Satz von Gliwenko-Cantelli

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Empirische Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Stichprobe vom Umfang n=100

Der Satz von Gliwenko-Cantelli oder Satz von Gliwenko, auch Hauptsatz der mathematischen Statistik oder Fundamentalsatz der Statistik genannt, englisch Central statistical theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf zwei Arbeiten der beiden Mathematiker Waleri Iwanowitsch Gliwenko und Francesco Cantelli aus dem Jahre 1933 zurückgeht. Aus dem Satz geht hervor, dass bei unabhängig durchgeführten Zufallsversuchen die aus den Zufallsstichproben gewonnenen empirischen Verteilungsfunktionen einer Zufallsgröße gleichmäßig mit Wahrscheinlichkeit Eins gegen deren tatsächliche Verteilungsfunktion konvergieren und dass dadurch die Möglichkeit der Schätzung dieser Verteilungsfunktion gegeben ist.

Formulierung des Satzes im Einzelnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[1][2][3][4][5][6][7]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum

(\Omega, \mathcal{A}, \operatorname{P})

und darauf eine Folge

 X_n \colon (\Omega, \mathcal{A} , \operatorname{P}) \to \R \; (n \in \N)

von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilungsfunktion F \colon \R \to \R.

Die zum Stichprobenumfang n \in \N gehörige empirische Verteilungsfunktion ist

F_n \colon {\R \times \Omega } \to [0,1]
mit
 F_n (x,\omega) = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n {\chi_{(-\infty,x]} (X_k(\omega))} \; \; (x \in \R, \omega \in \Omega,)   .[8]

Hierzu hat man auf dem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum die Zufallsvariable

D_n \colon \Omega  \to \R
mit
 D_n (\omega)=\sup_{x \in \R} \bigl| F_n (x,\omega) - F (x) \bigr|   ,[9]

welche die obere Grenze aller Abstände dieser empirischen Verteilung von der gemeinsamen Verteilung F unter Berücksichtigung alle nur möglichen Ausprägungen x \in \R angibt.

Dann gilt:

Die D_n konvergieren mit Wahrscheinlichkeit 1, also fast sicher, gegen Null.
Es gilt also
\operatorname{P} \bigl(\lim_{n \to \infty} D_n = 0 \bigr) = 1   .

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Der Satz ergibt sich als Anwendung des kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen.
  2. Er ist in verschiedene Richtungen verallgemeinert und abgewandelt worden. Einen Eindruck davon gibt die Arbeit des dänischen Mathematikers Flemming Topsøe aus dem Jahre 1970.[10]

Quellen und Hintergrundliteratur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Originalarbeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Monographien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1980, S. 456 ff
  2. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 145
  3. B. W. Gnedenko: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie 1980, S. 185 ff
  4. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 117 ff
  5. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. 2014, S. 262 ff
  6. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2009, S. 353 ff
  7. Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1970, S. 318 ff
  8. Mit \chi wird die charakteristische Funktion bezeichnet.
  9. Dabei steht \sup für das Supremum.
  10. Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. in: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 14 , S. 239 ff