Fox-Derivat

In der Mathematik ist das Fox-Derivat, oder auch Fox-Kalkül, Fox-Ableitung oder Freie Differentialrechnung, ein algebraisches Konstrukt in der Theorie der freien Gruppen. In vielen Punkten hat es Ähnlichkeiten zum Konzept der Ableitungen analytischer Funktionen, doch ein wesentlicher Unterschied ist die Tatsache, dass freie Gruppen im Allgemeinen nicht kommutativ sind im Gegensatz zu den reellen Zahlen. Der Fox-Kalkül wurde von Ralph Fox in den Annalen der Mathematik im Jahr 1953 eingeführt.

Definition

Für eine freie Gruppe $G$ mit neutralem Element $e$ und Generatoren $g_{i}$ ist das Fox-Derivat eine Menge von Abbildungen von der Gruppe $G$ in den Gruppenring $\mathbb {Z} G$. Für jeden Generator $g_{i}$ gibt es eine solche Abbildung ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}$. Sie erfüllt die folgenden Axiome:

• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(g_{j})=\delta _{ij}$, wobei $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta ist
• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(e)=0$
• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(uv)={\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)+u{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(v)$ für Elemente $u$ und $v$ aus $G$.

Die beiden ersten Axiome gelten auch in der gewöhnlichen Differentialrechnung, wohingegen das Dritte eine leichte Abwandlung der Produktregel ist. Man kann zudem aus diesen Axiomen die folgende Regel für das Fox-Derivat inverser Gruppenelemente herleiten:

• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u^{-1})=-u^{-1}{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)$ für ein Element $u$ aus $G$.

Anwendungen

Das Fox-Derivat hat insbesondere Anwendung im Gebiet der Gruppenkohomologie, Knotentheorie und Überlagerungstheorie. Ein konkretes Beispiel des Nutzen des Fox-Derivats in der Topologie ist der Beweis, dass der klassifizierende Raum einer Gruppe mit nur einer Relation, die keine Potenz eines Gruppenelements ist, ein spezieller zweidimensionaler CW-Komplex ist.

Siehe auch

• Gruppenring
• Freie Gruppe
• Ring (Algebra)
• Präsentation einer Gruppe
• Derivation (Mathematik)

Literatur

• Kenneth S. Brown: Cohomology of Groups (= Graduate Texts in Mathematics. Band 87). Springer Verlag, 1972, ISBN 0-387-90688-6. 
• Ralph Fox: Free Differential Calculus, I: Derivation in the Free Group Ring. In: Annals of Mathematics. 57. Jahrgang, Nr. 3, Mai 1953, S. 547–560, doi:10.2307/1969736, JSTOR:1969736. 
• Ralph Fox: Free Differential Calculus, II: The Isomorphism Problem of Groups. In: Annals of Mathematics. 59. Jahrgang, Nr. 2, März 1954, S. 196–210, doi:10.2307/1969686, JSTOR:1969686. 
• Ralph Fox: Free Differential Calculus, III: Subgroups. In: Annals of Mathematics. 64. Jahrgang, Nr. 2, November 1956, S. 407–419, doi:10.2307/1969592, JSTOR:1969592. 
• Kuo-Tsai Chen, Ralph Fox, Roger Lyndon: Free Differential Calculus, IV: The Quotient Groups of the Lower Central Series. In: Annals of Mathematics. 68. Jahrgang, Nr. 1, Juli 1958, S. 81–95, doi:10.2307/1970044, JSTOR:1970044. 
• Ralph Fox: Free Differential Calculus, V: The Alexander Matrices Re-Examined. In: Annals of Mathematics. 71. Jahrgang, Nr. 3, Mai 1960, S. 408–422, doi:10.2307/1969936, JSTOR:1969936.