Gaußsche Summe

Die Gaußsche Summe, Gaußsumme oder Gauß-Summe (nicht zu verwechseln mit der gaußschen Summenformel) ist ein bestimmter Typ einer endlichen Summe von Einheitswurzeln, typischerweise

$G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum _{r}\chi (r)\cdot \psi (r)$

Dabei geht die Summe über die Elemente $r$ eines endlichen kommutativen Rings $R$, $\psi$ ist ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppe $R^{+}$ in den Einheitskreis und $\chi$ ist ein Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppe $R^{\times }$ in den Einheitskreis, fortgesetzt (durch den Wert 0) auf Nichteinheiten. Solche Summen sind in der Zahlentheorie allgegenwärtig. Sie finden z. B. Verwendung bei den funktionalen Gleichungen der Dirichletschen L-Funktion, wo für einen Dirichlet-Charakter $\chi$ die Gleichung in der Beziehung zwischen $L(s,\chi )$ und $L(1-s,\chi ^{*})$ den Faktor

${\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}$

verwendet, wobei $\chi ^{*}$ die komplex Konjugierte von $\chi$ ist.

Ursprünglich betrachtete Carl Friedrich Gauß die quadratische Gaußsche Summe mit $R$ als einem Restklassenkörper modulo einer ungeraden Primzahl $p$ und $\chi$ als Legendre-Symbol, dem quadratischen Restklassencharakter modulo $p$. Gauß bewies, dass $G(\chi )={\sqrt {p}}$ oder $G(\chi )=i{\sqrt {p}}$ gilt, je nachdem, ob $p$ kongruent zu 1 oder 3 modulo 4 ist.

Eine alternative Form dieser Gaußschen Summe ist:

$\sum _{r=0}^{p-1}e^{{\frac {2\pi i}{p}}r^{2}}$

Quadratische Gaußsche Summen sind mit der Theorie der Thetafunktionen eng verbunden.

Die allgemeine Theorie der Gaußschen Summen wurde im frühen 19. Jahrhundert, unter Verwendung der Jacobi-Summen und deren Primzahlenzerlegung in Kreisteilungskörpern, entwickelt. Summen über den Mengen, wo $\chi$ einen bestimmten Wert annimmt, wenn der zugrundeliegende Ring der Restklassenring modulo einer ganzen Zahl $N$ ist, werden durch die Theorie der Gaußschen Perioden beschrieben.

Der Absolutbetrag einer Gaußschen Summe wird üblicherweise als Anwendung des Satzes von Plancherel auf endlichen Gruppen benutzt. Im Fall, dass $R$ ein Körper von $p$ Elementen und $\chi$ nichttrivial ist, ist dieser Betrag gleich ${\sqrt {p}}$. Die Bestimmung des eigentlichen Wertes von allgemeinen Gaußschen Summen aus dem Ergebnis von Gauß für den quadratischen Fall ist ein lange ungelöstes Problem. Für einige Fälle siehe Kummer-Summe.

Siehe auch

• Satz von Stickelberger

Referenzen

• Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory (= Graduate texts in mathematics. Bd. 84). 2nd edition. Springer-Verlag, New York u. a. 1990, ISBN 0-387-97329-X.
• Bruce C. Berndt, Ronald J. Evans, Kenneth S. Williams: Gauss and Jacobi Sums (= Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. Bd. 21 = A Wiley-interscience publication). Wiley, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-471-12807-4.