Effektives Potential

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Effektives Potential im Gravitationsfeld

Das effektive Potential V' ist ein Begriff aus der Mechanik, der bei der Behandlung von Zentralkräften, wie der Gravitationskraft bei der Planetenbewegung, nützlich ist. Im effektiven Potential sind die potentielle Energie und die azimutale Bewegungsenergie vereinigt.

Ein Körper der Masse m, der sich in einem Zentralkraftfeld im Abstand r vom Kraftzentrum bewegt, hat eine Gesamtenergie, die sich aus der potentiellen Energie V und der kinetischen Energie E_\mathrm{kin} zusammensetzt. In Polarkoordinaten (r,\varphi) ergibt sich:

\begin{align}
E & = V(r) + E_\mathrm{kin}\\
  & = V(r) + \frac{1}{2}m(r\dot{\varphi})^2 + \frac{1}{2}m \cdot \dot{r}^2
\end{align}

Den azimutalen Anteil \frac{1}{2}m(r \dot{\varphi})^2 der kinetischen Energie kann man durch den Drehimpuls L = m \cdot r^2 \cdot \dot{\varphi} ausdrücken und mit der potentiellen Energie zusammenfassen zum effektiven Potential V':

\begin{alignat}{2}
\Rightarrow E & = V(r) + \frac{1}{2} \frac{L^2}{m \cdot r^2} && + \frac{1}{2}m \cdot \dot{r}^2\\
              & = V'(r)                                      && + \frac{1}{2}m \cdot \dot{r}^2
\end{alignat}

wodurch das effektive Potential definiert ist als:

V'(r) = V(r) + \frac{1}{2} \frac{L^2}{m \cdot r^2}

Den zweiten Term auf der rechten Seite dieser Gleichung bezeichnet man auch als Zentrifugalpotential oder Drehimpulsbarriere.

Da der Drehimpuls L bei einer Zentralkraft konstant ist, hat man nun nur noch mit einer gewöhnlichen Differentialgleichung in der radialen Koordinate r zu lösen. Dies geschieht durch Anwendung der Methode der Trennung der Veränderlichen mit den Bewegungskonstanten E und L als Parametern.

Für E<0 ergeben sich zunächst zwei Schnittpunkte r_\mathrm{min} und r_\mathrm{max} mit der effektiven Potentialkurve, zwischen denen sich der Körper auf seiner Bahn bewegt. Für das Minimum des effektiven Potentials fallen beide Distanzen zusammen und man erhält eine Kreisbahn.