Gliwenko-Cantelli-Satz

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Der Gliwenko-Cantelli-Satz, auch Hauptsatz der Statistik oder Fundamentalsatz der Statistik genannt (nach Waleri Iwanowitsch Gliwenko und Francesco Cantelli, 1933), ist ein mathematischer Satz, der besagt, dass die empirische Verteilungsfunktion einer eindimensionalen Stichprobe mit Wahrscheinlichkeit Eins gleichmäßig gegen die tatsächliche Verteilungsfunktion konvergiert.

Aussage[Bearbeiten]

Seien X_1,\ldots, X_n unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit der Verteilungsfunktion F.

Die Zufallsvariable \hat F_n (x) := \frac{1}{n} \cdot \# \{ 1 \le i \le n \mid X_i \le x \} ist dann die entsprechende empirische Verteilungsfunktion. Das Rautensymbol \# gibt die Anzahl der Elemente der darauf folgenden Menge an.

Man definiert als größte Abweichung der empirischen Verteilung von der zu Grunde liegenden Verteilung der Zufallsvariablen bezüglich aller Ausprägungen x

d_n=\sup_x \bigl| \hat F_n (x) - F (x) \bigr|, wobei \sup für Supremum steht.

Dann gilt, dass die Differenz d_n mit Wahrscheinlichkeit 1, also fast sicher, gegen Null konvergiert:

P(\lim_{n \to \infty} d_n = 0) = 1

Beweisidee[Bearbeiten]

Man kann das Theorem von Glivenko-Cantelli zum Beispiel mit dem Gesetz der großen Zahlen beweisen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, Abschnitt 15.3.