Isentropenexponent

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Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung
n = 0: isobar, n = 1: isotherm, n = κ: isentrop,
n = ∞: isochor

Der Isentropenexponent (auch Adiabatenexponent oder Wärmekapazitätsverhältnis genannt), bezeichnet mit dem Symbol oder , ist das Verhältnis der Wärmekapazität von Gasen bei konstantem Druck (Cp) und bei konstantem Volumen (CV):

ist eine Materialeigenschaft. Er kann alternativ auch als Quotient der massebezogenen Wärmekapazitäten bei konstantem Druck bzw. konstantem Volumen berechnet werden, oder auch als der Quotient der jeweiligen molaren Wärmekapazitäten.

Seinen Namen erhielt als Exponent in der Isentropengleichung oder Adiabatengleichung für ideale Gase:

Isentrope Zustandsänderungen sind adiabat und reversibel und lassen damit die Entropie konstant. Sie treten z. B. näherungsweise bei großräumigen Luftströmungen auf, weshalb man κ in der Meteorologie auch oft als Adiabatenexponent, Adiabatenkoeffizient oder Adiabatenindex bezeichnet. In der Technik ist in der Regel eine adiabate Zustandsänderung (z. B. in einer Dampfturbine) nicht reversibel, da Reibungs-, Drossel- und Stoßvorgänge Entropie produzieren (vergl. „Adiabate Maschine“ und „Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik“). Diese Zustandsänderungen lassen sich näherungsweise durch eine Polytrope mit einem Polytropenexponenten n beschreiben, der sich von κ unterscheidet. Die Isentrope ist der Spezialfall einer Polytrope mit (vergl. Bild).

Isentropenexponent für Gase bei Normaldruck[1]
Temp Gas κ Temp Gas κ Temp Gas κ
–200 °C H2[2] 1,65 0 °C Luft
trocken
1,40 –180 °C N2 1,43
–73 °C 1,44 400 °C 1,37 20 °C 1,40
20 °C 1,41 1000 °C 1,32 500 °C 1,36
1000 °C 1,36 2000 °C 1,30 1000 °C 1,32
2000 °C 1,31 −55 °C CO2 1,35 2000 °C 1,30
–250 bis
1500 °C
He 1,67 20 °C 1,29 20 °C CH4 1,31
400 °C 1,24 350 °C 1,18
100 °C H2O 1,33 1000 °C 1,18 20 °C H2S 1,33
200 °C 1,32 2000 °C 1,16 500 °C 1,25
500 °C 1,28 20 °C CO 1,40 20 °C NH3 1,32
1000 °C 1,23 1000 °C 1,32 450 °C 1,20
2000 °C 1,19 2000 °C 1,29 –100 bis
500 °C
Ne, Ar
Xe, Kr
1,67
20 °C NO[3] 1,39 –180 °C O2 1,44
2000 °C 1,29 20 °C 1,40 20 °C SO2 1,28
20 °C N2O 1,28 400 °C 1,34 250 °C 1,22
250 °C 1,22 1000 °C 1,31 15 °C C2H6 1,20
20 °C NO2 1,29 2000 °C 1,28 15 °C C3H8 1,13
Isentropenexponent für superkritische Gase bei 200 bar Druck [1]
Temp Gas κ Temp Gas κ Temp Gas κ
126,2 K N2 2,07 154,6 K O2 2,25 304,1 K CO2 2,36
300 K 1,67 300 K 1,77 500 K 1,50
600 K 1,43 600 K 1,41 700 K 1,28
2000 K 1,30 1000 K 1,33 1100 K 1,20
638,9 K H2O 10,7 5,2 K He 1,13 126,2 K Ar 2,07
700 K 1,95 300 K 1,65 300 K 2,23
900 K 1,41 700 K 1,66 500 K 1,81
1200 K 1,28 1500 K 1,66 700 K 1,72
33,15 K H2 1,51 132,9 K CO 2,54 190,6 K CH4 2,00
300 K 1,42 300 K 1,69 300 K 1,91
600 K 1,39 400 K 1,53 400 K 1,47
1000 K 1,38 500 K 1,47 600 K 1,24

Der Isentropenexponent bestimmt auch die Schallgeschwindigkeit, da die mit dem Schall verbundenen raschen Druck- und Dichteschwankungen näherungsweise isentrop verlaufen. Messen lässt sich der Isentropenexponent mit Hilfe des Rüchardt-Experiments.

Gerechnetes Wärmekapazitätsverhältnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Wert des Isentropenexponenten hängt vom Freiheitsgrad der Gasteilchen ab und der Freiheitsgrad eines Gasmoleküls hängt von der Geometrie und der Bindungsstärke der Atome ab. Gasmoleküle mit mehr Atomen besitzen einen höheren Freiheitsgrad. Der Freiheitsgrad setzt sich zusammen aus Translations-, Rotations- und Schwingungs- bzw. Vibrationsfreiheitsgrad. Translation ist bei allen Temperaturen angeregt. Rotation und Vibration bei linearen Molekülen erfolgt ab mittleren, Vibration bei starren Molekülen erst bei höheren Temperaturen. Deshalb nimmt die Wärmekapazität von mehratomigen Gasen bei steigender Temperatur zu. Anders gesagt: mit abnehmender Temperatur „frieren“ immer mehr Freiheitsgrade ein und der Isentropenexponent nimmt zu.

Mit zunehmender Temperatur sinkt der Isentropenexponent mehratomiger Gasmoleküle, da die Gaskonstante, also die Differenz zwischen isobarer und isochorer Wärmekapazität bei allen Gasen über einen großen Temperaturbereich konstant bleibt. Der Isentropenexponent kann näherungsweise auch wie folgt, beschrieben werden:

Der Freiheitsgrad f eines Körpers gibt an, wie viele Bewegungsmöglichkeiten dieser Körper innerhalb eines Koordinatensystems hat. Der einzelne Massepunkt hat 3 Freiheitsgrade, er kann sich entlang der x-, y- und z-Achse im Raum bewegen. Er hat keine Rotationsfreiheit, denn ein Punkt kann sich nicht drehen. Ein System von N Punkten hat 3N Freiheitsgrade. Liegen zwischen den Punkten r starre Bindungen vor, so reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf 3N - r.[4] Starre Körper haben stark gewinkelte Bindungen.

Trockene Luft besteht hauptsächlich aus zweiatomigen Molekülen und hat einen Isentropenexponent von 1,4. Dies entspricht dem theoretischen Wert für 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgraden in der kinetischen Gastheorie, da bei zweiatomigen Molekülen eine Rotation um die Verbindungsachse nicht möglich ist. Wasserstoff (H2) hat bei ganz tiefen Temperaturen den gleichen Wert wie die einatomigen Edelgase, weil dann selbst die Rotation gestoppt ist. Rotation mehratomiger Moleküle und Schwingung linearer oder schwach gewinkelter Moleküle sind schon unterhalb Normaltemperatur angeregt, Schwingung von starren Molekülen erst oberhalb Normaltemperatur. Bei viel höheren Temperaturen kommt es durch Dissoziation und Ionisation zu noch mehr Freiheitsgraden. In der Atmosphäre kann es bei Expansion und Abkühlung der feuchten Luft zur Kondensation des Wasser kommen. Durch die freiwerdende Kondensationswärme wird der Exponent niedriger.

Molare Wärmekapazität ; Isentropenexponent ; Freiheitsgrad
von Gasen bei Normalbedingung
Gasmolekül Beispiele
1-atomig Helium, Argon
2-atomig N2, O2, H2, CO,
NO
3-atomig, starres
(gewinkeltes) Molekül
H2O-Dampf bei
100 °C, H2S
3-atomig, nicht starres
(lineares) Molekül
CO2, SO2, N2O,
NO2
; (Gaskonstante = 8,314 J/molK)

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b NIST Standard Reference Database Number 69
  2. Engineering Toolbox: Hochtemperatur-cp-Werte
  3. http://catalog.conveyorspneumatic.com/Asset/FLS%20Specific%20Heat%20Capacities%20of%20Gases.pdf
  4. dtv-Atlas zur Physik; Mechanik, Akustik, Thermodynamik, Optik. Band 1, München 1987ff, ISBN 3-423-03226-X, S. 49 und 109.