y,(a-x),a$,

dass sich verhalten

$\Delta s:a=\Delta x:y$,

also

$y\cdot \Delta s=a\cdot \Delta x$,

so dass

$\int \limits _{0}^{{\frac {1}{2}}a\Pi }y\,ds=\int \limits _{0}^{a}a\,dx=a^{2}$ ^{<ref>Anm.: Hier wird genau $a\cdot x^{0}=a\cdot 1$ integriert: Lösung $[a\cdot x]_{0}^{a}$.</ref><ref>${\frac {1}{2}}a\Pi$ ist die Grenze für die Unabhängige s, a die entsprechend umgerechnete für den „Parameter“ x. Man sieht auch anschaulich in der Abbildung, dass man mit dem Viertelbogen eine Radiuslänge auf der x-Achse durchläuft und umgekehrt.</ref>}

Leibniz bemerkte nun - und dies war das "Licht", das er sah - , daß dieses Verfahren nicht auf den Kreis beschränkt ist, sondern allgemein für jede (glatte) Kurve gilt, sofern der Kreisradius a durch die Länge der Kurvennormalen (die reziproke Krümmung, der Radius des Krümmungskreises) ersetzt wird. Das infinitesimale Dreieck

$\Delta x,\Delta y,\Delta s$

ist das berühmte "charakteristische Dreieck". Es ist sehr bemerkenswert, daß die spätere Leibniz'sche Symbolik der Differentialrechnung (dx, dy, ds) gerade dem Standpunkt dieser „verbesserten Indivisibilienvorstellung“ entspricht.^{<ref>Oskar Becker, Grundlagen der Mathematik, suhrkamp</ref>}

Ähnlichkeit

Alle Dreiecke aus einem Abschnitt $\Delta s$ der Tangente zusammen mit den zur jeweils x-und y-Achse parallelen Stücken $\Delta x$ und $\Delta y$ bilden mit dem Dreieck aus Krümmungskreisradius a, Subnormale $x-a$ und Ordinate y ähnliche Dreiecke und behalten dessen Verhältnis, entsprechend der Steigung der Tangente an den Krümmungskreis in diesem Punkt, auch bei, wenn der Grenzwertübergang gemacht wird. Das Verhältnis von ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ ist ja genau die Steigung von $\Delta s$. Deshalb kann man für jeden Krümmungskreis an einem Punkt der Kurve, dessen Proportionen im Koordinatensystem auf die Differentiale übertragen, insbesondere wenn sie wirklich als infinitesimale Größen gedacht werden.^{<ref>Reinhard Finster, Gerd van der Heuvel, Gottfried Wilhelm Leibniz, Monographie, Rowohlt</ref>}

Verdeutlichungen vom Room 608 02:29, 15. Jan. 2008 (CET)

P.S Ich habe das nachgerechnet und es ist numerisch wahnsinnig ungenau, wenn man nicht Sekanten nimmt, auch mit Computerprogramm wird es sehr spät genauer, bei 18 Stellen noch 4% Ungenauigkeit. Das war auch zu Leibniz Zeiten nur mit Logarithmus nicht auszurechen.--Roomsixhu 03:41, 17. Apr 2005 (CEST)

Mir ist zwar nicht klar, was Du da mit einem Computerprogramm berechnest, aber wenn das die erste erfolgreiche Verwendung der Idee des Differentials ist, gehört es auf jeden Fall in den Artikel.-- Gunther 10:47, 17. Apr 2005 (CEST)

Charakteristisches Dreieck

Im Augenblick habe ich nichts mehr zum Vorzeigen. Beim Nachrechnen von Pascal habe ich mich wohl eh verrechnet, also bitte vergessen. Ich möchte noch auf folgendes hinweisen:

1. In der Kettenregel sind $d\phi$ oben und unten nicht identisch, unten steht ein Differential einer unabhänigen Größe, oben steht eines einer abhängigen, das eigentlich $d\phi (x)$ geschrieben werden müßte, und man kann sie dennoch zwanglos kürzen. Newton hatte, wenn es komplexer wurde, damit noch Schwierigkeiten und er stieß sich sehr wohl noch an "rationalen Größen" im Gegensatz zu Leibniz, wie er im Titel seiner Arbeit schon feststellt. Ich habe jetzt noch etwas Newton im Orginal gelesen und es gefällt mir seht gut, sehr sorgfältig vorgerechenet. Interessanterweise gibt es bei Newton die Größe o, wie ich schon im Artikel bemerkte und er führt noch eine gleichförmig fließende Größe z und ihre Fluxion ${\dot {z}}$ ein, um alle Glieder mit unendlich kleinen Größen höherer Ordnung als eins zu eliminieren, Quadratur der Kurven §1 Problem 1.
2. Ich habe noch eine andere Zeichnug des infinitesimalen Dreiecks gefunden. Man beachte dort die Krümmung von ds und die für das Integrieren plausiblere Darstellung. Wird ds beliebig klein verschwindet auch die Krümmung immer mehr.

Hoffentlich erkennbar. Verhältnisse: dx:dy:ds= y:(a-x):a

Da nun meine didaktischen Fähigkeiten eher schlecht sind, wollte ich nur noch kurz meine Motivation darstellen: Ich hatte folgende Fragen zu beantworten:

1. Wie kann ich mir ein 9 Meter langes Differential vorstellen? Ich kann es inzwischen. Ein Beispiel könnte ich nachreichen.
2. Wie kann ich beim Integrieren wie im Beispiel von Pascal von ds zu dx übergehen, was muß man beachten? Kann ich noch nicht so gut. Man muß jedenfalls die Regeln unter Notation beachten.
3. In welchem Verhältnis stehen die Differentiale in einer Formel oder Gleichung, im Zweifelsfall sogar Differentialgleichung? Wie kann ich so eine Gleichung umformen, bis ich sie verstehe? Eben wieder mit den Rechenregeln unter Notation. (Vielleicht fehlen noch einige). Aber ein schönes Beispiel wäre der Zusammenhang zwischen partieller Integration und Produktregel. Ich hatte zu einem Zeitpunkt zu dem ich mit dem Integral noch zu keiner begrifflichen Klärung gekommen war, keine Schwierigkeit Integrallösungen vermittels Substitution und partieller Integration zu verstehen ohne mir etwas unter Integral vorstellen zu können. Wahrscheinlich weil dort das erste mal diese geniale Differentialrechnung besonders rechenbar war.
4. Inzwischen ist noch ein Interesse dazugekommen, welche Aufgabe der Normierung dx übernimmt und ob es überhaupt so ist. Hier könnte ich auch noch ein Beispiel einfügen, wie Descartes die Geometrie normiert und damit algebraisiert (nennt man das so?) hat, soweit bis, glaube ich, ein Herr Lagrange feststellen konnte, daß in einem seiner Mathematikbücher trotz geometrischen Inhalts, keine einzige Abbildung vörkäme (oder so einen ähnliche Geschichte).
5. Hätte ich dazu ein Frage an Dich Gunther: Welchen Ansatz verfolgst Du? Einen mengentheoretischen, grundsätzlichen? Heutzutage wird ja alles sozusagen post-Cantor dargestellt, und an die erneute (anti-aristotelisch? nicht-euklidisch?) mathematische Grundlegung im 19. Jh. angeknüpft. Aber soweit ich weiß ist dieser Ansatz bis jetzt auch nicht durchgehend erfolgreich. Ich verfolge jedenfalls keine allgemeingültige Erklärung und erwarte sie auch nicht, da ja hier wie woanders die Umkehrung, d.i. Integration, zu Neuem führt. Was mich eher antreibt ist, Beweisgänge, die sich ausschließlich einer differentiellen Darstellung bedienen, zu verstehen und zu verfolgen, eine Umformung in differentieller Schreibweise selbst zu versuchen, zum Beispiel grundlgende theoretische Mechanik. von ds zu dv zu da oder einfache Differentialgleichungen von Schwingungen(gedämpft). Und schließlich die Motivation eine differentielle Darstellung eines mathematischen Sachverhalts vollständig und lückenlos selbst zu versuchen ohne Angst zu haben einen Schritt nicht darstellen zu können. Damit habe ich jedenfalls begonnen und die Rechenregeln (zusammengesucht) sind vielleicht auch anderen eine Hilfe. ( Ich sehe sie jetzt in allen möglichen und unmöglichen Varianten und erkenne sie wieder und verstehe sie sehr oft, wenn sie richtig sind.

Schließlich noch ein neuer Liter aturvorschlag (tolles Buch zu einer tollen Leibniz Austellung mit seiner Rechenmaschine und seinen Erfindungen und Darstellung der Denkweisen seiner Umwelt und seiner eigenen), von der Leibniz Gesell schaft Hannover, wozu ich noch versuche eine repräsentative Internetadresse herauszubekommen.--Roomsixhu 02:48, 19. Apr 2005 (CEST)

Die mengentheoretische Fundierung der Mathematik ist die einzig derzeit übliche. Was Du mit "nicht durchgehend erfolgreich" meinst, ist mir nicht klar. Soweit mir bekannt, gibt es nur zwei Möglichkeiten, das Rechnen mit Differentialen präzise zu fassen: einerseits mit Differentialformen, andererseits mit Nichtstandardanalysis. Differentialquotienten als Quotienten von Differentialformen aufzufassen, ist unüblich und funktioniert nur begrenzt. Nichtstandardanalysis ist eher eine exotische Theorie, die anscheinend wenig echte Vorteile bietet. Physiker rechnen natürlich mit Differentialen, ohne sich darüber Gedanken zu machen, was sie da tun, aber solange die Ergebnisse zu den Experimenten passen, kann ihnen das ja auch egal sein...-- Gunther 12:31, 19. Apr 2005 (CEST)

Partielle Integration und die Quadratur der Parabel

Ich bin nun nicht in der Lage mich mit der Grundlegung der Mathematik auseinanderzusetzen. Aber vielleicht ist das Differential ja doch kein mathematischer, sondern ein physikalischer Begriff. Denn der Begriff Geschwindigkeit ist nur über die Diffentialrechnung zu begründen. Und ein Differential ist ja auch in einer Rechnung letztendlich (zum Schluß) zu konkretisieren (auf dx zu beziehen). Noch zwei Beispiele:

Partielle Integration

$d(uv)=u\;dv+v\;du$. Die Produktregel ohne dx, es kommen nur abhängige Größen vor. Wir führen nur um den Anschluß an die moderne Darstellung zu gewinnen, das

unmögliche dx ein.

${\frac {d(uv)}{dx}}=u\;{\frac {dv}{dx}}+v\;{\frac {du}{dx}}$

und somit

$(uv)'=u\;v'+v\;u'.$

Nun auf beiden Seiten

integriert:

$uv=\int u\;dv+\int v\;du$

und

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$

Das ist doch

einfach und übersichtlich. Das schreibt man modern:

$\int u\;{\frac {dv}{dx}}dx=uv-\int v\;{\frac {du}{dx}}dx$

und damit

$\int u\;v'dx=uv-\int v\;u'dx$

und was uns an Erkenntnis

bleibt, $\int$ ist wohl das Gegenteil von $d$.

Was nun dieser Schritt der Erweiterung von 1 zu
${\frac {1}{dx}}dx$ vereinfachen soll, ist mir
völlig unklar.

1. Es ist ein Schritt mehr, und bei der differentielen Schreibweise muß ich ihn auch machen, aber

nur dann, wenn ich will, beziehungsweise nur einmal und zwar ganz am Schluß. Vorher kann man sich diese ganze Verwirrung erstmal sparen.

1. Die ganzen Darstellungen von Lagrange, Cauchy und

auch Newton implizieren diese Erweiterung, also ist zum Verständnis der differentillen Schreibweise keine Erklärung, oder ein Rechenschritt nötig, sondern nur der Hinweis auf einen (Rechen-)Rückschritt: Aus ${\frac {1}{dx}}dx$ wird 1 gemacht und dx wird unsichtbar. Newton hat das Problem auch erkannt und mal so und mal so angegangen, aber er fühlt sich nicht wohl dabei, wie wir heutzutage auch nicht, vor allem Cauchy.

Historische Fußnote: Leibniz schrieb ursprünglich für $dx$ ${\frac {x}{d}}$ und$\int l$ hieß vorher noch $omnia\;l$ Das dx hinter dem Integral war am Anfang noch nicht vorhanden. Leibniz und Bernoulli hingen es erst später an.

Das ist ein Punkt, den man mit Differentialformen ohne mathematische Bauchschmerzen so hinschreiben kann:

$[uv]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}\mathrm {d} (uv)$

und

$\mathrm {d} (uv)=v\,\mathrm {d} u+u\,\mathrm {d} v=u'v\,\mathrm {d} x+uv'\,\mathrm {d} x,$

also

$[uv]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}u'v\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}uv'\,\mathrm {d} x.$

--Gunther 01:23, 22. Apr 2005 (CEST)

Die Quadratur der Parabel

$f(x)=x^{2}$ von 0 bis b. Für das Integral $\int \limits _{0}^{b}x^{2}dx$ für $b\geq 0$ teilen wir das Intervall $0\leq x\leq b$ in n gleich Teile der Länge $h={\frac {b}{n}}$, durch die Teilpunkte $0+h,0+2h,0+3h.\ldots ,0+(n-1)h$.

Ober- und Untersumme für n=9

Dann ist der

gesuchte Flächeninhalt der Parabel der Grenzwert des folgenden

Ausdrucks (Obersumme):

$h(h^{2}+2^{2}h^{2}+3^{2}h^{2}+\ldots +n^{2}h^{2})=h^{3}(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2})=$

$={\frac {b^{3}}{n^{3}}}(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2})$

Die Summe in der Klammer

haben wir durch folgenden Ausdruck ausgedrückt:

$(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2})={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Setzen wir ein so erhalten wir

nach einer Umformung (im Zähler $n$ aus jeder Klammer einmal ausklammern und dann mit$n^{3}$ kürzen):

${\frac {b^{3}}{6}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\left(2+{\frac {1}{n}}\right)$

Bei unbegrenzt wachsendem n ergibt sich also der Grenzwert ${\frac {b^{3}}{3}}$, und wir erhalten die

gesuchte Integralformel:

$\int \limits _{0}^{b}x^{2}\,dx={\frac {b^{3}}{3}}$

Hieraus ergibt sich die

allgemeinere Relation ($0<a<b$):

$\int \limits _{a}^{b}x^{2}\,dx=\int \limits _{0}^{b}x^{2}\,dx-\int \limits _{0}^{a}x^{2}\,dx={\frac {b^{3}-a^{3}}{3}}$

nach $\int _{0}^{a}f(x)dx+\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{0}^{b}f(x)dx$

Wir können jetzt festellen:

1. $dx=h={\frac {b}{n}}$
2. dy ist eine Funktion von dx
3. Hier speziell ist :$\int y=(h^{2}+2^{2}h^{2}+3^{2}h^{2}+\ldots +n^{2}h^{2})$
4. dx ist eine Funktion von n, dx(n).
5. y sollte man indizieren, $y_{k}$: $\int y$ drücken wir bei noch

endlichem n so aus$\sum \limits _{k=1}^{n}k^{2}h^{2}$. Das Integral ist somit ein Funktion von k, sozusagen $\int (k)y$. y ist noch eine Funktion von x: $y=y(x)=x^{2}$

Womit wir zu einer unmöglichen Geamtdarstellung kommen, denn wir haben vier Abhängigkeiten von k,n, dx und x , und infinitesimal macht Indizierung keinen Sinn: Wir könnten jetzt für die Summe oder die stilisierte Summe , das Integral $s_{y}(k)$ schreiben und erhalten. $s_{y}(k)dx(n)$ für die ganze Funktion, wobei wir uns den Bezug von x und n denken. So das war doch jetzt ganz lustig.

P.S. Wenn man die Zeichnung im Artikel betrachtet, sieht man, daß dx nicht wie heute üblich in x-Richtung eingezeichnet ist, sondern senkrecht dazu.(siehe dazu obige Figur). Ich glaube es ist auch egal. Ich habe Herrn Leibniz im Verdacht, daß er dx nicht erklärt sondern einfach erklärt, es gebe ein dx, sozusagen axiomatisch. Descartes macht das auch ,it der Einheit und kein Mensch fragt, wie man die Einheit erklärt. Rechnung folgt demnächst.--Roomsixhu 20:34, 20. Apr 2005 (CEST)

Copyright

Ich habe freundlicherweise vom Harri Deutsch Verlag die Erlaubnis erhalten Leibniz "Neue Methode .." und Newtons "10. .." hier abzuschreiben.

Bibliographische Angaben:

G. W. Leibniz / I. Newton Über die Analysis des Unendlichen / Abhandlung über die Quadratur der Kurven

Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 162 (Reprint der Bände 162 und 164)

Übers. und Hrsg.: G. Kowalewski Nachdruck der 2. Aufl. 1996, 1998 150 Seiten, 17 Abbildungen, kartoniert, EUR 12,80

ISBN 3-8171-3162-3

--Roomsixhu 01:24, 22. Apr 2005 (CEST)

Stellen Sie es also unter die GNU-FDL? Wenn sie das Copyright behalten, muessen wir es hier loeschen. --DaTroll 10:20, 24. Mai 2005 (CEST)

Die Frage habe ich mir auch schon gestellt, aber ist das nicht sowieso gemeinfrei, wenn die erste Auflage schon über 70 Jahre alt ist? [3]--Gunther 10:30, 24. Mai 2005 (CEST)

Nein, die 70 Jahre werden ab Tod des Urheberrechtsinhabers gezaehlt. Mir ist aber nicht ganz klar, was im Artikel ist: Uebersetzungen der lateinischen Originale (wenn ja, wer hat uebersetzt?) oder Kommentare aus dem Buch? --DaTroll 10:36, 24. Mai 2005 (CEST)

Wenn ich das richtig verstehe, enthält das Buch lediglich eine Übersetzung der beiden Werke von Leibniz und Newton. Wer muss denn in so einem Fall tot sein? Leibniz und Newton? Der Übersetzer? Der Verlag?--Gunther 10:42, 24. Mai 2005 (CEST)

Dann muessen wir wohl noch 15 Jahre warten, wenn ich die Seite richtig deute und Kowalewski der Uebersetzer ist: [4]. Uebersetzungen sind IMHO auch geschuetzt. --DaTroll 10:48, 24. Mai 2005 (CEST)

Oder zumindest sollte Roomsixhu nochmal genauer angeben, was der Verlag gestattet hat. Irgendein Quellenhinweis muss sein, vielleicht ist ja nur die Überschrift "Copyright

" unklar gewählt.--Gunther 10:56, 24. Mai 2005 (CEST)

Ich hab ihn mal angeschrieben. --DaTroll 11:02, 24. Mai 2005 (CEST)

Kowalewski hat übersetzt und Anmerkungen hinzugefügt. Harri Deutsch Verlag hat sich die Druckvorlage(Orginal) freundlicherweise von der Bibliothek des Institutes für Geschichte der Naturwissenschaften der Universität Frankfurt am Main zur Verfügung stellen lassen. Ich möchte dann auch informiert werden, wenn ich tot bin. --Roomsixhu 19:56, 24. Mai 2005 (CEST)

Ich habe alle nochmal angemailt wegen GNU-FDL mit untigem Link und werde das Ergebnis berichten. Bis dahin könnte mir ja mal jemand sein altes Lateinbuch schicken, und ich fang an. Die Texte sind die Übersetzungen, der Kommentar dazu ist nicht von Kowalewski sondern von mir, wie ich auch seine Anmerkungen nicht zitiert habe. --Roomsixhu 18:41, 29. Mai 2005 (CEST)

Hurra. Leibniz und Newton können drinbleiben.

At 22:37 28.05.2005 +0200, you wrote: Vielen Dank, leider habe ich mich mit den Lizenzrechten geirrt. Bei Wikipedia müßte das unter die GNU-FDL (freie Lizenz) GNU-Lizenz für freie Dokumentation: http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia%3AGNU_Free_Documentation_License gestellt werden. Ist das für diese Abschnitte möglich. Ich müßte sonst Latein lernen, weil ich nur noch das lateinische Orginal habe.

Seehr geeehrter Herr Wulf,

ja, ist moeglich. Wie gehabt: bitte korrekte bibl. Angaben.

Mit freundlichen Gruessen

Heike Schulze Verlag Harri Deutsch Tel (069) 770158-60 Fax (069) 770158-69 www.harri-deutsch.de/verlag 01.06.2005

--Roomsixhu 03:09, 2. Jun 2005 (CEST)

Differentiale zweiter Ordnung

Ich finde diese Erklärung nicht ausgesprochen glücklich, da $dy$ für verschiedene Funktionen steht, je nach Wahl von $h$. (Die übliche Lösung dieses Problems besteht darin, $dy$ als Funktion von $x$ und $h$ aufzufassen, aber dann kann man nicht $ddy$ bilden.)--Gunther 18:13, 14. Mai 2005 (CEST)

Ah ja, das stimmt, deshalb muß ich ja h auch ausdrücklich festhalten, wie unglücklich beschrieben, aber ich erkenne jetzt, wo die Problematik liegt. Mal muß man dies mal jenes festhalten, das ist doch wirklich sehr umständlich. Lieber Gunther empfiehl mir mal ein gutes Lehrbuch Deiner Richtung und ich werde mal reinschauen, um zukünftige Mißverständnisse zu minimieren. Nicht jede Reform bringt einen weiter und trotz beispielsweise Rechtschreibereform, sollte man alte Bücher lesen können, und das wird bald beigebracht werden müssen. Ich würde dies auch auf Leibniz anwenden, hätte er nicht lateinisch geschrieben, dafür konnte Schiller schlecht Englisch. Höhö --Roomsixhu 19:26, 14. Mai 2005 (CEST)

Wie gesagt, mir ist keine übliche oder einfache Möglichkeit bekannt, $\mathrm {d} ^{2}y$ irgendeinen exakten Sinn zu geben. Aus Sicht der Differentialformen ist $\mathrm {d} y$ genau das beschriebene: eine Funktion, die aus einem Punkt (x) und einem Tangentialvektor in diesem Punkt (h) eine Zahl macht. Aber in der Theorie der Differentialformen ist $\mathrm {dd} y=0$...--Gunther 19:35, 14. Mai 2005 (CEST)

Habe ich das richtig verstanden $\mathrm {d}$ ist linear und $\mathrm {dd} \omega =0$. Differentialform Aber das macht Newton ja auch schon in meiner Notiz. Und andere lassen auch unendlich kleine Größen weg. Also der eine Ansatz ist ein Weglassen der unendlich kleinen Größen höherer Ordnung Differentialform, der andere eine Algebraisierung der Leibnizregeln Kähler-Differential, inclusive Symmetriebetrachtungen. Die habe ich auch mal versucht, aber kommt das nicht wieder letztendlich auf rationale Funktionen hinaus. Mit denen kann man schon sehr viel machen, eigentlich alles. Symmetriebetrachtungen in diesem Ausmaß kommen meiner Meinung aus der Thermodynamik, Quantenmechanik und folgendem. Und führen zu Quarks, Wurmlöchern und Chaos. Sehr lebensnah. Wer kennt sich da aus?--Roomsixhu 03:22, 15. Mai 2005 (CEST)

Das $\mathrm {dd} \omega =0$ der Differentialformen hat nichts mit dem Weglassen von Termen höherer Ordnung zu tun. Diese Gleichung trägt zu der ganzen Fragestellung hier wenig bei (außer Verwirrung).--Gunther 22:53, 20. Mai 2005 (CEST)

Einleitung

Ich bin mit den inhaltlichen Änderungen nicht glücklich:

• "feste endliche Zahlgröße mit den Verhältnissen einer veränderlichen unendlich kleinen" finde ich komplett unverständlich.
• Ich halte es für wichtig, darauf hinzuweisen, dass es vor Cauchy keine mathematisch exakte Differentialrechnung gab.
• Die neue Entwicklung hat nichts mit Mengentheorie zu tun.
• Den Satz "Lediglich im Kontext..." in der alten Version halte ich immer noch für korrekt. Mir ist nicht klar, was die neuen Sätze sagen wollen.

--Gunther 6. Jul 2005 00:21 (CEST)

Hallo Gunther, hier nur eine Skizze. Es ist historisch einfach nicht so, daß Differentiale unendlichklein wären. Ich plädiere dafür, wie auch inhaltlich richtig, sie gleichberechtigt mit unendlcihkleinen Größen zu behandeln und die Unterschiede darzustellen. Historisch ist es so: Newton hat bekanntlich seine Methode nach Leibniz veröffentlicht, obowohl er sie früher gefunden hatte. Deshalb der Prioritätenstreit. Er meinte sich in Gegensatz zu Leibniz setzen zu müssen, indem er seine Rechnungen auf unendlichkleine Größen bezog. Nur irrte er sich . Leibniz befand sich in keinem Gegensatz, auch er sah die Notwendigkeit unendlichkleiner Größen. Der Abschluß durch Cauchy stellt auch keine unendlichkleinen Größen in Abrede, aber Cauchy gibt dem Differential eine endliche Größe. Dann kann er unter den Differentialen eine Einheit auszeichnen. Die ist elementar zur Differrentialrechnung nötig. Sonst hätte man nur einzelne Ableitungen. Man kann unter unendlichkleinen Gröen keine Einheit auswählen. Auch sie verschwände. Auch ist seine Beweisführung logisch einwandfrei, aber das überlasse ich gerne den Herren Spalt und Laugwitz. Man kann die Gleichung ${\frac {fluxion(x)}{fluxion(x^{n})}}={\frac {1}{nx^{n-1}}}$ unter Notiz von Newton auf zwei Arten lesen:

1. Links der Differentialquotient, rechts die Ableitung. Man kann dann links die Reihe von Newton mit den o's einsetzen oder die verkürzte Form des ersten Reihengleides, je nach Wunsch.
2. Rechts oben steht eine Einheit und links oben steht eine Einheit. Also ist fluxion(x) eine Einheit und nicht unendlichklein.

Noch mehr historisches: Man kann Leibniz schwer unterstellen, er hätte schon ein logisches Aussagenkalkül mit Wahr und Falsch-Werten gehabt (Es ist wahr, daß ein Diffential neun Meter lang ist). Das hatte er nicht. Er hatte eine an Aristoteles geschulte Begriffslogik (Ein Differential ist neun Meter lang): Ein Begriff ist alles Meinbare. Insbesondere ein 9 Meter langes Diffential. Und man kann damit rechnen, wenn man ihm Regeln gibt. Kurz die Aussagenlogik ist ein Kalkül mit Deutung. Die Begriffslogik ein formuliertes Problem mit Kalkül. Eine Aussagenlogische "Implikation" aus falschem folge beliebiges, wahres und falsches, läßt in der Begriffslogik den Unsinn, aus jedem unwahren Urteil folge jedes beliebige, entstehen. ('Schnee ist schwarz "impliziert" heute ist der 7. Juli.' Das ist begriffslogisch sinnlos) Auch aussagenlogische "Äquivalenz" ist Identität hinsichtlich Wahrheitswerten , nicht wie begriffslogisch hinsichtlich Inhalten. [Begriffslogik].

Untersuche doch bitte Kählerdifferentiale und Differentialformen. Wenn sich darin Normalformen finden, hast Du, eine Einheit, Normierung, 1 oder das Differential!

Die Logiken Aussagenlogik (z.B Hilber-Kalkül) und Begriffslogik sind letztendlich gleichwertig. Aussagenlogik baut Begriffe aus Urteilen auf. Begriffslogik baut aus Begriffen und Schlüssen Urteile auf. Der Begriff Begriff unterliegt deshalb in der Aussagenlogik oft Mißverständnissen.

Schließlich ein Vorteil endlicher Differentiale: Ein Differential der Ableitung (festgehaltenre Punkt und infinitesimale Annäherung) und ein Differential am Integral (ganzes Intervall) sind begriffslogisch identisch. Wenn mir jemand das so ohne weiteres aus den Grenzwertdefinition

en von Ableitung und Integral (in schwierigereren Fällen) hinschreibt ist er gut. Im Unterschied sehen sich dort die entsprechenden Größen nicht besonders ähnlich.

Gruß --Roomsixhu 7. Jul 2005 03:13 (CEST)

Ich habe schon mal selbst nachgesehen: $\mathrm {d} \omega$ist die äußere Ableitung. Aber die zweite Ableitung ist bei Leibniz ddy/dxdx nicht ddy/ddx. und $\mathrm {dd} istR-linear=0$ ist identisch mit der Leibnizschen Noremierung. Kähler-Differentiale sind linear. dx=const. und ddx=0 ist es auch (Leibniz). Mißverständnisse muß ich entschuldigen, denn ich bin in den Zeichen nicht fit. Nachbemerkung: Ein Differential muß man nicht definieren, man kann es endlich meinen, und meinen die Ableitunsregeln gelten dafür. Daraus kann ich ein begriffslogisches Kalkül entwickeln. Das reicht. --Roomsixhu 7. Jul 2005 03:40 (CEST)

Ich habe mal einen neuen Versuch gemacht. Es sollte halt auf jeden Fall rein, dass heute niemand mehr mit Differentialen rechnet, sondern dass das i.w. ein historischer Begriff ist.--Gunther 7. Jul 2005 09:53 (CEST)

Anschaulich ist schon sehr schön. Ich hätte gerne noch das Endliche der Differentiale drin. Wenn ich Deine Formulierung weiterspinne, ist die Neuzeitliche Mathematik seit Descartes der Versuch Mathematik anschaulich zu fassen. Ich bin damit einverstanden, aber hattest Du diesen Sinn beabsichtigt? Ich bin weiter stark an Normalformen interessiert.

P.S. Habe ich oben vervollständigt:

Aussagenlogik baut Begriffe aus Urteilen auf. Begriffslogik baut aus Begriffen und Schlüssen Urteile auf. Der Begriff Begriff unterliegt deshalb in der Aussagenlogik oft Mißverständnissen.

--Roomsixhu 7. Jul 2005 17:19 (CEST)

Begrifflicher Unterschied zwischen Differenzieren und Integrieren

Dann bitte aber auch die zwei Integralabsätzte entfernen, denn dx hinter dem Integral ist kein $x\to x_{0}$. DaTroll Du löscht sehr gerne, aber bitte konsequenter. --Roomsixhu 9. Jul 2005 12:39 (CEST)

Ich hätte diesen ganzen Artikel gerne entrümpelt, daß sich ein Leser wieder Informationen über Differentiale holen kann. Deshalb mein Vorschlag:

• Ich lagere historisches unter Differential_(Leibniz), Differential_(Cauchy), Differential_(Newton) und das charakteristische Dreieck unter Differential_(Pascal) aus.
• Wir machen einen Artikel Integrationskonstante und besprechen das Ganze nochmal aus der Sicht des Herrn Integral.

Frage wie verschiebe ich Absätze aus einem Artikel?? --Roomsixhu 9. Jul 2005 16:11 (CEST)

Eine derartige Aufteilung erscheint mir nicht sinnvoll. Im Regelfall sollte ein Artikel einen Begriff behandeln, nicht mehr, nicht weniger. Man könnte allerdings die erste Hälfte rauswerfen und den Artikel auf einen Geschichtsartikel reduzieren; die modernen Differentialbegriffe (Totalableitung, Kähler-Differential) könnte man dann über eine BKS erledigen.--Gunther 9. Jul 2005 16:39 (CEST)

@Roomsixhu: Da muss ich mich bei Dir entschuldigen. Ich hatte Deinen Hinweis oben übersehen, die Abschnitte werde ich wieder reinkopieren. Bis auf den letzten, den ich immer noch fehl am Platze finde. Hier muss ich auch mal Kritik an Deinen Beiträgen üben: ich habe den Eindruck, dass Du zuwenig guckst, wo ein Abschnitt hinpasst und dadurch doppelte Inhalte erzeugst oder auch Abschnitte, die sich nicht in den Rest eines Artikels einbinden (siehe Integralrechnung, die Kartesische Geometrie oder auch hier). Bitte gehe da doch etwas sorgfältiger vor. Schönen Abend noch, --DaTroll 20:20, 12. Jul 2005 (CEST)

Ja, sorry, kann schon angehen. Ich werde mich zusammenreißen. Bin auch schon in Mathematischen Artikeln zurückhaltender geworden. Aber hier gehen ein Haufen guter Gedanken verloren. Und Fehler sind halt auch drin. Analytische Geometrie ist ja nun in Bezug auf Descartes völlig nichtssagend, bei Descartes steht es auch nicht. Aber wenn sich etwas nicht in einen Artikel einbindet, kann das auch am Artikel liegen. Ich bewege mich wahrscheinlich völlig unter dem Niveau eines Mathematikers, aber darüber bin ich nicht traurig. Ein "Mathematiker" wird sich nicht auf mein Niveau herabbegeben. Ich hatte auch schon mal das Schlagwort Didaktik erwähnt, die ich für völlig vernachlässigt halte. Was die Disskusion über Infinitesimale angeht, erinnert mich das eher an barockes Niveau. Kowalewski war ein Schüler Weierstraß'. Mein Frust kommt vielleicht auch daher, daß ich keine Antworten in Wikipedia erhalte, und wenn ich das in einem Artikel dann fälschlicherweise einfüge, erhalte ich erstrecht keine Antwort. Oder einen Artikel analytische Geometrie: Rechnen kann ich selber und mehr steht nicht drin. Inzwischen bin ich hier der Auffassung, daß man Leibniz nicht nach Differentialen befragen sollte. Und nochmal: Kennt jemand den Unterschied (Grenzwert) hier zwischen Cauchy und Weierstraß?. Mal Ehrlich!

Garantieerklärung. Da ich jetzt eine eigene Hompage habe, tobe ich mich da aus. --Roomsixhu 21:23, 12. Jul 2005 (CEST)

Kähler-Differentiale

Im artikel werden kähler-differentiale als dual zu den derivationen beschrieben. Gibt es dafür eine quelle? Nach meinen recherchen entwickelte sich die dual-auffassung zw beiden über viele jahre und durch viele autoren, wobei chevalley 1946 und chern 1951 dann letztendlich diese zuordnungen herausarbeiteten.

Das ist zugegebenermaßen eine etwas unglückliche Vermischung von historischer Spekulation mit moderner Sicht. Ich wollte keine Aussage darüber machen, wie sie ursprünglich definiert wurden, sondern nur, wie sie heute gesehen werden. Die Feststellung, dass Tangentialvektoren Derivationen definieren, ist aber mit Sicherheit älter. Wenn Du da mehr dazu schreiben kannst, sei mutig!--Gunther 13:08, 4. Jan 2006 (CET)

Lieber nicht, bin eher nur der interessierte laie :) --Anfänger 13:15, 4. Jan 2006 (CET)

Unterschrift vergessen...

Zusatz: in quellenangaben jener zeit ist auch nie von kähler die rede wenn von tangentialvektoren als ableitungsoperatoren und differentialen die rede ist. --Anfänger 13:09, 4. Jan 2006 (CET)

In der ersten Hälfte sollen ja auch die modernen Begriffe kurz erklärt werden, die in der Einleitung genannt sind.--Gunther 13:18, 4. Jan 2006 (CET)

Du behandelst ja vorher die differentialformen und gibst als beispiel das differential einer funktion. Die dort auftretenden dx am ende gehören aber zum kotangentialraum, wären also eigentlich kähler-differentiale, nach deiner definition der kähler-differentiale im anschluß. Oder schmeiß ich was durcheinander? --Anfänger 13:54, 4. Jan 2006 (CET)

Das soll keine präzise Definition sein, die steht unter Kähler-Differential. Man kann den Kotangentialraum über Kähler-Differentiale definieren, aber das wird meistens nicht so gemacht. Die Notationen überlappen sich in diesem Bereich.--Gunther 15:31, 4. Jan 2006 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 19:28, 12. Nov. 2012 (CET)

dx in Z?

Hallo allesamt, ist das Differential immer eine unendlich kleine Größe ("kleine Größe", wie süß!), oder hängt das auch vom Zahlenbereich ab, d.h. ist dx in Z gleich 1?

Nein. Falls Du auf die Analogie zwischen Integralen und Summen anspielst: Das naheliegende Maß auf Z zählt einfach die Elemente einer Menge, d.h. einzelne Punkte haben "Länge" 1, während man in R ein ganzes Intervall braucht, um die "Länge" 1 zu erreichen, einzelne Punkte haben dort Maß 0. Vgl. Lebesgue-Integral.--Gunther

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 19:29, 12. Nov. 2012 (CET)

Review - Artikelprinzipien

Nachdem der Artikel im Review stand, habe ich den Artikel unter folgenden Prinzipien überarbeitet, und bitte sie weiterhin zu berücksichtigen:
1. $\mathrm {d} x$ ist endlich.
2. $\Delta x$ ist infinitesimal. Deshalb wird es nur mit $\lim _{\alpha \to 0}$ und der Grenzwertdefinition beherrscht: Differential_(Mathematik)#Cauchys Differentialbegriff
3. Im Ergebnis dürfen keine Differentiale auftauchen. Denn dort ist ein $\mathrm {d} x$, $\mathrm {d} y$ oder $\mathrm {d} z$ sinnlos.
4. ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}$ ist ein Verhältnis endlicher Größen.

5. ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ ist kein Verhältnis infinitesimaler Größen. Denn das gibt es nicht. Für diesen Ausdruck muß der Grenzwertübergang gemacht werden.
6. Die Grenze geometrischer Differenzenverhältnisse abhängiger Zahlgrößen (5.), wird auf endlich Größen (4.) übertragen.

--Room 608 15:05, 10. Mai 2007 (CEST)

Review März - Mai 2007

Der hauptamtliche Matheadministrator hat sich zurückgezogen und ich habe vieles im schon ganz anständigen Artikel verfasst, habe aber etwas Bauchschmrzen:

• Differentiale sind nicht unendlich klein, aber es steht an einigen Stellen im Artikel
• Teilweise ist der Artikel zu kompliziert
• Er enthält Doppeltes
• Begriffe wie Integrationsvariable sind wackelig
• Das Layout und die Gliederung sind unschön

Schließlich gibt es bei dieser speziellen Betrachtungsweise des Themas zwei Herangehensweisen. Die moderne algebraische und meine eher historische (aber bessere wie ich finde).

Mein schon auf den Diskussionsseiten ausgebreitetes Halbwissen reicht nur für 45%, beim Rest brauche ich Hilfe. Wichtig wäre mir in dem Zusammenhang mit konventioneller Analysis herauszuarbeiten:

Unendlich ist nur im uneigentlichen Sinn ein Begriff -- denn es gibt zwar mathematische Aussagen, in denen er vorkommt, nicht aber Aussagen über ihn. "Unendlich" ist eine abkürzende Redeweise für einen sonst umständlich zu formulierenden Sachverhalt, nicht aber selbst ein (Untersuchungs-)Gegenstand der Infinitesimalrechnung.

Es geht auch darum das Rechnen ("Kürzen und Erweitern") in Leibniz Schreibweise zu verdeutlichen. Die Englische WP kann das nicht. ;-) --Roomsixhu 16:40, 28. Mär. 2007 (CEST)

Es gibt in der Mathematik keinen Begriff "Differential" außer dem totalem Differential (bzw. Tangentialabbildung im differentialgeomtretischen Kontext). In verkürzender Sprechweise meint man damit gelegentlich auch man den Differenzenquotienten oder eine Differentialform. Insbesondere der Artikel Differenzenquotient bzw. Differentialrechnung bietet bereits einen sehr guten historischen Überblick. Ich sehe daher keinen grossen Sinn in diesem Artikel, außer einer Klarstellung der verwendeten Begriffe. Den historischen Teil zu verlieren, wäre aber schade, er könnte in Differentialrechnung eingearbeitet werden oder in einen eigenständigen Artikel Geschichte der Differentialrechnung.

Was meinst Du mit Unendlich ist nur im uneigentlichen Sinn ein Begriff ?? Legt man die üblichen mengentheoretischen Axiome (ZFC) zugrunde, ist doch klar, was "unendlich" bedeutet. --Enlil2 21:10, 7. Apr. 2007 (CEST)

Na ja, klingt so als ob man den Artikel löschen könnte. Auch gut. Auf der Diskussionsseite ist noch Pascals "Quart de Cercle" auch historisch, bitte gegebenenfalls retten. Bloß was meinte dann Cauchy mit Differential, als es ZFC noch nicht gab? Bei Cauchy gibt es den Begriff Differential, und zwar exakt, siehe Literatur Spalt. "Uneigentlich" meint das, wie es oben dasteht. "Unendlich" ist kein Begriff der Mathematik. So im Moment ist der Artikel aber uneinheitlich, also löschwürdig oder historisch. Also was wollen wir damit? Interessanterweise spricht ja selbst Leibniz von "unendlichklein". Differenzenquotient und Differentialrechnung sind dieselben Links. Ansonsten hatte ich auf der Diskussionsseite vorgerechnet, was man unter dem Differential d(uv) zum Beispiel im Gegensatz zu heute versteht. Dort steht dann die Produktregel ohne Differentialquotient. Differentiale scheinen ein Homomorphismus zu sein. etc...

Wenn der Artikel nicht verständlich ist, muß er geändert werden. Da ich mir hier wohl berechtigt einige Unfähigkeitsvorwürfe eingehandelt habe, stelle ich das mit einem Review zur Diskussion. --Roomsixhu 22:39, 7. Apr. 2007 (CEST)

Ich wollte Dir keinesfalls Unfähigkeit vorwerfen. Ich habe mir die Versionsgeschichte des Artikels nicht angesehen und weiss auch nicht, welche Beiträge Du zum Artikel geleistet hast, ich beziehe mich nur auf den Artikel, so wie er jetzt aussieht. Ich bin auch nicht dafür, den Artikel zu löschen, da er wahrscheinlich früher oder später neu angelegt würde, sondern er sollte auf die verschiedenen Begriffe hinweisen, wie es in der Einleitung bereits jetzt der Fall ist.

Ok, Du meinst nicht unendlich, sondern unendlich klein, was in der (klassischen) Analysis tatsächlich kein Begriff ist, sondern nur der Versuch einer intuitiven Beschreibung. Leibniz hatte den Begriff des Grenzwertes in seiner heutigen Form noch nicht zur Verfügung, musste sich also mit einer anderen Beschreibung behelfen. Soweit ich das sehe, ist, was Cauchy als "Differential" bezeichnet hat, einfach der Begriff der "Ableitung", wie wir ihn heute kennen. Beim Lesen historischer Dokumente muss man sich dabei immer bewusst sein, dass die Begriffe nicht immer im heutigen Sinn verwendet werden, hinzu kommt noch das Problem der Übersetzung in eine andere Sprache. --Enlil2 13:34, 8. Apr. 2007 (CEST)

Sehr gut, wenn Du in diesem Sinne ein wenig klärend in den Artikel eingreifen könntest. Die historische Begrifflichkeit ist leider alles andere als trivial. Zu Cauchys Differentialen denke ich, daß Differentiale in den Endgleichungen (Ableitungen) nicht auftauchen dürfen und dort dann selbstverständlich verschwinden. Das steht ziemlich genau im vierten Absatz bei Cauchy. Bei den Griechen gab es Zahlen, Verhältnisse und Größen, heute ist das eins: Zahlen sind das Verhältnis zweier Größen. Daran denkt man heute, wenn man Differential und endliche Größe in Zusammenhang bringt und es vorübergehend wie etwas Selbständiges behandelt. Aber vorübergehend darf man das wohl. Bloß wie schreibt man das prägnant in den Artikel. Ich kann es nicht. Vielleicht sollte man die historischen Absätze, eindeutig als historisch kennzeichnen, daß man sich begrifflich nicht verwirrt. --Roomsixhu 15:22, 8. Apr. 2007 (CEST)

Der Artikel gibt nur die innere Zerissenheit der Mathematik zu diesem Thema wieder wie sie nun mal ist. Einige arbeiten mit Strich-Ableitungen, andere mit Punkt-Ableitungen, wieder andere mit anderen Bezeichnungen. Leider ist die so exakte Wissenschaft der Mathematik bei ihrer Selbstbeschreibung selbst nicht exakt sondern historisch, vielleicht sogar etwas menschlich gefärbt.62.134.61.23 18:06, 23. Apr. 2007 (CEST)

Vielleicht kann man ja den Finger auf die Wunde, äh den Riss legen. Ich glaube es gibt dabei genau zwei Lager von Mathematikern, und die Historie ist exakt seit Cauchy, aber auch Herr Dr. Spalt streitet auf verlorenem Posten. Im Augenblick macht er gerade politische Pause.--Roomsixhu 18:24, 23. Apr. 2007 (CEST)

Sprachlich betrachtet ist der Artikel eine Zumutung. Sätze wie Die Motivation für diese Begriffsbildung lag mit Sicherheit in der Physik oder Sehr schön, mit richtigem Zähler in Übereinstimmung mit meiner Regel: haben nichts in einer Enzyklopädie verloren. Der laxe Schreibstil mag erheitern ist allerdings nicht angemessen. --Wladyslaw Disk. 22:39, 29. Apr. 2007 (CEST)

Der erste ist nicht von mir. Der zweite: Beide verbessern! It´s a wiki. Den Rest gleich mit.:-) --Roomsixhu 23:08, 29. Apr. 2007 (CEST)

Rudimentär verbessert. --Roomsixhu 02:07, 30. Apr. 2007 (CEST)

Um es endlich konkret zu machen:

• Differential_(Mathematik)#Das_Differential_des_Differentialquotienten: hier wird $\mathrm {d} x$ gleich $\Delta x$ gesetzt. Das ist zweideutig.
• Differential_(Mathematik)#Das Differential des Integrals Integrationsvariable ist ein Begriff der mehr oder weniger undefiniert ist. Auch der Rest ist holprig.
• Differential_(Mathematik)#Ordnung der Differentiale ist zu kompliziert.
• Differential_(Mathematik)#Notiz von Newton hier wird wieder o und $\mathrm {d} x$ und $\Delta x$ gleichgesetzt, was nicht sein kann. Der ganze Absatz muss neutral kontrolliert werden.
• Differential_(Mathematik)#Der Differentialquotient hier steht: '"unendlich kleinen" Änderung df', das ist falsch.
• Differential_(Mathematik)#Differentiale in der Integralrechnung hier steht: "unendlich schmale" Rechtecke der Breite dx, das ist ebenso falsch.

Ob es nun mit der modernen algebraischen Herangehenseise zusammenpasst, weiß ich nicht, aber der Artikel muss unter folgende Prinzipien gestellt werden:
1. $\mathrm {d} x$ ist endlich.
2. $\Delta x$ ist infinitesimal. Deshalb wird es nur mit $\lim _{\alpha \to 0}$ und der Grenzwertdefinition beherrscht: Differential_(Mathematik)#Cauchys Differentialbegriff
3. Im Ergebnis dürfen keine Differentiale auftauchen. Denn dort ist ein $\mathrm {d} x$, $\mathrm {d} y$ oder $\mathrm {d} z$ sinnlos.
4. ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}$ ist ein Verhältnis endlicher Größen.
5. ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ ist kein Verhältnis infinitesimaler Größen. Denn das gibt es nicht. Für diesen Ausdruck muß der Grenzwertübergang gemacht werden.
6. Die Grenze geometrischer Differenzenverhältnisse abhängiger Zahlgrößen (5.), wird auf endlich Größen (4.) übertragen.

Tut mir leid. -Roomsixhu 02:54, 30. Apr. 2007 (CEST)

So ich habe meine Anteile am Artikel daraufhin verbessert, den Stil geglättet, persönliche Meinung rausgenommen, unverständliches entfernt und nicht Nachvollziehbares umformuliert. Wenn niemand anderes mehr mitmachen will, ist der Review beendet--Roomsixhu 02:27, 5. Mai 2007 (CEST)

Ich werde nur noch die Absätze in acta eruditorum typographisch überprüfen, ansonsten ist der Review beendet. Kaum Interesse hier. --Room 608 20:59, 18. Mai 2007 (CEST)

Frage

In meiner aktiven Zeit habe ich in Analysis-Vorlesungen den Begriff des Differentials ganz vermieden. Aber damit konnte ich die Symbole dy, dx usw. die einerseits in Quotienten und andererseits hinter dem Integralsymbol auftreten, nicht erklären. Das empfand und empfinde ich als unbefriedigend, weiß aber nicht, wie man es besser machen kann. --Hanfried.lenz 17:42, 15. Nov. 2007 (CET).

Das habe ich hier versucht, ein wenig darzustellen. Siehe Abschnitt Cauchy und Notation. --Room 608 23:02, 15. Nov. 2007 (CET)

Ist es nicht möglich, das "Differential" einer Funktion an einer Stelle exakt zu definieren, so dass die üblichen Formeln bei dieser Interpretation von dx, dy, df(x) usw. ihren Sinn behalten? Ich glaube, einmal so etwas gelesen zu haben, kann mich aber nicht an die Definitionen erinnern. Wer kann helfen? --Hanfried Lenz 09:38, 1. Dez. 2007 (CET).

Ich weiß nicht,was die Differentialformenen oder Kählrdifferentiale hergeben, der Autor davon arbeitet nicht mehr mit. Ansonsten setzt man meist x mit der identischen Funktion gleich. Siehe unter Cauchy Anmerkung 2. --Room 608 11:19, 1. Dez. 2007 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 19:31, 12. Nov. 2012 (CET)

Euler und Summa

Das silisierte Summenzeichen ist von Leibniz. Er hat es aber erst verwendet, nachdem die Integralrechungn schon stand. Er benutzt es das erste Mal in einem späteren acta eruditorunm Aufsatz, denn ich mal suchen werde. Vorläufer war das omnia Symbol.--16:27, 10. Jan. 2008 (CET)

Habs jetzt ausführlich hingeschrieben. --Room 608 17:01, 10. Jan. 2008 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 19:31, 12. Nov. 2012 (CET)

Lob

Auch wenn es hier Fehl am Platze ist so möchte ich doch sagen, dass dieser Artikel ein hervorragender Artikel ist. Er ist selbst für "Nichtmathematiker" äußerst gut zu verstehen. (nicht signierter Beitrag von 77.182.201.100 (Diskussion) )

Danke. Er ist sogar ein wichtiger. --Room 608 21:16, 10. Mai 2008 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 19:32, 12. Nov. 2012 (CET)

Typographie der Differentialzeichen

Eine viel diskutierte Frage ist, ob Differentiale recto $\mathrm {d} t\$ oder kursiv $dt\$ gesetzt werden sollten. Hier gibt es recht unterschiedliche Meinungen. Darüber, daß der Differentialoperator typographisch anders gestaltet sein sollte als die Variable $d$, besteht kein Zweifel. Andererseits ist es ein mathematischer Dogmatismus wenn Operatoren zwanghaft recto gesetzt werden. Wie wir alle wissen: dies ist beim Integralzeichen $\int$ und dem Zeichen für die partielle Ableitung $\partial$ nicht der Fall. Schaut man in der mathematischen Literatur um 1900 nach, so findet man ausschliesslich kursivierte Differentialoperatoren. Auch Donald Knuth benutzt diese in seinem The Art of Computer Programming. Er, der TeX zwecks perfekter Typographie entwickelt hat, wird sich da sicher etwas dabei gedacht haben. Argumente der Bequemlichkeit lassen sich hier und insbesondere beim klassischen Buchdruck nicht anweden: dem Setzer ist es egal welchen Letter er aus dem Setzkasten auswählt. Die kusivierte Schreibweise $\int f(t)\,dt$ erscheint beim Lesen flüssiger als das holprige $\int f(t)\,\mathrm {d} t$. Besonders das Nebeneinander vom recto d und kursiven t sieht sehr unvorteilhaft aus. Problematischer ist der Bezug zum kursiven Integralzeichen. Die ideale Lösung wäre: man entwickelt im Rahmen des Latex3-Projektes in Anlehnung an das $\partial$ ein neues Differentialzeichen $d\!\!\!d$, das etwas anders aussieht (z.B. geringfügig fetter) als die Variable $d$. Ein Differentialoperator in Form eines d kann durchaus an die Schreibmaschinenzeit erinnern, die typographisch gegenüber Johannes Gutenberg ein krasser Rückschritt war: hier wurden recto-Integralzeichnen verwendet und diese sahen wie Angelhaken aus!

Ich suche nach einer Lösung im großen Stil. Es wäre daher schön und gewinnbringend, wenn sich Leute aus der mathematischen Typograpie beteiligen würden. --Skraemer 17:08, 7. Jul. 2008 (CEST)

Ich habe nur diesen Artikel verfasst und bin sonst mathematischer Laie. Das recto d habe ich übernommen, da es im allgemeinen hier üblich war. Die Auszeichnung als Operator finde ich ja nicht vekehrt. In meiner persönlichen Auffassung ist es aber egal und mir ist das gesamtkursive und flüssigere Schriftbild auch aufgefallen und gefällt mir so auch ganz gut. In meinem Rechenduden stehen sie recto bei Courant kursiv. Ein fetteres d finde ich typografisch ungünstig. Ich denke das recto d kam mit den Algebraisierungsbestrebungen in der gesamten Mathematik im Zuge der Quantenmechanik und Topologie oder was auch immer ab zirka den 1950ern auf. In diesem Sinne ist die Verwendung des recto d vom Zusammenhang abhängig, bei algebralastigen Artikeln wohl angebracht, bei Artikeln, die keinen Bezug dazu haben, unnötig. --Room 608 10:40, 9. Jul. 2008 (CEST)

Es wird in der modernen Literatur recht unterschiedlich gehandhabt. Im Schüler-Duden Mathematik findet sich z.B. die kursive Variante. Ein fetteres d habe ich nur als alternative Hervorhebung angeführt. Ich meine aber, daß man typographisch ein extra d für den Zweck eines Differentialoperators entwickeln könnte, das sich optisch von dem kursiven d unterscheidet aber zu einem $\int$ und einem $\partial$ passt. --Skraemer 21:28, 10. Jul. 2008 (CEST)

Sieh Dir mal die anderen Artikel an, das recto d ist dort schon Standard, und die Wikipedianer werden sich davon nicht abbringen lassen. Die Typographie in acta eruditorum musste auch noch ohne neue Zeichen auskommen, dort waren aber die Variablen noch nicht kursiv. Wo das Zeichen für $\partial$ herkommt habe ich eh nicht herausbekommen. --Room 608 21:44, 10. Jul. 2008 (CEST)

Ich schliesse mich da Friedrich Schiller an:

„Die Mehrheit? Was ist die Mehrheit? Mehrheit ist der Unsinn, Verstand ist stets bei wen'gen nur gewesen.“

– Friedrich Schiller, Demetrius

Einer fängt mit dem Unsinn an, und alle machen's nach, weil's auf den ersten Blick etwas besonderes ist. Einige haben auch gut Spaß dabei alle kursiven d durch recto d zu ersetzen und glauben damit einen wertvollen Edit geliefert zu haben. Mitnichten, das ist Firlefanz. In der Wikipedia wimmelt es nur so von ernsthaften Fehlern, aber diese aufzuspüren und zu korrigieren, das erfordert harte Recherchen! Kennt jemand ein frühes Buch mit recto d? --Skraemer 22:28, 10. Jul. 2008 (CEST)

Du kannst gerne alle ds umlegen. Es ist ein Wiki. --Room 608 16:06, 11. Jul. 2008 (CEST)

Beziehungsweise

Historisch war der Begriff des Differentials bzw. Differenzials im 17. und 18. Jahrhundert ...

Wo ist der Bezug, auf den sich "bzw." bezieht? Wenn hier nur zwei verschiedene, aber gleichberechtigte und synonyme Schreibweisen aufgeführt sind, dann sollte das explizit so da stehen. Oder gibt es einen Unterschied außer dem, dass die zweite Schreibweise der neuen Rechtschreibung entspricht? wr 87.139.81.19 13:21, 10. Okt. 2008 (CEST)

Betrifft die Schreibweise, beide sind heute gleichberechtigt, wobei ich Differential als die ältere bevorzuge. -- Room 608 15:11, 10. Okt. 2008 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 19:32, 12. Nov. 2012 (CET)

Frage vom 17.01.09

Der erste Satz in einem Artikel ist immer der wichtigste! Dort sollte eine einfache Erklärung des Differentials stehen. Der jetzige erste Satz ist einfach zu schwammig. Daran erkennt man, ob es ein guter oder schlechter Artikel ist, ob jemand das Thema kapiert hat oder nicht. Historisch war es also der Kern von irgendwas. Im nächsten Satz steht auch nichts und am Ende vom Artikel merkt man dann, dass immer noch keine Definition eines Differentials da ist. Schlecht!

Dieser Beitrag stammt von 84.189.78.100

Warum ist der erste Satz der wichtigste? Ich finde den Absatz Notation am wichtigsten. Außerdem ist dieser Artikel ein gemeinsames Werk mehrerer Autoren, die in der Einleitung verschiedene Sichtweisen zusammenbringen müssen. Wenn Du den gesamten Artikel, oder nur mal das Inhaltsverzeichnis, Dir mal angesehen hättest, wüßtest Du, dass es diese verschiedenen Sichtweisen gibt, die sich nicht in allem vertragen, und auch nicht immer schön sind. Aber es müssen alle zur Zeit gebrauchten Sichtweisen einbezogen werden. Im historischen Abschnitt wird auch noch eine vergangene Sichtweise angerissen, die wieder anders funktioniert. Dort steht auch sehr klar, dass das Differential kein selbständiger Begriff ist, oder als solcher sinnlos ist; aufgezeigt sollte im Artikel auch mehr werden, wie man mit ihm rechnet, da es weiter Differentialrechnung und nicht Differentialquotientenrechnung heißt. Aus der Definition des Differentialquotienten kann man dann auch ein Definition des Differentials ableiten, die hier auch steht, wenn man das will und es einem weiterhilft, was ich nicht so empfinde. Ansonsten ist es wichtig, was hier ebenso steht, das Differenital als endliche Größe zu verstehen und die Differenzen als "unendlich klein". Wenn Du das nicht verstanden hast und Deinen Professor nicht fragen kannst, weil er es nicht weiß, so ist das typisch für den Zustand der akademischen mathematischen modernen Kultur seit ca. 1930. -- Room 608 13:09, 17. Jan. 2009 (CET)

"In der Infinitesimalrechnung ist ein Differential die infinitesimale Änderung einer Variable." ist falsch.

Die Differenzen sind infinitesimal und von ihnen wird deshalb auch der Grenzwert bestimmt. Differentiale sind konstant und endlich. Ihr Wert ist nicht bestimmt. Historisch begann es mit einem Begriff Differential. Definiert wurde er ca. 150 Jahre später erstmals von Cauchy und dann von weiteren. -- Room 608 13:18, 17. Jan. 2009 (CET)

...ich bin auch von dem Artikel überhaupt nicht überzeugt und schließe mich dem ersten Redner an.

Es taucht bei KEINEM!!! der Bereiche -in denen angeblich Differentiale auftauchen sollen- eine saubere geschweige denn überhaupt eine Definition auf -.- ...viel schlimmer noch:

In der Integralrechnung ist das "dx" nicht einmal ein Differential sondern LEDIGLICH EINE NOTATION LEIBNITZ, die die Verknüpfung (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) zwischen Integralbildung und Ableitung ersichtlich werden lässt... wäer sich schon einmal mit dem Riemannschen Integralbegriff beschäftigt hat, weiß ganz genau, dass man dieses benamsen kann wie man will, manchmal sogar einfach nur das Integralzeichen ohne dx oder schlicht I[f,a,b]...

Tatsächlich gibt es auch eine strikte mathematische Behandlung von Differentialen in der Differentiellen Geometrie. Und da käme ich auch schon auf einen möglichen Verbesserungsvorschlag (bitte um Feedback!!!):

Man könnte das Differential als Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen definieren (dw: TpM->TqN ....nicht verwechseln mit dw: TM->TM DifferentialFORM), wobei auf der Menge der Differentiale noch eine binäre Operation definiert ist (Komposition)

wie gesagt: Feedback erwünscht!!! -- Freeze S 19:27, 27. Aug. 2011 (CEST)

...ach übrigens was ich auch noch sagen wollte: Historie ist ja schön und gut, ABER NICHT WESENTLICH IN DER MATHEMATIK!!! -- Freeze S 19:30, 27. Aug. 2011 (CEST)

Also, es ist zwar viel, aber nicht alles von mir. Heute ist das Differential nicht einmal mehr historisch, denn es kommt in Lehrbüchern nicht mehr vor. Was vorkommt ist der Differentialquotient, und selbst wenn das Differential dann den Wert "Unsinn" annimmt, steht es im "Zähler" und "Nenner" und kürzt sich zu Eins heraus. Ich sehe auch nicht, warum ich das Differntial zwingend in einer linearen Algebra beschreiben müsste, es ist nicht anschaulich und ich verbinde lineare Algebra nun mal mit Geometrie und Topologie. Die Fragestellung ist auch für die Physik interessant, dort gibt es Differentiale der Zeit. Was sagt die Mathematik dazu? Richtig, gar nichts, denn die Mathematik kennt keine Zeit. Der Begriff wurde von Leibniz in dieser Form eingeführt und von vielen anderen weitergeführt und perfektioniert. Leibniz´ Philosophie würde dabei den Differentialen gar keine Wirklichkeit zugestehen, den sie konstituieren Wirklichkeit, eben beispielsweise eine Steigung, durch Vermittlung der Verhältnisse bei unendlich kleinen Größen, und von diesen sagt die Mathematik nur, dass es sie gibt, nicht was sie sind. Was auch Blödsinn wäre. Also um es zugespitzt zu sagen: Ein Differential ist neun Meter lang. Auch ein Integral ist erst dann wirklich, wenn es Grenzen hat. Die Integrationskonstante ist deshalb so verwirrend. Um den Artikel schöner und kürzer zu machen, müsste man die Ansichten vereinheitlichen, aber die moderne ist nicht die einzige. Neben mir hat noch ein Mathematiker am Artikel mitgearbeitet, von ihm stammt der Hinweis auf die Kähler Differentiale und Differentialformen, was Dir entgegenkommen müsste.

Der Abschnitt "Der Differentialquotient" ist nicht von mir, ich finde ihn nicht gut.

"Erklärung des Differentials zweiter Ordnung" ist nach Courant.

"Das Differential des Differentialquotienten" nach einem aktuellen Lexikon der Mathematik.

Am liebsten hätte ich den Abschnitt "Notation" weiter vorne, da steht alles drin.

Stell den Artikel in die Qualitätssicherung des Portals Mathematik, da wird sich jemand drum kümmern. -- Room 608 01:55, 28. Aug. 2011 (CEST)

Fehler

Die Anwendung des Mittelwertsatzes ohne Stetigkeit vorauszusetzen ist fachlich falsch und sollte entsprechend korrigiert werden. Cs. (nicht signierter Beitrag von 141.20.50.147 (Diskussion | Beiträge) 14:35, 12. Aug. 2009 (CEST))

War doch verlinkt. Der ganze Satzbau ist unglücklich. -- Room 608 03:52, 14. Aug. 2009 (CEST)

Eine Frage

Ich hoffe ich hab's nicht im Artikel überlesen, aber die Frage, die mich schon seit geraumer Zeit plagt:

Bei der n-ten Ableitung, warum steht im Zähler das "hoch n" am Differential-d, im Nenner aber an der Variable, nach der abgeleitet wird? Ich leite ja nicht nach x^2 ab, sondern zweimal nach x. Das ist ja was anderes. Oder anders gefragt, warum schreibe ich nicht (d^n f)/(d^n x), sondern (d^n f)/(dx^n)? --maststef 19:59, 14. Dez. 2009 (CET)

Im Nenner steht dx·dx für dx², die Klammern sind weggelassen, sonst stünde (dx)², was ganz genau wäre, das geht nur bei der unabhängigen Variablen, da man sich die unendlich kleinen Größen alle bei einem gleichen Wert h festgehalten denkt, er muss aber gleich sein. Wie Du weiter unten lesen kannst ist dx nur eine Bezugsgröße, wenn Du davon das Differnial bildest ist es Null, dx selber ist const, also muss x linear und somit ersten Grades sein. Im Zähler steht dann ddy als bilde das Differntial vom Differential, im Sinne eines Operators, so wie Du Funktioenen schatelst. -- Room 608 02:04, 28. Aug. 2011 (CEST)

Fehler bei den Notationen von Ableitungen?

Ist da nicht ein Fehler bei der Lagrange Notation von Ableitungen? Da steht y'=f(x) und y' '=f '(x) muss es nicht heißen y'=f '(x) und y' '=f ' '(x)? (nicht signierter Beitrag von 217.228.81.98 (Diskussion | Beiträge) 04:10, 9. Feb. 2010 (CET))

Falls da ein Fehler war, ist er verbessert: y'=f '(x) ist richtig. -- Room 608 02:06, 28. Aug. 2011 (CEST)

Überarbeiten: Abschnitt acta eruditorum

Dieser Abschnitt enthält keinen einzigen Wiki-Link, ist nicht unterteilt und sieht einfach nur grauenvoll aus. Wenn ich das richtig sehe, ist das komplett zitiert aus der Arbeit im ersten Link. Erstens muss hier das Urheberrecht beachtet werden, da dies für ein Zitat zu lang ist, zweitens sollte es als solches besser gekennzeichnet sein. Allgemein hat dies aber in einem Wikipedia-Artikel nichts zu suchen, sondern gehört nach Wikisource. Dieser Abschnitt darf über Leibnitz' Arbeit zusammenfassen, aber copy&paste ist hier fehl am Platz. Siehe WP:WWNI Punkt 7.1.

Also bitte das Zitat entfernen (so schnell wie möglich, das macht den Artikel schlecht) und jemand, der sich damit auskennt bitte zusammenfassen bzw. historisch Wertvolles schreiben. Ähnliches gilt wohl für die Notiz von Newton. --ThE cRaCkEr 18:28, 31. Jul. 2011 (CEST)

Suhrkamp habe ich angeschrieben, die hatten nicht geantwortet, das andere Zitat ist legitimiert, siehe oben. Es geht auch nur um die Übersetzung, da es im Original lateinisch ist. Vielleicht kann man Leibniz Arbumentation einfach zusammenfassen und einige seiner Formeln bringen, da diese ja nicht übersetzt sind. Das Original ist ja über die Links zu erreichen, aber eben in Latein. Ich habe es auch nur zitiert, weil es seinerzeit schlecht im Web verfügbar war, ich habe nicht kontrolliert, wie es jetzt ist. -- Room 608 22:10, 31. Jul. 2011 (CEST)

Ach so falsch, unter 9. steht die Erlaubnis aus dem Deutsch Verlag. Suhrkamp ist die Pascalstelle. -- Room 608 22:16, 31. Jul. 2011 (CEST)

Dass du die Erlaubnis zum Abschreiben erwirkt hast und es übersetzt hast, ist sehr gut, jedoch finde ich, dass dieser Artikel klar die falsche Stelle ist. Kannst du es nicht nach Wikisource verschieben, das Wichtigste zusammenfassen und dann auf Wikisource verlinken? Ich kenne so lange Zitate von keinem anderen Mathe-Wiki-Artikel (noch nicht mal einem nicht-Mathe-Artikel). Grüße, -- ThE cRaCkEr 23:50, 31. Jul. 2011 (CEST)

Ich habe ein wenig übertrieben, weil das Thema im Deutschen ein wenig singulär ist, in den anderen Sprachen marginal, und ausserdem ist es seit den 1930 ein überwiegend historisches Thema, da die Notation meist anders erfolgt. -- Room 608 03:00, 1. Aug. 2011 (CEST)

Wer will kann es ja zusammenfassen. Leibniz spricht primär von Verhältnissen, und dann von einzelnen Differentialen, von dem Grenzwert eines Quotienten spricht er nicht. -- Room 608 02:25, 4. Aug. 2011 (CEST)

Es ist sehr löblich, dass Du Dich, um eine Genehmigung für den Abschnitt gekümmert hast, aber so wie ich das sehe, müsste diese Genehmigung direkt an Wikipedia geschickt werden, damit der Abschnitt hier behalten werden kann. Aber mal abgesehen davon hilft der Abschnitt dem Leser des Artikels auch nicht weiter. Ich werde daher auch diesen Abschnitt entfernen. --Christian1985 (Diskussion) 14:05, 30. Mär. 2012 (CEST)

Woher willst Du wissen, ob Du mich loben kannst? Kannst Du den gelöschten Absatz zusammenfassen und kurz erläutern? Jetzt fehlt jedes Zitat zu diesem bahnbrechenden Artikel von Leibniz. -- Room 608 (Diskussion) 01:22, 31. Mär. 2012 (CEST)

Dass der Abschnitt für ein Zitat viel zu lang war, wurde ja schon auf dieser Diskussionsseite gesagt. Gegen ein Zitat an sich ist auch nichts einzuwenden, sofern es passt. Aber eine Veröffentlichung zu der Harro Heuser in Analysis 2 schreibt: "Die kurze Arbeit war so dunkel und dazu noch so sehr durch Druckfehler entstellt, daß selbst die Bernoullis meinten, sie sei eher ein Ratsel als eine Erklarung." hilft unserem Leser hier sicherlich nicht weiter. --Christian1985 (Diskussion) 10:12, 31. Mär. 2012 (CEST)

Ich war schon vor einem halben Jahr der Meinung, dass der ganze Abschnitt so nicht drinnen bleiben kann, habe ihn aber noch gelassen, damit man es zusammenfassen kann. Da du, Room 608, dies aber nicht gemacht hast und sich auch kein anderer gefunden hat, musst du nunmal damit leben. Man kann nur seine Beiträge in Wikipedia verteidigen, wenn man auch gewillt ist sie zu ändern. Der ganze Abschnitt entsprach aber keineswegs den Qualitätskriterien von Wikipedia und es ist gut, dass er herausgeflogen ist. Zumal ja das Urheberrecht nicht geklärt war. Klarer Fall also. --ThE cRaCkEr (Diskussion) 19:44, 31. Mär. 2012 (CEST)

Der Harro Heuser erwähnt in dem zirka 800 Seiten Buch 2(!), das nur dem Verlag guttut, das Differential nur ganz kurz, und wie alle modernen Bücher ungern, und zwar als vom Differentialquotienten abhängigen Bestandteil. Hintenherum quasi, bei der Ableitung käme das Differential raus. Ja ein Quotient aus abhängigem und unabhängigem Differential, aber so darf man das heute nicht sehen, man wüsste damit auch nichts anzufangen. Er ist ein korrekter Pedant. Die Entwicklung das Differential nicht mehr zu erwähnen begann in der Lehrbuchliteratur in Deutschland in den 1930ern mit Knopp Mangoldt (das ist eine Wiederholung meinerseits). Die anderen Länder bedienten sich eh schon dessen weniger. Jedenfalls bildet Leibniz ein Differential und keinen Differentialquotienten, und wie er das macht, ist mit Heuser dann schwierig nachzuvollziehen, und die gesamte physikalische Literatur bedient sich des Differentials, um damit vollständige Differentiale zu bilden und zur Theoriebildung zu integieren. Ich werde den Absatz bei etwas Musze, noch mal überlesen und den Grundgedanken herausarbeiten. So lange in der Wikipedia stumpf abgeschireben wird, muss der Notationskasten und die Regeln ausreichen. -- Room 608 (Diskussion) 02:38, 7. Apr. 2012 (CEST)

"Neue" Definition

Also das steht jetzt wieder doppelt da, es ist nämlich die zweite Überlegung, und was unten bei Cauchy steht, nur in einem Absatz. -- Room 608 (Diskussion) 15:54, 12. Nov. 2012 (CET)

Ja, den Überlegungenabschnitt werde ich demnächst noch anpasssen. Bei Cauchy müsste mal halt noch einordnen, inwiefern sein Ansatz mit der Definition übereinstimmt oder nicht (er scheint ja auch noch "unendlich kleine Größen" zu verwenden), da kenne ich mich nicht aus. Aber immerhin haben wir jetzt einen durch Literatur mit Einzelnachweisen belegten Definitionsabschnitt. -- HilberTraum (Diskussion) 16:03, 12. Nov. 2012 (CET)

Cauchys Differentiale sind endlich, die Differenzen sind "unendlichklein". Sie gehen daher in die Formeln für die Grenzübergänge ein und nicht in die Differentialrechnung. Cauchy nimmt insofern eine Sonderstellung ein, als er nicht verstanden wurde. Er taucht mit "Fehlern" in der modernen Literatur auf, die er nicht gemacht hat. Ich denke er gehört hierher, weil er als erster im Gegensatz zu den Vorgängern präzise war, wenn auch anders als man heute herauslesen will. Was Weierstrass genau gemacht hat, weiss ich nicht, jedenfalls dürfte auch er nicht hundertprozentig kompatibel zur modernen Literatur sein, dazu braucht man Cantors Mengen, oder Mannigfaltigkeiten, da lass ich mich als Autor nicht drauf ein, weil man dann schnell mit Logikern zu tun kriegt. Cauchy stimmt mit der Definition überein. --Room 608 (Diskussion) 17:39, 12. Nov. 2012 (CET)

Das Differential in der Mathematik wird nicht verstanden

Weder aus dem Artikel noch aus der Diskussion geht hervor, dass das Differential in der Mathematik verstanden wird. Leider kann man die entscheidende Formel nicht aus Word in die Wikipedia kopieren. Man muss sich also mit der verbalen Beschreibung des Sachverhalts zufrieden geben . Das Differential ist der Grenzwert des Verhältnisses von Delta y zu Delta x bei Delta x gegen Null. Man erhält dann das Verhältnis von dy zu dx. Hierbei wird meistens nicht verstanden, dass das d gegenüber dem Delta eine neue Qualität ist. Die Physiker betrachten das d immer als sehr, sehr kleines Delta, was grundsätzlich falsch ist, denn es werden Äpfel und Birnen aufaddiert. Diejenigen, die das Differential nicht verstehen, sollten es unterlassen, sich mit der Physik zu befassen. Meissner. (nicht signierter Beitrag von 90.187.139.249 (Diskussion) 19:17, 30. Okt. 2013 (CET))

Die Verhältnisse des Grenzübergangs sind auf die Differentiale übertragen worden. Dabei gibt es ein festes endliches unabhängiges, wie zum Beispiel dx. (Dann können andere 9 Meter lang sein. ;-) -- Room 608 (Diskussion) 14:58, 31. Okt. 2013 (CET)

@90.187.139.249: Ich denke, du verwechselst "Differential" und "Differentialquotient". Was du beschreibt ist Letzteres, also ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$. Wenn man mit Differentialen rechnet (in welchem Zusammenhang und auf welchem Niveau auch immer), will man auch dy und dx alleine einen Sinn geben. -- HilberTraum (Diskussion) 20:17, 31. Okt. 2013 (CET)

Es geht darum, dass es das Differential einzeln nicht gibt. Wenn in einer Gleichung irgendwo dy auftaucht, dann muss es auch ein dx geben, sonst ist die Gleichung falsch. Meissner (nicht signierter Beitrag von 90.186.5.53 (Diskussion) 21:57, 31. Okt. 2013 (CET))

Wenn ein Begriff oder auch nur eine Schreibweise nützlich ist, und sei es nur in gewissen Situationen, dann gibt es in der Mathematik kein "Gibt es nicht". Dann wird solange definiert, axiomatisiert und abstrahiert, bis es das Objekt (hier das Differential) wirklich "gibt" ;-) -- HilberTraum (Diskussion) 22:58, 31. Okt. 2013 (CET)

Bei Deinem Grenzwertübergang gibt es eine Einheit 1 auf die das Verhältnis bezogen wird. dx ist diese 1. Oder dx = h (konstant). Siehe Absatz Cauchy. -- Room 608 (Diskussion) 00:13, 1. Nov. 2013 (CET)

dy und dx bilden definitionsgemäß eine unzertrennliche dialektische Einheit. Alles andere ist Spinnerei. Wenn weiterer Diskussionsbedarf besteht, bitte rolandmeissner@gmx.de anschreiben. Meissner. (nicht signierter Beitrag von 90.186.166.144 (Diskussion) 12:36, 2. Nov. 2013 (CET))

Da hast Dus. Du redest von Einheit. Unendlich oder unendlichklein haben keine Einheit. Ich würde nicht sagen, sie bilden eine unzertrennliche Einheit, aber schliesslich muss das Verhältnis zu einem unabhängigen Differential aufgesucht werden, dann verschwinden sie. Beim Integral wäre diese "Einheit" auch wieder eine Summe, kein Quotient. -- Room 608 (Diskussion) 13:25, 2. Nov. 2013 (CET)

Das Differential wird immer noch nicht verstanden. Wie schon erwähnt, besteht zwischen Summe und Integral kein quantitativer Unterschied sondern ein qualitativer. Die Summe ist immer endlich und wird mit einem großen Sigma gekennzeichnet. Das Intergral wird durch ein langgezogenes s dargestellt. Wenn auf der einen Seite der Gleichung Integral f(x)dx steht, muss auf der anderen Seite der Gleichung Integral dy stehen, sonst ist das keine Mathematik. Das verlangt das duale Prinzip (Dialektik). Mit dem dualen Prinzip ist man in der Mathematik immer sehr lässig umgegangen. Deshalb habe ich das duale Prinzip schlüssig an Hand der Symmetrie von Kreis und Hyperbel bereits in 2001 (ISBN: 3-8265-9065-1, s.a. ISBN: 978-3-656-38664-3)in die Mathematik eingeführt. Das Buch fand aber keine Beachtung, wie aus dem Artikel und der Diskussion hervorgeht. Das duale Prinzip zieht sich durch die ganze Welt und sollte auch von der Mathematik beachtet werden. Meissner (nicht signierter Beitrag von 90.187.72.44 (Diskussion) 17:34, 1. Jan. 2014 (CET))

Man sollte vielleicht noch dz mit dazunehmen wegen der Trinität. -- HilberTraum (Diskussion) 19:24, 1. Jan. 2014 (CET)

Das sind interessante Themen. Ich habe auch gelernt, dass man Hegel beachten sollte. Sonst stell es verständlich da! Ich habe eine Abneigung, mehr zu sagen, als wie man mit den Dingern rechnet, weil das keine Klarheit schafft oder weiterbringt. In der Mathematik wird über Unendlich nichts gesagt, sondern über Ausdrücke in denen es vorkommt. Die Rezeption Deiner Bücher ist nicht Aufgabe hier. Bei dem Beispiel kann dy alleine stehen, dann ist f(x) eine abgeleitete Funktion. Die Fälle in denen Summe und Integral quantitativ übereinstimmen sind selten und zufällig, ich denke an Obersumme, etc. Braucht man nicht Fantasie, wenn Integrale neue Funktionen hervorbringen? Schliesslich will ich das Differential nicht verstehen, sondern vergessen, wenn ich damit gerechnet habe. -- Room 608 (Diskussion) 22:51, 1. Jan. 2014 (CET)

Lagrange

Vielleicht sollte man erwähnen, dass L~ in der Schule verwendet wird. Wenn dies nur in NRW oder je nach Buch der Fall ist bitte ich um Berichtigung. --109.91.84.30 02:34, 4. Apr. 2014 (CEST)

Wofür wird L~ verwendet? Ich kenne die Notation aus meiner Schulzeit nicht. Grüße--Christian1985 (Disk) 07:31, 4. Apr. 2014 (CEST)

Ich weiss nicht, was wo verwendet wird, in Bayern wars Lagrange (steht unten im Artikel), hat sich wohl in der Nachkriegszeit so entwickelt, vorher schreiben sie alle wie Leibniz. Ich hab auch die Referenzen nicht da. In Berlin anscheinend auch.-- Room 608 (Diskussion) 16:44, 4. Apr. 2014 (CEST)

Beispiel: Mathematische Physik — Fehler?

Im Beispiel heißt es

$2{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d^{2}} x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d^{2}} x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d^{2}} x}{\mathrm {d} t^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\mathrm {d} \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}$

und daraus folgt:

${\frac {1}{2}}m\cdot \mathrm {d} \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=F(x)\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

Meinem bescheidenen Verständnis nach scheint hier ein Fehler zu sein, denn es ist jeweils auf einer Seite der Gleichungen eine differenzielle Größe, auf der anderen aber ein Quotient von differenziellen Größen, was eine nicht-differenzielle Größe ergibt. Meinem Verständnis nach sollten die Gleichungen wie folgt lauten:

$2{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d^{2}} x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d^{2}} x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d^{2}} x}{\mathrm {d} t^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}$

und

${\frac {1}{2}}m\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=F(x)\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

Dann kann man integrieren und erhält die genannte Integralgleichung.

Ist das so korrekt? --Sharraz (Diskussion) 18:05, 15. Okt. 2014 (CEST)

Oben steht anders geschrieben 2 v dv = d(vv). Und Du kannst nur das eine für das andere einsetzten, ein 1/dt wäre hinzugefügt. Ersetzungen gingen nur über die Abhängigkeit ds = (ds /dt) dt, was nicht weiterhilft. Die Integration hat mir dann auch einges Kopfzerbrechen bereitet, aber sie steht bei den Klassikern so. Der Witz ist ja, dass im Ergebnis v(t)² vorkommt, also das v² wirklich die Integrationskonstante war, und deswegen auch weiterhin von t abhängt. t bestimmt im Integral nur die Anfangs- und Endwerte von v, aber nicht deren zeitlichen Verlauf als Funktion, wie wenn man Eins integriert. Dem entspricht auch, dass man bei Energiebetrachtungen, einen Bahnverlauf oft nicht kennt. -- Room 608 (Diskussion) 19:33, 15. Okt. 2014 (CEST)

Ich denke Sharraz hat recht. Im Vergleich mit der üblichen Schreibweise ${\dot {x}}$, ${\ddot {x}}$ sieht man, dass $\mathrm {d} t$ im Nenner fehlen. Zur Probe kann man sich auch mal die Einheiten der ersten Gleichung anschauen, auf der linken Seite komme ich da auf m²/s³, aber auf der rechten auf m²/s². -- HilberTraum (d, m) 20:56, 16. Okt. 2014 (CEST)

Auf der rechten Seite steht ein Differential eines Produktes, also Regeln einhalten: d(vv) = v dv + dv v , also stimmen die Einheiten. Oder

$d{\dot {x}}^{2}=2{\dot {x}}{\ddot {x}}$

-- Room 608 (Diskussion) 22:16, 16. Okt. 2014 (CEST)

Vielleicht ist es falsch geklammert. d(v²) oder dv², jedenfalls ist nicht dvdv gemeint. -- Room 608 (Diskussion) 22:23, 16. Okt. 2014 (CEST)

Ja eben: v² hat die Einheit m²/s² und ein Differential einer Größe hat (als Zuwachs) die gleiche Einheit wie die Größe selbst, also steht rechts m²/s² und links m²/s³. Rechts fehlt ein dt im Nenner. Es gilt $d{\dot {x}}^{2}=2{\dot {x}}\,d{\dot {x}}=2{\dot {x}}\,{\ddot {x}}\,dt$. -- HilberTraum (d, m) 22:55, 16. Okt. 2014 (CEST)

Nun das sind ja mal zwei Schreibweisen, die nicht zueinander passen: $d{\dot {x}}=d{\frac {dx}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$, wo kommt das dt her? Hat nicht die Ableitung der Geschwindigkeit, die Einheit einer Beschleunigung? -- Room 608 (Diskussion) 03:54, 17. Okt. 2014 (CEST)

Nein, Ihr habt recht. Schlamperei meinerseits. Das dt gehört rübermultipliziert und dann wird alles klarer, einfacher und kürzer. Dankeschön. Bitte das geänderte Beispiel nochmal begutachten. Seltsame Klammern. -- Room 608 (Diskussion) 04:30, 17. Okt. 2014 (CEST)

Trotzdem schönes Beispiel und vielleicht hab sogar ich es jetzt verstanden. -- Room 608 (Diskussion) 04:34, 17. Okt. 2014 (CEST)

Einleitung

Bin zufällig hier gelandet.

Der erste Satz bezieht sich auf die Historie. "Ein Differential (oder Differenzial) bezeichnet in der Analysis den linearen Anteil des Zuwachses einer Variablen oder einer Funktion." Du schreibst selber: "Eine rigorose Definition liefert die Differentialgeometrie, wo Differentiale als exakte 1-Formen interpretiert werden." Dies gilt nur für Differentiale von Funktionen deren 2. Ableitung existieren und mindestens (n-1) davon sogar stetig sind. Also präzise bleiben.

Du schreibst weiter: "Differentiale werden heute in verschiedenen Anwendungen in unterschiedlicher Bedeutung und auch mit unterschiedlicher mathematischer Strenge verwendet." Wie sich jemand ein Differential vorstellt ist mir wurscht. Wen wir erreichen wollen, dass gute athematik betrieben wird, müssen gewisse Standards eingehalten werden. Und das bedeutet, das Differential muss eindeutig definiert werden. Möglicherweise aus der Differentialgeometrie übernehmen. Wenn x_i die Projektion auf die i-te Koordinate bezeichnet, so ist dies eine lineare Abbildung. Die Ableitung reproduziert sich. (x_i)'(a_1,...,a_n) = x_i. Differentiale messen auf den Tangentialräumen. Als dx_i misst (manchmal mit Gewichtung) die i-te Komponente. Bitte nicht auf das totale Differential verweisen, da dort ein Zirkelschluss steht. Das ist ein totales Differential, weil es ein totales Differential ist.

"Differentiale werden heute in verschiedenen Anwendungen in unterschiedlicher Bedeutung und auch mit unterschiedlicher mathematischer Strenge verwendet." würde ich konvertieren zu: "Differentiale sollten heute in den verschiedenen Anwendungen in ihren unterschiedlichen Bedeutungen trotzdem mit der nötigen mathematischer Strenge verwendet werden." Also "bis auf Isomorphie" z. B. Eine Ableitung kann ich als Vektor oder als eine lineare Abbildung "interpretieren".

Also versucht 'mal den Abschnitt etwas besser in dem Sinne zu formulieren, dass entweder am Anfang die reine Historie steht und dann die Präzisierung oder umgekehrt. Ich neige dazu, zuerst die Historie zu formulieren. (nicht signierter Beitrag von 77.8.255.147 (Diskussion) 17:10, 2. Jun. 2015 (CEST))

Och, dabei hatte ich mir damals bei der Überarbeitung der Einleitung soo Mühe gegeben.

Zunächst einmal: Die Aufgabe der Einleitung ist es, den Artikelinhalt zusammenzufassen; Definitionen gehören nicht in die Einleitung, sondern in einen eigenen Abschnitt. Was gar nicht geht, wäre „Differentiale sollten heute …“: In einer Enzyklopädie beschreiben wir, was gemacht wird, und nicht, was gemacht werden sollte.

Außerdem hatte ich das Thema des Artikels so aufgefasst, das eigentlich nur Differentiale von reellen Funktionen einer Variablen behandelt werden und der Fall von mehreren Variablen höchstens als Verallgemeinerung.

Aus Interesse: Wieso sollte man zweimal (stetig) differenzierbar brauchen? Für die zu einer Funktion (0-Form) gehörige exakte 1-Form genügt doch erst mal nur die Differenzierbarkeit. Grüße -- HilberTraum (d, m) 21:13, 3. Jun. 2015 (CEST)

Ich denke auch nicht, dass der Artikel übermäßig auf Differentialformen eingehen sollte. Dazu gibt es einen eigenen Artikel. --Christian1985 (Disk) 21:24, 3. Jun. 2015 (CEST)

Mathematik für Dummies

Reihenanalysis allgemein meint, wiederholende Muster aus + - * / ^oder Wünschdirwas, derart aufeinander abzubilden dass sie sich auf faule Weise berechnen lassen, damit wird infinites Agieren ermöglicht, dieses Vorgehen des Bekannten Muster(Gedächtnisleistung/Erfahrung, unentwickelte Weitergabetradition) ist dafür nicht wegzudenken. (Geheimlehrenmethodik verquaste nichtreduktive Weitergabe/Kantmathematik, Ernst Mach sich im Grab umdreht.)

Damit wird die Erfüllbarkeit der strengen Berechenbarkeit der Ableitungsreihen auch schon stark eingegrenzt.

Grundbausteine dieser Reihen sind Ableitungen und diese sind immer nur Näherungen, sehr grobe Schätzwerte, die nur im Reihenverfahren eine Fehlerkorrektur erfahren und nur darin Zulässigkeit erfahren.

Das ist wichtig einzuleiten, damit das intuitive erkannte nicht (endlich)berechenbare der Funktion als Lösungsmethode ausgeklammert wird, 0,99¯ != 1 innerhalb der endlichen Schranke.

Es die Periode ist also Unabzählbar=1; Abzählbar!=1.

Sagt uns was? Es spricht ein amerikanischer Konstruktivist? -- Room 608 (Diskussion) 03:10, 18. Sep. 2017 (CEST)

Differential = Steigung?

Die Frage mag dämlich sein, aber verstehe ich es richtig, dass das Differential einer Funktion $f(x)$ an der Stelle $x$ nichts weiter ist als die Steigung des zugehörigen Graphen an der Stelle $x$? Oder wie ist der "lineare Anteil des Zuwachses einer Variablen oder einer Funktion" aus dem ersten Teil der Einleitung zu verstehen? Und dass es eine zweite Bedeutung als "unendlich kleiner Schritt" auf einer Koordinatenachse hat, wie z.B. hinten beim Integral?

Und noch eine Frage: in meinem Lehrbuch für physikalische Chemie lese ich:

"Im Gegensatz zur Inneren Energie ist weder die Arbeit $W$ noch die Wärmemenge $Q$ eine Zustandsfunkion. [...] Diesen Unterschied von $U$ einerseits und $W$ und $Q$ andererseits drücken wir in der infinitesimalen Schreibweise dadurch aus, dass wir für die Zustandsfunktion $U$, die als totales Differential dargestellt werden kann, das Differentialzeichen $\mathrm {d}$, für die Arbeit und die Wärmemenge, dfür die das nicht möglich ist, das Zeichen $\delta$ benutzen." (G. Wedler, H.-J. Freund: Lehr- und Arbeitsbuch Physikalische Chemie. Siebte überarbeitete Auflage, WILEY-VCH 2018)

Ich dachte, als verwirrter Laie frage ich erstmal lieber, bevor ich diese Verwendung des delta-D's in den Artikel nachtrage...

--Lesendes Okapi (Diskussion) 20:57, 5. Jan. 2019 (CET)

Die Sache mit $\mathrm {d} U$ und $\delta Q$ ist ein bisschen komplizierter. Vielleicht ist der Artikel Totales Differential hilfreich. Ganz grob gesprochen ist $\mathrm {d} U$ das Differential der Funktion $U$, aber $\delta Q$ ist zwar ein Differential, aber nicht das Differential einer Funktion. Diesen Unterschied gibt es nur deshalb, weil man es hier mit Funktionen mehrer Variablen zu tun hat. Bei nur einer Variablen ist jedes Differential ein Differential einer Funktion. Die Schreibweise mit dem $\delta$ ist typisch für die Thermodynamik. In der Mathematik wird sie üblicherweise nicht verwendet. Stattdessen verwendet man von vornherein andere, einzelne Buchstaben, die gar nicht erst suggerieren, dass es sich um das Differential einer Funktion handeln könnte. --Digamma (Diskussion) 21:32, 5. Jan. 2019 (CET)

fuer das $\delta Q$, siehe inexaktes Differential. Ich habe das auch entsprechend in den Artikeln verlinkt. biggerj1 (Diskussion) 13:09, 30. Jan. 2019 (CET)

Definition

Die Definition stimmt natürlich nicht.

$\mathrm {d} f(x):=f'(x)\cdot h$???

Zum Beispiel:

$h=1$

$\mathrm {d} f(x):=f'(x)\cdot h=f'(x)$

$h=2$

$\mathrm {d} f(x):=f'(x)\cdot 2=2f'(x)$

Also

$1=2$

Es soll heißen:

$\mathrm {(} df(x))(h):=f'(x)\cdot h$

worin $\mathrm {d} f(x)$ eine einfache lineare Funktion vorstellt. Madyno (Diskussion) 23:35, 7. Jul. 2020 (CEST)

Meint das nicht: zum Argumentzuwachs h  ?

Also wie das Koordinatensystem genau gedreht ist, steht da nicht. -- Room 608 (Diskussion) 01:45, 25. Jul. 2020 (CEST)

Einleitung

"Ein Differential [...] beschreibt einen unendlich kleinen Abschnitt auf der Achse eines Koordinatensystems."

Wieso die x-Achse hier ins Spiel gebracht wird, ist mir unklar. Was ist denn mit den Differentialen $\mathrm {d\varphi }$ für einen infinitesimalen Winkel und $\mathrm {d} V$ für ein Volumenelement? Sind das auch "Abschnitte auf der x-Achse" oder ist es sinnvoll, sie als solche anzusehen? --Mathze (Diskussion) 23:21, 29. Dez. 2022 (CET)

Differentiale in der Integralrechnung

Ich habe Schwierigkeiten, dem Vorgehen in diesem Abschnitt zu fogen. Zunächst wird von Rechtecken mit (endlicher) Breite $\Delta x$ ausgegangen, deren Flächeninhalt das Produkt $f(x)\cdot \Delta x$ ist. Dann kommt der Übergang zum Integral $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$, wobei allerdings geleugnet wird, dass es sich um ein Integral handelt ("wobei hier $\mathrm {d} x$ wieder eine endliche Größe ist"). Danach wird noch der Mittelwertsatz der Integralrechnung ins Feld geführt. Der Text danach erscheint mir zusammenhangslos und wirr. Ein bisschen so, als hätte sich hier jemand mit rudimentärem Wissen gedanklich ausgetobt zu dem Thema, wobei die Gedanken noch nicht ganz sortiert waren. Es mündet mit dem Satz "das Integral ist eine Definiton für eine Fläche." Eine Fläche ist jedoch eine Punktmenge, und "das" Integral ein Maß für deren Flächeninhalt. Meines Erachtens müsste der ganze Abschnitt komplett überarbeitet werden. Dazu müsste man jedoch wissen, was der Abschnitt einem mitteilen möchte. --Mathze (Diskussion) 23:36, 29. Dez. 2022 (CET)

Diagramm im Abschnitt "Das Differential als linearisierter Zuwachs"

In der ersten Figur (Abschnitt "Das Differential als linearisierter Zuwachs") sollte das "d" in "dx" und "dy" nicht kursiv gesetzt sein. --84.73.217.91 08:46, 16. Feb. 2023 (CET)

Differentiale als Rechenhilfe

"was streng genommen nicht zulässig ist". Der alte Streit und Quatsch. Differentiale sind endlich und können wie Variablen behandelt werden, sie dürfen nur in der Endgleichung nicht vorkommen, wie ein unaufgelöster Grenzwert auch nicht (lim). Das muss besser formuliert werden, und nicht so, als ob da Quatsch rauskäme. -- Room 608 (Diskussion) 23:55, 26. Mai 2024 (CEST)

Und dann steht gleich dahinter . " Aber auch in der Mathematik liefert diese Methode oft die Vorlage für exakte Beweise". Was denn jetzt exakt oder nicht. Natürlich exakt. --Room 608 (Diskussion) 23:57, 26. Mai 2024 (CEST)