Satz des Heron

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Ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c.

Mit dem Satz des Heron kann man den Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen a, b und c berechnen. Der Satz ist nach dem Mathematiker Heron von Alexandria benannt.

Der Satz lautet wie folgt:

A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

Wobei A die Fläche und s der halbe Umfang ist, also

s = \frac{1}{2}(a+b+c)

Die Formel von Heron lautet auch so:

A = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}

Ausmultipliziert erhält man:

A = \frac{1}{4} \sqrt{2a^2 b^2 + 2a^2 c^2 +2 b^2 c^2  -a^4 -b^4 -c^4}

Diese Formel kann als Spezialfall der Formel für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks angesehen werden, wenn eine Seitenlänge des Sehnenvierecks die Länge Null hat. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich:

A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} (Formel von Brahmagupta), wobei hier s \, = \, \frac{a+b+c+d}{2} gilt.

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Literatur[Bearbeiten]