Schallgeschwindigkeit

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Schallgrößen

Die Schallgeschwindigkeit c (für lateinisch celeritas ‚Eile‘, ‚Schnelligkeit‘) ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem Medium fortpflanzen. Ihre SI-Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s).

Sie ist nicht zu verwechseln mit der Schallschnelle v, d. h. der Momentangeschwindigkeit, mit der sich die einzelnen Teilchen des Mediums bewegen, um die zu der Schallwelle gehörige Deformation auf- und abzubauen.

Die Schallgeschwindigkeit ist allgemein abhängig vom Medium (insbesondere Elastizität und Dichte) und seiner Temperatur, in Fluiden zusätzlich vom Druck und in Festkörpern maßgeblich vom Wellentyp (Longitudinalwelle, Schubwelle, Rayleigh-Welle, Lamb-Welle etc.) und von der Frequenz. In anisotropen Medien ist sie zusätzlich noch richtungsabhängig. In Gasen oder Gasgemischen wie Luft bei Bedingungen um 1 bar und 20 °C spielt nur die Temperaturabhängigkeit eine nennenswerte Rolle.

Die Schallgeschwindigkeit in trockener Luft von 20 °C ist 343,2 m/s.[1] Das sind 1236 km/h.

Für den Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit c und Frequenz f einer monochromatischen Schallwelle der Wellenlänge \lambda gilt wie für alle solchen Wellen:

c = \lambda \cdot f

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten und Gasen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Flüssigkeiten und Gasen können sich nur Druck- bzw. Dichtewellen ausbreiten, bei denen sich die einzelnen Teilchen in Richtung der Wellenausbreitung hin und her bewegen (Longitudinalwelle). Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte \rho und des (adiabatischen) Kompressionsmoduls K und berechnet sich so:


c_{\text{Flüssigkeit, Gas}} = \sqrt{\frac{K}{\rho}}

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl als Longitudinalwelle (hierbei ist die Schwingungsrichtung der Teilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung) oder als Transversalwelle (Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte \rho, der Poissonzahl \nu und dem Elastizitätsmodul E des Festkörpers ab. Dabei gilt


c_\text{Festkörper, longitudinal} = \sqrt{\frac{E \, (1- \nu)}{\rho \, (1 - \nu - 2 \nu^2)}}

c_\text{Festkörper, transversal} = \sqrt{\frac{E}{2 \, \rho \, (1 + \nu)}} = \sqrt{\frac{G}{\rho}}

mit dem Schubmodul G = \frac {E}{2 \, (1 + \nu)}.

Für eine Oberflächenwelle auf einem ausgedehnten Festkörper (Rayleigh-Welle) gilt:[2]


c_\text{Festkörper, Oberfläche} \approx 0{,}922 \cdot c_\text{Festkörper, transversal}

Der Ausdruck M = \frac{E \, (1- \nu)}{(1 - \nu - 2 \nu^2)} wird auch als Longitudinalmodul bezeichnet, sodass für die Longitudinalwelle auch


c_\text{Festkörper, longitudinal} = \sqrt{\frac{ M }{\rho }}

geschrieben werden kann.

Im Spezialfall eines langen Stabes, dessen Durchmesser deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle ist, kann der Einfluss der Querkontraktion vernachlässigt werden (d. h. \nu\mathord =0), und man erhält:


c_\text{langer Stab, longitudinal} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}

c_\text{langer Stab, transversal} = \sqrt{\frac{E}{2\rho}}

Schallgeschwindigkeit im idealen Gas[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Klassisches ideales Gas[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da der Kompressionsmodul eines klassischen, idealen Gases K = \kappa \,p nur vom Adiabatenexponenten \kappa („kappa“) des Gases und dem herrschenden Druck p abhängt, ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit:


c_{\text{Ideales Gas}} = \sqrt{\kappa\, \frac{p}{\rho}} = \sqrt{\kappa \, \frac{RT}{M}}

Hier ist R die universelle Gaskonstante, M die molare Masse (Masse/Stoffmenge) des Gases, und T die absolute Temperatur. Für feste Werte M und \kappa, also für ein gegebenes ideales Gas, hängt die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur ab, sie ist insbesondere weder vom Druck noch von der Dichte des Gases abhängig.

Der Adiabatenexponent berechnet sich aus \kappa =\tfrac{f+2}{f}, wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade der Bewegung eines Teilchens (Atom oder Molekül) ist. Für einen Massepunkt gilt f\mathord =3, für eine starre Hantel aus zwei Massepunkten f\mathord =5, für einen starren Körper f\mathord =6. Für jede mögliche Grundschwingung erhöht sich f um zwei. Der Adiabatenexponent kann also nur folgende Werte annehmen:

  • \kappa \mathord =\tfrac{5}{3} \mathord = 1{,}67 für ein einatomiges Gas (z. B. Edelgas)
  • \kappa \mathord =\tfrac{7}{5} \mathord= 1{,}40 für ein zweiatomiges Gas (ohne Vibration der Moleküle, z. B. Stickstoff N2, Wasserstoff H2, Sauerstoff O2)
  • \kappa\mathord \le \tfrac{8}{6} \mathord= 1{,}33 für alle größeren oder komplizierteren Moleküle

Für Luft misst man \kappa \mathord = 1{,}402 und erhält mit einer mittleren Molmasse M\mathord = 0{,}02896\,\mathrm{kg/mol} für Stickstoff und Sauerstoff bei Normaltemperatur T\mathord=293{,}15\mathrm{K} (20 °C)


c_{\text{Luft}} \approx \sqrt{1{,}402\, \frac{ 8{,}3145\,\mathrm{\frac{J}{mol\,K}} 293{,}15\mathrm{K} } { 0{,}02896\,\mathrm{\frac{kg}{mol}}}} = 343\,\mathrm{\frac{m}{s}},

in sehr guter Übereinstimmung mit dem in trockener Luft gemessenen Wert.

Die Schallgeschwindigkeit c_{\text{Ideales Gas}} = \sqrt{\kappa \, \tfrac{RT}{M}} ist etwas kleiner als die mittlere Translationsgeschwindigkeit \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{3\, \tfrac{RT}{M}} der im Gas sich bewegenden Teilchen. Das steht im Einklang mit der anschaulichen Interpretation der Schallausbreitung in der kinetischen Gastheorie: Eine kleine lokale Abweichung des Druckes und der Dichte von ihren Durchschnittswerten wird von den durcheinanderfliegenden Teilchen in die Umgebung getragen.

Der Faktor \kappa kommt aus der adiabatischen Zustandsgleichung, die Prozesse beschreibt, bei denen die Temperatur nicht konstant bleibt, obwohl keine Wärme ausgetauscht wird. Schallwellen bestehen aus periodischen Schwankungen von Dichte und Druck, die in so rasch ablaufen, dass währenddessen Wärme nennenswert weder zu- noch abfließen kann. Wegen der damit verbundenen Temperaturschwankungen gilt die obige Formel für c_{\text{Luft}} nur im Grenzfall kleiner Amplituden, wobei für T die Durchschnittstemperatur einzusetzen ist. Tatsächlich machen sich bei großen Amplituden, z. B. nach einer Detonation, nichtlineare Effekte dadurch bemerkbar, dass die Wellenberge – Wellenfronten mit maximaler Dichte – schneller laufen als die Wellentäler, was zu steileren Wellenformen und zur Ausbildung von Stoßwellen führt.

Quanteneffekte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Schallgeschwindigkeit einerseits mit dem Kundtschen Rohr schon früh verhältnismäßig leicht präzise zu messen war und andererseits direkt mit einer atomphysikalischen Größe, der Anzahl der Freiheitsgrade, verknüpft ist, führte sie zur frühen Entdeckung wichtiger Effekte, die erst mit der Quantenmechanik erklärt werden konnten.

Atome als Massepunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das erste mit chemischen Methoden als einatomig identifizierte Gas – Quecksilberdampf bei hoher Temperatur – zeigte 1875 auch zum ersten Mal den Wert \kappa\mathord=1{,}667, also f\mathord=3. Dieser Wert ist nach der kinetischen Gastheorie einem Gas aus idealen Massepunkten vorbehalten. Ab 1895 kamen gleiche Befunde an den neu entdeckten Edelgasen Argon, Neon etc. hinzu. Das stützte einerseits die damalige Atomhypothese, nach der alle Materie aus winzigen Kügelchen aufgebaut ist, warf aber andererseits die Frage auf, warum diese Kugeln nicht wie jeder starre Körper drei weitere Freiheitsgrade für Drehbewegungen besitzen. Die Ende der 1920er Jahre gefundene quantenmechanische Erklärung besagt, dass für Drehbewegungen angeregte Energieniveaus besetzt werden müssen, deren Energie so hoch liegt, dass die kinetische Energie der stoßenden Gasteilchen bei weitem nicht ausreicht.[3]:S. 8 Das gilt auch für die Rotation eines zweiatomigen Moleküls um die Verbindungslinie der Atome und erklärt somit, warum es hier für die Rotation nicht drei, sondern nur zwei Freiheitsgrade gibt.

Einfrieren der Drehbewegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine markante Temperaturabhängigkeit des Adiabatenkoeffizienten wurde 1912 bei Wasserstoff entdeckt: Bei Abkühlung von 300 K auf 100 K steigt \kappa monoton von 1,40 auf 1,667, d. h. vom Wert für eine Hantel zum Wert für einen Massepunkt. Man sagt, die Rotation „friert ein“, bei 100 K verhält sich das ganze Molekül wie ein Massepunkt. Die quantenmechanische Begründung schließt an die obige Erklärung für Einzelatome an: Bei 100 K reicht die Stoßenergie der Gasmoleküle praktisch nie zur Anregung eines Energieniveaus mit höherem Drehimpuls, bei 300 K praktisch immer.[3]:S. 272 Der Effekt ist bei anderen Gasen so deutlich nicht beobachtbar, weil sie in dem jeweils betreffenden Temperaturbereich bereits verflüssigt sind. Jedoch wird auf diese Weise erklärt, warum die gemessenen Abdiabatenkoeffizienten realer Gase von der einfachen Formel \kappa\mathord=\tfrac{f+2}{f} meist etwas abweichen.

Schallgeschwindigkeit im realen Gas / Phänomene in der Luftatmosphäre[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die für das ideale Gas entwickelten Vorstellungen und Formeln gelten in sehr guter Näherung auch für die meisten realen Gase. Insbesondere variiert deren Adiabatenexponent \kappa = c_\mathrm{p}/c_\mathrm{V} über weite Bereiche weder mit der Temperatur noch mit dem Druck. Für die Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft im Bereich normaler Umwelttemperaturen wird oft die lineare Näherungsformel


c_{\mathrm{Luft}} \approx ( 331{,}5 + 0{,}6\,\vartheta/{}^\circ\mathrm{C} ) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

benutzt. Diese Näherung gilt im Temperaturbereich −20 °C < \vartheta < +40 °C mit einer Genauigkeit von besser als 99,8 %. Die absolute Temperatur wurde hier nach \vartheta/{}^\circ\mathrm{C} = T/\mathrm{K} - 273{,}15 in °C umgerechnet.

Neben der Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft ist der Einfluss der Luftfeuchtigkeit zu berücksichtigen. Diese lässt die Schallgeschwindigkeit geringfügig zunehmen, denn die mittlere molare Masse M feuchter Luft nimmt durch die Beimischung der leichteren Wassermoleküle stärker ab als der mittlere Adiabatenkoeffizient \kappa. Beispielsweise ist bei 20 °C die Schallgeschwindigkeit bei 100 % Luftfeuchtigkeit um 0,375 % höher als bei 0 % Luftfeuchtigkeit. Die gleiche Erhöhung der Schallgeschwindigkeit gegenüber trockener Luft würde sich durch eine Temperaturerhöhung auf gut 22 °C ergeben.[4][5]

In der normalen Atmosphäre nimmt die Schallgeschwindigkeit daher mit der Höhe ab. Sie erreicht ein Minimum von etwa 295 m/s (ca 1060 km/h) in der Tropopause (ca. 11 km Höhe). Andererseits nimmt die Schallgeschwindigkeit bei einer Inversionswetterlage mit der Höhe zu, da dann eine wärmere Luftschicht über einer kälteren liegt. Oft geschieht dies am Abend nach einem warmen Sonnentag, weil sich der Boden schneller abkühlt als die höheren Luftschichten. Dann schreiten die Wellen in der Höhe schneller voran als unten, sodass eine Wellenfront, die von einer bodennahen Schallquelle schräg aufwärts strebt, wieder nach unten gelenkt wird (siehe Schallausbreitung). Man sagt, die Schallstrahlen werden zum Boden hin gekrümmt. An Sommerabenden kann man das oft an der größeren Reichweite der Schallausbreitung bemerken.

Ähnlich lautet die Begründung dafür, dass man mit dem Wind besser hört als gegen den Wind. Obwohl die Bewegung des Mediums Luft keinen Einfluss auf die Schallausbreitung als solches haben sollte, da die Windgeschwindigkeit immer klein gegen die Schallgeschwindigkeit ist, verbessert sich die Reichweite des Schalls. Der Wind hat fast immer ein Geschwindigkeitsprofil mit nach oben zunehmender Geschwindigkeit, was, wie oben beschrieben, zur Ablenkung der Schallausbreitung führt, und zwar einer Ablenkung nach oben bei Gegenwind und nach unten bei Mitwind.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den folgenden beiden Tabellen sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei einer Temperatur von 20 °C aufgelistet. Angegeben ist für alle Materialien die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle („Schallgeschwindigkeit longitudinal“). In Festkörpern können sich auch Scherwellen ausbreiten, die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Wellen ist als „Schallgeschwindigkeit transversal“ angegeben.

Gase Schallgeschwindigkeit in m/s
bei 20 °C falls nicht anders angegeben[6][7]
Luft 343*
Helium 981
Wasserstoff 1280
Sauerstoff (bei 0 °C) 316
Kohlendioxid 266
Argon 319
Krypton 221
Methan 466
Wasserdampf (bei 100 °C) 477
Schwefelhexafluorid (bei 0 °C) 129
Medium Schallgeschwindigkeit longitudinal in m/s
bei 20 °C falls nicht anders angegeben[6][7]
Schallgeschwindigkeit
transversal in m/s[6][7]
Wasser 1484
Wasser (bei 0 °C) 1407
Meerwasser ≈ 1500
Eis (bei −4 °C) 3250 1990[8]
2,5 molare Natriumchlorid-Lösung (bei 25 °C)[9] 1540
Öl (SAE 20/30)[10] 1340
Benzol 1326
Ethylalkohol 1168
Gummi 150
Silikonkautschuk (RTV) ≈ 1000[12]
Plexiglas 2670[8] 1120[8]
PVC-P (weich) 80
PVC-U (hart) 2250 1060
POM 2470 1200
Beton (C20/25) 3655 2240
Beton (C30/37) 3845 2355
Buchenholz 3300
Marmor 6150
Aluminium 6250–6350[8] 3100[8]
Beryllium 12.800,[8] 12.900 8710,[8] 8880
Blei 2160[8] 700[8]
Gold 3240[8] 1200[8]
Kupfer 4660[8] 2260[8]
Magnesium 5790[8] 3100[8]
Magnesium/Zk60 4400 810
Nickel 4900
Zink 4170[8] 2410[8]
Quecksilber 1450
Stahl 5850[8], 5920 3230[8]
Titan 6100[8] 3120[8]
Messing 3500
Wolfram 5180 2870
Eisen 5170
Silber 3600[8] 1590[8]
Bor 16.200
Diamant 18.000
Graphen 20.000[13]
Quark-Gluon-Plasma[14] (bei 10^{12} °C) 173 000 000** \approx c/\sqrt{3}

Anmerkungen:

* entspricht 1235 km/h

Diamant besitzt mit etwa 18.000 m/s die höchste Schallgeschwindigkeit aller natürlichen Medien.

Der beim Holz-Musikinstrumentenbau wichtige Parameter „Schallgeschwindigkeit“ beträgt längs zur Faser bei Erle 4400 m/s, Ahorn 4500 m/s, Esche 4700 m/s, Padouk 4800 m/s, Linde 5100 m/s, Fichte 5500 m/s.

Temperaturabhängigkeit in Luft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Lufttemperatur
Temperatur
\vartheta in °C
Schallgeschwindigkeit
c_\text{S} in m/s[15]
+35 352,17
+30 349,29
+25 346,39
+20 343,46
+15 340,51
+10 337,54
+5 334,53
0 331,50
−5 328,44
−10 325,35
−15 322,23
−20 319,09
−25 315,91

Frequenzabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Gummi ist ein Beispiel für ein dispersives Medium: Bei höherer Frequenz ist es steifer, hat also eine höhere Schallgeschwindigkeit.

In einem nicht-dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Wasser und Luft sind über weite Frequenzbereiche nicht-dispersive Medien.

Sonstiges[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach (benannt nach Ernst Mach) verwendet, wobei Mach 1 gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Abweichend von anderen Maßeinheiten wird bei der Messung der Geschwindigkeit in Mach die Einheit vor die Zahl gesetzt.

Die Entfernung eines Blitzes und damit eines Gewitters lässt sich durch Zählen der Sekunden zwischen dem Aufleuchten des Blitzes und dem Donnern abschätzen. Der Schall legt in der Luft einen Kilometer in etwa drei Sekunden zurück. Teilt man die Anzahl der gezählten Sekunden durch drei, ergibt sich daher die Entfernung des Blitzes in Kilometern.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ernst Götsch: Luftfahrzeugtechnik. Motorbuchverlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Schallgeschwindigkeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1.  Douglas C. Giancoli: Physik. Pearson Deutschland GmbH, 2010, S. 561 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Die Oberflächenwellengeschwindigkeit ist von der Poissonzahl \nu abhängig. Für \nu=0 gilt ein Faktor von 0,8741 (z. B. Kork) statt der angegebenen 0,92, für \nu = 0{,}25 gilt 0,9194 (z. B. Eisen) und für \nu = 0{,}5 gilt 0,9554 (z. B. Gummi). Siehe dazu  Arnold Schoch: Schallreflexion, Schallbrechung und Schallbeugung. In: Ergebnisse der exakten Naturwissenschaften. 23, 1950, S. 127–234.
  3. a b  Jörn Bleck-Neuhaus: Elementare Teilchen. Moderne Physik von den Atomen bis zum Standard-Modell. Springer-Verlag (Heidelberg), 2010, ISBN 978-3-540-85299-5.
  4. Owen Cramer: The variation of the specific heat ratio and the speed of sound in air with temperature, pressure, humidity, and CO2 concentration. In: The Journal of the Acoustical Society of America. Bd. 93(5), S. 2510, 1993.
  5. Dennis A. Bohn: Environmental Effects on the Speed of Sound. In: Journal of the Audio Engineering Society. 36(4), April 1988. PDF-Version.
  6. a b c A. J. Zuckerwar: Handbook of the Speed of Sound in Real Gases. Academic Press 2002.
  7. a b c David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 57. Auflage. (Internet-Version: ), CRC Press/Taylor and Francis, Boca Raton, FL, , S. E-47.
  8. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w  Joseph L. Rose: Ultrasonic Waves in Solid Media. Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-54889-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  9. Sonja Kerstin Leicht: Untersuchung mechanischer Parameter der degenerativen Veränderungen an Knorpel und subchondralem Knochen bei primärer Gonarthrose mit hochfrequenten Ultraschalltechniken. Dissertation, Universität Halle 2007, Abschnitt 3.
  10. Kompressionsmodul EÖl(K). (Memento vom 5. Januar 2013 im Webarchiv archive.is) Fluidtechnik von A bis Z. Bei: vfmz.com.
  11. Acoustic Properties of Solids. Bei: ondacorp.com. 11. April 2003.
  12. Y. Yamashita, Y. Hosono, K. Itsumi: Low-Attenuation Acoustic Silicone Lens for Medical Ultrasonic Array Probes. S. 169 und 175. In: Ahmad Safari, E. Koray Akdogan (Hrsg.): Piezoelectric and Acoustic Materials for Transducer Applications. Springer-Verlag, 2008, ISBN 0387765409, S. 161–178.
  13. Vadim Adamyan, Vladimir Zavalniuk: Phonons in graphene with point defects. In: J. Phys.. Condens. Matter 23 (1), 2011, S. 15402.
  14. Jean Lettesier, Johann Rafelski: Hadrons and Quark-Gluon-Plasma. Cambridge University Press, 2002.
  15. Quelle unbekannt, s. auch David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 57. Auflage. (Internet-Version: ), CRC Press/Taylor and Francis, Boca Raton, FL, , S. E-54.