Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix oder Ableitungsmatrix genannt) einer differenzierbaren Funktion
ist die
-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen.
Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion
bezüglich der Standardbasen des
und des
. Sie wird mit
,
,
oder
bezeichnet.
Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.
Definition
Sei
eine Funktion, deren partielle Ableitungen alle existieren, mit den Komponentenfunktionen
. Außerdem werden mit
die Koordinaten im Urbildraum
bezeichnet. Für
ist die Jacobi-Matrix im Punkt
dann durch
,
beziehungsweise ausführlich durch
![{\displaystyle J_{f}(a):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b1c056bd859f9a9bd27079a715a5137f602a7e)
definiert.
JACOBI?
Beispiel
Die Funktion
sei gegeben durch
![{\displaystyle f(x,y,z)={\binom {x^{2}+y^{2}+z\cdot \sin x}{z^{2}+z\cdot \sin y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201eef5d272f72d8ae8db77d2c4c439469740412)
Dann ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)&={\binom {2x+z\cdot \cos x}{0}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)&={\binom {2y}{z\cdot \cos y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)&={\binom {\sin x}{2z+\sin y}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9be09b4c2d09d7aba35d4929c70d7175a49cd96)
und damit die Jacobi-Matrix
![{\displaystyle J_{f}(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\!\cdot \!\cos x&2y&\sin x\\0&\;z\cdot \cos y\;&\;2z+\sin y\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d02dd370011d42108bd20f6bb6bd9daccd378b0)
Anwendungen
- Ist die Funktion
total differenzierbar, so ist die Jacobi-Matrix eine Koordinatendarstellung der Ableitung von
.
- Für
entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von
. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.
- Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für einen Punkt
ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von
in der Nähe von
verwendet werden:
![{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})\approx f(p_{1},\dots ,p_{n})+J_{f}(p_{1},\dots ,p_{n}){\begin{pmatrix}x_{1}-p_{1}\\\vdots \\x_{n}-p_{n}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647e1118756cf375c71250948ab98be00ae2ba69)
Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).
Determinante der Jacobi-Matrix
Sei
, es wird also eine differenzierbare Funktion
betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix
am Punkt
eine quadratische
-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix
bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt
ungleich null, so ist die Funktion
in einer Umgebung von
invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist
, so kann man natürlich keine Determinante der
-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.
Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion
Neben Funktionen
kann man auch Funktionen
auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion
kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine
mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine
-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die
-Jacobi-Matrix
am Punkt
ist durch
![{\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{n}}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48c63f058f2b5b9d6d9b43f37c8a380b4017cd6)
definiert.
Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen
, sodass
gilt. Die Funktionen
und
kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien
die Koordinaten in
und setze
für alle
. Die
-Jacobi-Matrix
der holomorphen Funktion
am Punkt
ist dann definiert durch
.
Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen
, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich
.
Siehe auch
Literatur