Diskussion:Topologie (Mathematik)

Verständlichkeit

Ich bezweifle, dass folgendes intuitiv verständlich ist:

Es ist trotzdem nicht möglich, zwei Element mit einer Kurve (die ganz in $\mathbb {Q}$ verläuft) zu verbinden.

Ebenso würde man intuitiv wohl sagen, dass 3 nahe bei 4 liegt (da es ja Nachbarn sind), nicht weit davon entfernt.

Heizer 10:30, 2. Aug 2003 (CEST)

"Andererseits ist man oft nicht an dem konkreten Abstand definiert"

ist man nicht interessiert und ist der Abstand nicht definiert? Kleiner Rechtschreibfehler wohl.

Homöomorphie über "Dehnen, Stauchen, Verzerren, ..." zu erklären (hier auch untermalt durch ein Bild, welches den zeitlichen Ablauf andeutet), ist immer wieder beliebt, aber eigentlich falsch. Dies definiert eher den Begriff der Homotopie.

Beispielsweise läßt sich im dreidimensionalen Anschauungsraum ein geschlossener Kreis nicht in eine verknotete geschlossene Linie deformieren, sie sind aber wohl zueinander homöomorph. Das Problem entsteht dadurch, daß wir dei der Deformierung den einbettenden Raum mitbetrachten. Und natürlich gibt es leider nichts so schön anschauliches für die "richtige" Definition der Homöomorphie.

Im Artikel steht neben Dehnen, Stauchen, Verzerren ja (jetzt?) noch Auseinanderschneiden und an dort wieder zusammenfügen .. das is wohl richtiger Vermute ich? Ist damit die Anschauung richtig? Hab Topologie noch nicht soweit verstanden um das zu beurteilen .. aber dann könnte man ja hier den Diskussionseintrag entfernen, verwirrt nur :) --Self 18:55, 9. Mär 2006 (CET)

Wer kann im Artikel anhand von ein paar lebenspraktischen Beispielen erklären, worum es hier geht?

Hierher gekommen bin ich von Geodaten#Topologie.

Als Nicht-Mathematiker verstehe ich die Einleitung nicht. Ausser der Henkeltasse und dem Donut gibt es kein Beispiel. Hilfreich wären Alltagsbeispiele - also Beispiele, in denen anhand von Situationen aus dem Alltag beschrieben ist, was man unter Topologie und Topologischer Raum verteht und wie diese funktionieren, also wo und wie Topologie im realen Leben Relevanz hat. Bitte... --Markus (Diskussion) 06:07, 12. Jan. 2015 (CET)

überarbeiten

Ich habe soeben den überarbeiten-Baustein eingefügt. Die Gründe:

• Dem Artikel fehlt eine Definition, was Topologie ist. Auf Topologischer Raum findet sich interessanterweise eine Definition.

• Die Beispiele lassen Freiraum für wahrscheinlich falsch führende Analogien: Zum Beispiel haben eine Kugel und ein Glas dieselbe Topologie; sie sind homöomorph. Ebenso sind ein Torus und eine einhenkelige Tasse homöomorph.. Wenn ich eine Wurst dehne, dann er[h]alte ich irgendwann einen Torus. Sind diese Objekte deswegen auch homöomorph?
• Beispiel: Da es bijektive Abbildungen zwischen $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$ gibt, sind sie als Mengen ununterscheidbar. Ich finde, die beiden Mengen sind unterscheidbar. Die Zahl ${\frac {3}{5}}$ kann man nur in Q finden, nicht in Z. Welche bijektiven Abbildungen sind gemeint?
• Nach der Einleitung kommt eine Begriffsklärung. Sie wäre besser oben aufgehoben.
• Der Artikel kann wikifiziert werden, z.B. für all jene Begriffe, die aus der Topologie standen (beziehungsweise genauere Links genannt werden (z.B statt Stetigkeit Stetigkeit (Topologie)).

Also, es wäre toll, wenn der Artikel Topologie so angepasst werden würde, dass auch Neulinge sich recht exakt etwas darunter vorstellen können. Das Thema Topologie ist recht zentral in der Mathematik, daher fände ich einen gut verständlichen Artikel super (wie wär's, Gunther? ;-). --Abdull 18:13, 8. Jun 2006 (CEST)

Na ja, eigentlich ist der Artikel recht schlecht, er sagt (fast) nichts über die wesentlichen Begriffe, die Geschichte, die Arbeitsgebiete, die wichtigsten Ergebnisse und offenen Fragen, bietet keine ordentliche Literaturauswahl; es ist ein Wunder, daß er so lange Bestand hatte, oder vielleicht doch nicht, denn mir ist es einfach zuviel Arbeit, ihn zu revidieren, und möglicherweise anderen ebenso. Zu dem o. a. Punkten im einzelnen:

• Dem Artikel fehlt eine Definition . . . – Das ist nicht korrekt, der Artikel behandelt Topologie als Teilgebiet der Mathematik, was auch klar gesagt wird. Insofern ist es wenig sinnvoll, dann die Begriffe des topologischen Raumes bzw. der topologische Struktur oder topologischen Kategorie usw. abzuhandeln.
• Sind diese Objekte deswegen auch homöomorph? – Nein, aber das kann man da doch nicht erklären. Der ganze Absatz ist irreführend, er sollte besser entfallen.
• Welche bijektiven Abbildungen sind gemeint? – Abzählung der rationalen Zahlen nach Cantor. Im übrigen gilt hier: »Gut gesagt ist halb gelogen« (Bachmann)
• Nach der Einleitung ... – Nein, wie gesagt, besser wär's sie verschwände.

Humbug 13:06, 10. Jun 2006 (CEST)

Ich habe ihn mal leicht ueberarbeitet und denke, dass der Artikel so OK ist. Nicht toll, sondern sogar noch recht lueckenhaft, aber OK. --P. Birken 11:38, 12. Jul 2006 (CEST)

Ein paar Gedanken finden sich jetzt unter Benutzer:Gunther/Topologie.--Gunther 14:10, 12. Jul 2006 (CEST)

Die Sachen auf der Benutzerseite von Gunter sind schon ganz gut. Zu dem Artikel hier bin ich eher der Meinung von Humbug: schlecht - und mir geht es genauso wie ihm: es wäre mir derzeit zuviel Arbeit.

Wenn schon eine Überschrift 'Exaktere Darstellung' heisst... und was dann kommt, ist von exakt ziemlich weit entfernt; schon der erste Satz ruft bei mir den Einddruck hervor, dass begrifflich (und ich fürchte, auch gedanklich) die ganze Zeit zwischen den Konzepten 'Topologischer Raum' und 'Metrischer Raum' hin- und hergesprungen wird.

Aber das Ganze wirft (für mich) sowieso eine ganz grundlegende Frage auf: auf welchem Level stellt man so ein Gebiet wie die Topologie in einer Enzyklopädie dar? Wir, die wir wissen, was Topologie ist, müssen doch zugeben, dass das ein Gebiet ist, wo man doch 'weit über den Wolken' schwebt. Bleibt man jetzt auf einer Ebene, wo auch Lieschen Müller einen 'Eindruck' bekommt (Die Dame versteht das Beispiel mit Z und Q ganz bestimmt nicht)? Oder soll das ganze niveaumäßig eher ein Nachschlagewerk für Mathematiker sein?

Ich bin noch ganz neu bei Wikipedia - gibt es hier irgendwo schon Diskussionen über solche Themen?

-- Bernd.drahota 14:47, 28. Sep 2006 (CEST)

Zur Gestaltung eines mathematischen Vortrages habe ich mal den Ratschlag gehört: Das erste Drittel für alle, das zweite für die Experten und das dritte für Dich selbst. Texte, die nur der Autor versteht, können wir uns natürlich sparen, aber der Grundgedanke ist derselbe. Es gibt zu diesem Thema WP:OMA, aber wie genau Artikel auszusehen haben, ist unklar. Beispielsweise gab es mehrfach Beschwerden über C*-Algebra, aber meistens genügt ein Satz wie dieser, um zumindest eine Löschung abzuwenden (nicht dass ich mit dem Ergebnis glücklich wäre...).--Gunther 15:08, 28. Sep 2006 (CEST)

die

Das schreckt mich jetzt ganz furchtbar ... Oma-gerecht??? - Also, die Omas, die ich kenne, würden mehrheitlich schon bei den Potenzrechenregeln gedanklich die Grätsche machen...

Im Augenblick bremst das meinen ganz jungen Wunsch, bei Wikipedia mitzumachen, schwer aus. -- Bernd.drahota 20:14, 28. Sep 2006 (CEST)

Ein paar Links zur Beruhigung.--Gunther 20:21, 28. Sep 2006 (CEST)

Oha - diese Leute haben ja topfitte Omas  :-) Hat mich beruhigt - vielen Dank. -- Bernd.drahota 14:34, 30. Sep 2006 (CEST)

Würdest Du über ein mathematisches Theorem auch jedesmal von neuem diskutieren? Die Omaregel ist eines der Grundregeln dieses Enzyklopdädie, eigentlich jeder Enzyklopädie.--löschfix 12:16, 22. Mär. 2010 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Diskussion) 11:27, 29. Jun. 2012 (CEST)

Oh Graus!

Jungs, der Artikel mag ja sachlich richtig sein, didaktisch ist er eine Katastrophe. Der Kern der Topologie ist eigentlich nicht schwer zu begreifen, doch dieser Artikel verhindert das geradezu. Typischer Fall von Deformation professionelle. Wie wäre es mal mit pädagogischem Eros? Rainer Z ... 03:05, 22. Sep. 2008 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 22:18, 13. Nov. 2012 (CET)

Artikel

Bitte mehr auf Fragestellung, Ziel, Ergebnisse ausrichten und bitte die Topologie in ihre Teilgebiete oder ihrre unterschiedlichen Modelle untergliedern. Ich suche die Antwort auf mengentheoretische Topologie, diese wird hier auch angesprochen, aber nicht definiert, oder schlecht zu finden. Wir sind aber eine Enzyklopdädie und das heißt in erster Linie ein Nachschlagewerk. Warum sind gerade Mathematiker beim Schreiben der Enzyklopädie so wenig methodisch?--löschfix 11:58, 22. Mär. 2010 (CET)

Ich habe die Anwendung in der Differentialgeometrie etwas ausgearbeitet. Ich plane noch ein Beispiel für eine PL-Mannigfaltigkeit, die keine diff'bare Mannigfaltigkeit ist einzuführen, sobald ich eines gefunden habe. Darüber hinaus werde ich die Tage mal die englische Seite von "Alexander's horned sphere" ins Deutsche übersetzen. Um die anderen Anwendungen würde ich mich dann auch sukzessive kümmern, allerdings muss ich mich da auch erst mal ein bissl einlesen, kann also etwas dauern. Über Fragen/Kritik/Anregungen wäre ich sehr erfreut! --TobeStar81 (Diskussion) 12:06, 10. Sep. 2012 (CEST)

P.S.: Ich hab grad mal versucht micht etwas über Copyright-Rechte hier innerhalb Wikipedia schlau zu machen, allerdings werd ich aus den gegebenen Hilfe/Info-Seiten da nicht schlau. Wenn ich den englischen Artikel übersetze, kann ich dann auch einfach die Bilder übernehmen oder krieg ich dann eins auf die Finger? Vielleicht weiß das ja jemand von euch... --TobeStar81 (Diskussion) 12:16, 10. Sep. 2012 (CEST)

Hallo TobeStar81! Ich weiß ja nicht recht, in wie fern dieser ausführliche Abschnitt dem Leser beim Verständnis der Rolle der Topologie hilft. Es werden verschiedene Mannigfaltigkeitsbegriffe in Beziehung zueinander gesetzt, ohne dass der Leser versteht, wie die Topologie genau ins Spiel kommt. Wäre ein solcher Abschnitt zu PL-Mannigfaltigkeiten nicht besser unter Differentialgeometrie aufgehoben? Zu einer Formulierung: Die Menge ist echt größer – ist sie das, gibt es mehr Homöomorphieklassen topologischer Mannigfaltigkeiten als Diffeomorphieklassen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten? Dazu reicht ja nicht die Angabe eines Gegenbeispiels, es müssen die Kardinalitäten verglichen werden. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 12:15, 10. Sep. 2012 (CEST)

Hallo Chricho, in meinem Unileben bin ich oft auf das Problem gestoßen, dass Leute nicht wissen, warum man sich mit Topologie beschäftigt. Daher war meine Idee am Beispiel der Mannigfaltigkeiten zu zeigen, dass es sinnvoll ist, mit topologischen Mannigfaltigkeiten (und somit mit Topologie) zu arbeiten, anstatt das man weitere Strukturen annimmt (Vererbung von Theoremen). Ich denke, das passt prinzipiell schon in dieses Thema, ich fürchte aber, es ist nicht einfach, leichte Beispiele für eine sinnvolle Beschäftigung mit Topologie zu finden. Ein weiteres Beispiel wäre vielleicht die Charakterisierung von Flächen... Das "echt größer" ist eher im Sinne von "es gibt topologische Mannigfaltigkeiten, die keine diff'baren Mannigfaltigkeiten sind" zu verstehen, und nicht im Sinne von Kardinalität. Das würde ich dann selbstverständlich noch erläutern... --TobeStar81 (Diskussion) 12:25, 10. Sep. 2012 (CEST)

So, ich habe jetzt mal versucht mein Beispiel zur Anwendung in der Differentialgeometrie zu entschärfen und weniger auf speziellen Mannigfaltigkeiten rumzureiten. Dafür habe ich versucht, den Zweck der Topologie im Vorwort zu den Anwendungen zu verdeutlichen. Zudem habe ich ein zweites Beispiel ergänzt, hoffe das gefällt besser.... --TobeStar81 (Diskussion) 23:36, 10. Sep. 2012 (CEST)

Schonmal besser, wenn man schon bei Differentialgeometrie ist, sollte man erwähnen, dass es in ≤3 Dimensionen auf die differenzierbare Struktur nicht ankommt. Aber ganz überzeugt bin ich noch nicht, insbesondere mit der Darstellung, dass die topologischen Eigenschaften einen Einstieg bieten. In der Differentialgeometrie hat man das in der Tat, dass es diesen rein topologischen Fall gibt. Aber etwa in der Funktionalanalysis geht es die ganze Zeit um das Wechselspiel von topologischer Struktur und Vektorraumstruktur. Letztere ist immer mit dabei, es gibt meist keinen rein topologischen Fall, die Allgemeinheit der Topologie ist aber dennoch nötig. In der (klassischen) deskriptiven Mengenlehre ist es dann wiederum ganz anders, dort befasst man sich ausschließlich mit topologischen Eigenschaften. Motivation ist halt kurz und knapp: Topologie ist recht allgemein. Kannst du vielleicht etwas dazu sagen, welche konkrete Verständnisschwierigkeit du mit der Erläuterung genau angehen möchtest? (wird mir im Moment nicht klar) Lieben Gruß --Chricho ¹ ² ³ 23:51, 10. Sep. 2012 (CEST)

Du machst mich fertig ;) Aber du hast ja Recht, so ganz allgemein kann man das nicht sagen, obwohl das für die Differentialgeometrie wohl ganz gut hinhaut... Habs jetzt noch ein drittes mal gemacht. Den Hinweis hab ich deswegen gegeben, da ich denke, dass Topologie in angewandter Mathematik wirklich keine bedeutende Rolle spielt (ich kenne keinen Numeriker, Kryptologen, Finanzmathematiker oder Optimierer, der Topologie unbedingt hätte hören müssen). Kommt zudem aus nem Interview mit Prof. Lück :) Ich fand es an der Uni immer etwas schwierig zu motivieren, warum Topologie wichtig ist. Zumindest wenn man das erstemal den topologischen Raum in Ana2 eingeführt hat, hat keiner verstanden, was das sollte und in der Tat, kann man in Ana ja auch darauf verzichten. Aber dass man, wenn man sich später die weiterführenden, nicht-angewandten Fächer anhören möchte, sich wirklich mit dem Fach Topologie zwingend beschäftigen muss, hat mir nie einer von den Anfängern geglaubt :) Den Hinweis auf den Strukturwechsel zwischen PL und glatt würde ich hier weglassen, da man da vielleicht noch ein paar mehr Details angeben sollte... Das wäre wohl besser etwas für die Seite differenzierbare Mfkten oder PL Mfkten... --TobeStar81 (Diskussion) 16:26, 11. Sep. 2012 (CEST)

An der Unisersität in Bonn soll im Bereich der VWL noch recht viel Mathematik btrieben werden. Die Finanzmathematik gehört, so viel ich weiß, auch dem Bereich der VWL an. Und soweit ich gehört habe, kann man in fortgeschrittenen Bereichen des VWL-Studiums auch die Topologie gebrauchen. Also anscheinend gibt es sogar in diesem Bereich Überschneidungen, aber wahrscheinlich handelt es sich da auch um Kuriositäten, die erstmal nicht hier in den Artikel gehören.

Ich halte die Ergänzungen zur Differentialgeometrie im Großen und Ganzen für einen Fortschritt. Würde man so ein paar Sätze zu den anderen drei Bereichen noch schreiben, wären wir mit der QS schon ein gutes Stück weiter.

Die angesprochenen Bilder der englischen Wikipedia liegen ja so weit ich das überblicke alle auf Commons und können technisch ohne weiteres auch in der deutschen WP eingebunden werden. In 98% der Fälle gibt es dann auch keine Probleme mit dem Urheberrecht. Die angesprochenen Bildern können auch aus urheberrechtlicher Sicht hier eingebunden werden. Grüße --Christian1985 (Disk) 16:46, 11. Sep. 2012 (CEST)

Hallo Christian1985, bestimmt sind die Übergänge fließend, ganz klar wird man das nicht abgrenzen können, wo Topologie anfängt und wo aufhört. Außerdem, nur weil es bei der theoretischen Mathematik nicht mehr wegzudenken ist, heißt es ja nicht, dass man sich in der angewandten nicht drum kümmern kann :)

Wie gesagt, ich würde mich auch in den nächsten Tagen mal um die anderen Beispiele kümmern (es zumindest versuchen). Ich schau erst mal wieder ein bissl in Bücher rein, ob mir eine gute Idee für ein Beispiel bzw. Erläuterung kommt. Grüße --TobeStar81 (Diskussion) 17:04, 11. Sep. 2012 (CEST)

Bildunterschrift falsch

Entweder korrigieren oder Bild ganz löschen. --I217 09:02, 3. Dez. 2011 (CET)

• Kannst du das bitte erläutern. Nach meiner Ansicht sind alle Phasen des gezeigten Ablaufs homöomorph. -- Peter Steinberg 15:13, 3. Dez. 2011 (CET)

Das, was ein Leser wahrnimmt ist die Animation. Die veranschaulicht aber nicht "homöomorph", auch wenn je zwei Phasen homöomorph sind. --I217 16:47, 3. Dez. 2011 (CET)

• Da hast du recht. Die Animation veranschaulicht eine homöomorphe Abbildung, einen Hömöomorphismus. Das sollte in der Bildunterschrift zum Ausdruck kommen. Vielleicht reicht der Hinweis, dass die Endzustände homöomorph sind? - Ich mach mal einen Vorschlag (kann man ja wieder ändern). -- Peter Steinberg 15:08, 4. Dez. 2011 (CET)

Welcher Punkt auf dem Torus entspricht dem Punkt auf der Innenseite der Tasse in halber Höhe ganz links? --I217 18:29, 4. Dez. 2011 (CET)

Hier eine Möglichkeit: Schau' von oben in die Tasse (mit Perspektive; genaue Parameter aber egal.). Das 2d-Bild, das sich durch diese Projektion ergibt (also u.a. 3 konzentrische Kreise), kann dafür herhalten, die obere Kreisscheibe des Zwischenstadiums "Zylinder mit Henkel" mit Markierungen zu versehen. Diese Markierungen trennen 3 Bereiche voneinander: der, der am Schluss der innere Tassenboden ist, der, der am Schluss die Innenseite der Tasse wird, und der, der am Schluss der obere Trinkrand der Tasse ist. Nun ist das Problem darauf reduziert, z.B. den Punkt auf dem Torus zu finden, der einem Punkt im mittleren Kreisring und auf der Verbindungsgerade vom Mittelpunkt der oberen Kreisscheibe des Zwischenstadiums zu ihrem linkesten Randpunkt, entspricht. --Daniel5Ko 01:25, 5. Dez. 2011 (CET)

Die Frage war nicht, ob eine Abbildung existiert, sondern ob die Animation eine bestimmte veranschaulicht. --I217 06:50, 5. Dez. 2011 (CET)

Sie kann auch viele gleichzeitig veranschaulichen, um die Existenz einer zu belegen. --Daniel5Ko 11:12, 5. Dez. 2011 (CET)

Mach einen Vorschlag für eine Bildunterschrift, die das zum Ausdruck bringt. Ich glaube, dass auch der Roman in en:Homeomorphism nicht verhindern kann, dass beim Leser das falsche Bild Homöomorphismus=Deformation zementiert wird. --I217 11:33, 5. Dez. 2011 (CET)

Das Bild sollte unbedingt bleiben, da es Nichtmathematikern einen verständlichen Einstieg bietet (obwohl es mehr als nur einen Homöomorphismus zeigt, sondern eine Isotopie von der Identität zum Homöomorphismus). Der Rest ist Textwüste, und was ein Homöomorphismus genau ist, können sie immer noch lernen, wenn sie einmal Mathematik studieren.

Wenn man sicher sein will, dass niemand ein falsches Bild von Homöomorphismen bekommt, könnte man die Bildunterschrift z.B. durch den Uraltwitz

"Ein Topologe ist jemand, der eine Kaffeetasse nicht von einem Donut unterscheiden kann. (John L. Kelley: General Topology, 1955)" ([1])

ersetzen. --Momotaro‖♨ 19:34, 7. Dez. 2011 (CET)

Das Bild beschreibt nicht einmal eine bestimmte Isotopie, weil man einzelne Punkte nicht verfolgen kann. Darüberhinaus ist die naheliegende Interpretation, dass in der letzten Phase des Übergangs vom Torus zur Tasse die Deckelfläche nach unten verschoben wird und die Wand aus dem Nichts entsteht (bzw. wenn man es als Vollkörper sieht: der zentrale Zylinder zum Boden komprimiert wird), falsch. Das Bild ist nicht das einzige Problem: QS. --I217 20:02, 7. Dez. 2011 (CET)

Die naheliegende, aber falsche (oder eher: für einen Hinweis auf einen Homöomorphismusexistenzbeweis ungeeignete) Interpretation könnte man viel besser mit einem besseren Bild, als mit einer besseren Bildunterschrift, ausmerzen: Man färbe z.B. einige markante Tassenoberflächenteile ein, und achte natürlich darauf, dass die bei der Verformung nicht enstehen oder verschwinden. Leider ist der der Animation beiliegende POV-Ray-Quelltext nicht für eine entsprechende mal-eben-schnell-Anpassung in diese Richtung geeignet. Man müsste wohl was neues basteln... --Daniel5Ko 21:25, 7. Dez. 2011 (CET)

Einverstanden, in der naheliegenden Interpretation ist es keine Isotopie. Es geht hier um die Innenwand der Tasse, diese Oberfläche entsteht aus dem Nichts, dadurch werden Punkte des oberen Tassenrandes, die vorher nahe an Punkten des Deckels (des späteren Tassengrunds) lagen, von diesen weggerissen; das ist keine stetige Deformation. Mit einem aufgemalten Punktgitter (z.B. so) könnte man das ändern, aber das ist technisch kaum sehr einfach.

Man muss allerdings auch sehen, dass die allermeisten Topologen, wenn sie sich selbst von der Existenz eines Homöomorphismus überzeugen möchten, im Kopf genau diese Animation ablaufen lassen würden - cum grano salis reicht sie dann doch als Beweis. --Momotaro‖♨ 11:11, 8. Dez. 2011 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Diskussion) 11:27, 29. Jun. 2012 (CEST)

Abgeschlossene Menge?

Zitat aus dem Artikel: "Wann immer es Punkte der abgeschlossenen Menge gibt, die beliebig nah an einen anderen Punkt heranreichen (einen Berührpunkt), ist auch dieser Punkt in der abgeschlossenen Menge enthalten." Ich habe das erstmal nicht verstanden und habe mir dann die exakte Definition einer abgeschlossenen Menge angesehen und meiner Meinung nach müsste es eher heißen: "Wann immer es Punkte AUSSERHALB der abgeschlossenen Menge gibt ..., ist auch dieser Punkt NICHT in der abgeschlossenen Menge enthalten". Meiner Meinung nach ist die "Definition" hier im Artikel die einer offenen Menge. Aber ich bin kein Mathematiker. Andere Meinungen? --217.84.222.208 14:32, 19. Jan. 2013 (CET)

Ne, das stimmt schon. Es heißt nicht umsonst abgeschlossene Menge, weil man eben nicht heraus kann durch Bildung von Berührpunkten. Deine Definition wäre die einer offenen Menge. Beispiel:

Im abgeschlossenen Intervall $\left[0,1\right]$ besitzen die Punkte $1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots$ den Berührpunkt $0$ („reichen beliebig nah an die 0 heran“), welcher wiederum im Intervall enthalten ist. Dagegen besitzen die Punkte $-1,-1/2,-1/3,-1/4,-1/5,\ldots$, die alle außerhalb des Intervalls liegen, ebenfalls den Berührpunkt $0$, welcher allerdings drin liegt.

Hast du einen Vorschlag, wie man das leichter verständlich formulieren könnte? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 14:42, 19. Jan. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 08:51, 13. Feb. 2013 (CET)

Zur Animation

Illustriert die Animation tatsächlich, dass Tasse und Torus homöomorph sind? Zwar steht in der Bemerkung: "die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung.", aber das ist meiner Meinung nach irreführend, denn von der "zeitlichen" Stetigkeit solch einer Animation kann man nicht mal auf die Umkehrbarkeit irgendeiner Abbildung schließen, schließlich könnte man ja für einen Kreis eine gleichartige Animation erstellen, die ihn "anschaulich stetig" in einen Punkt überführt. Die Animation illustriert also nicht die Homöomorphie, sondern bloß die Homotopieäquivalenz! Interessanterweise gibt es dieselbe Animation auch im Artikel Homotopie, dort ist sie meiner Meinung nach auch besser aufgehoben. --Letkhfan (Diskussion) 05:56, 9. Feb. 2016 (CET)

Diese Frage wurde ausführlich im Abschnitt darüber Diskussion:Topologie_(Mathematik)#Bildunterschrift_falsch diskutiert.--Christian1985 (Disk) 10:52, 9. Feb. 2016 (CET)

Algebraische Chirurgie?

Aus dem Artikel Andrew Ranicki: "... ist ein britischer Mathematiker auf dem Gebiet der algebraischen Topologie ... Inhaber des Lehrstuhls für Algebraische Chirurgie." Offenbar ist "Algebraische Chirurgie" ein Teilgebiet der Topologie. Könnte man hier oder im Artikel Algebraische Topologie erläutern, was "Algebraische Chirurgie" ist? --Joerg 130 (Diskussion) 18:12, 19. Sep. 2016 (CEST)

Ist für den Artikel hier vielleicht zu speziell. Wir haben ja noch nicht einmal einen Artikel zur Chirurgietheorie, und Algebraische Chirurgie wäre etwas noch spezielleres.--Pugo (Diskussion) 14:47, 25. Nov. 2016 (CET)

Wäre es dann nicht wünschenswert, dass jemand einen solchen Artikel schreibt? --Joerg 130 (Diskussion) 21:39, 25. Nov. 2016 (CET)

Vermutlich schon, ich kann die Relevanz dieses Teilgebiets nicht wirklich einschätzen, weil ich noch nie etwas von Chirurgietheorie gehört habe und ich eigentlich dachte, dass ich zumindest einen ganz groben Überblick über die Topologie besitze. Wie Pugo schon sagte, würde das Thema diesen Artikel hier bestimmt sprengen. Um einen eigenen Artikel dafür zu schreiben braucht es aber einen Experten. Aus eigener Erfahrung kann ich aber sagen, dass es nicht leicht ist, Artikel über mathematische Teilgebiete zu verfassen. Grüße --Christian1985 (Disk) 21:52, 25. Nov. 2016 (CET)

Topologie über abgeschlossene Mengen: Beliebige Indexmenge, endliche Indexmenge vertauscht?

Mir scheint es so, als seien bei der Definition Topologie (über abgeschlossene Mengen) die beliebige Indexmenge mit der endlichen Indexmenge vertauscht (in Analogie zur Topologie über offenen Mengen). Kann das mal jemand überprüfen und ggf. ändern?

2003:75:2C24:6D00:2EB3:36EC:651D:190A 13:50, 19. Feb. 2017 (CET)

Beliebige Schnitte und abzählbare Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind wieder abgeschlossen. Das sollte schon passen, wie es dort steht. -- HilberTraum (d, m) 19:32, 19. Feb. 2017 (CET)

Einige Kritik

1. Wenn gesagt wird, dass eine Topologie üblicherweise über die offenen Mengen definiert wird, warum dann hier über die abgeschlossenen? Was soll das? Immerhin stellen doch die offenen Mengen die Umgebungen, einen anderen Grundbegriff der Topologie.

2. Der Satz:

Homöomorphe Räume unterscheiden sich nicht bezüglich aller topologischen Eigenschaften im engeren Sinne.

besagt, unbefangen gelesen, dass es topologische Eigenschaften gibt, in denen sich homöomorphe Räume unterscheiden. Meines Wissens ist das Gegenteil richtig. Ich habe den Satz darum zunächst einmal geändert zu:

Homöomorphe Räume unterscheiden sich nicht bezüglich topologischer Eigenschaften im engeren Sinne.

Unklar ist mir dabei aber, was der 'engere Sinn' bedeutet. Darf der vielleicht weg?

3. Den Begriff der Stetigkeit nur in der informellen Vorschau und danach mal eben so am Rande auch noch zu erwähnen, kommt mir vor, als würde man den Homomorphiebegriff der Algebra ins Kleingedruckte verschieben. Er ist für die Topologie so fundamental, wie die Linearität bei Vektoräumen. Z.B. ist ein Homöomorphismus nichts anderes als eine in beiden Richtungen stetige Bijektion.

4. Zu schneidende oder zu vereinigende Mengen erst zu indizieren, statt sie direkt in die Hand zu nehmen, ist Unfug, denn damit schafft man eine Zusatzstruktur, die für das zu beschreibende Objekt völlig bedeutungslos ist. Warum nicht die Elemente einer Menge von Mengen schneiden oder vereinigen? Hört sich schlimmer an, als es ausgeschrieben ist. Oder warum nicht einfach sagen: „Der Durchschnitt von endlich vielen ...“, „beliebig vielen ...“? Mathematik wird nicht notwendig besser, wenn sie versucht, ohne Worte auszukommen-- Binse (Diskussion) 02:40, 2. Feb. 2018 (CET).

Einstieg

"Die Topologie (von griechisch τόπος tópos „Ort, Platz, Stelle“ und -logie) ist die Lehre von der Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und damit ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik." Das halte ich für viel zu Einschränkend. Topologie beschäftigt sich nicht notwendig mit "Gebilden", schon gar nicht mit geometrischen, sondern mit Mengen und deren stetigen Abbildungen. Die Anwendung auf Beziehungen von geometrischen Objekten zueinander ist eine Anwendung der Topologie, nicht deren Zweck. Besser hat dies meiner Ansicht nach Bianca Hoegel beschrieben. --Roll.christian (Diskussion) 11:11, 12. Dez. 2023 (CET)