Kerndichteschätzer

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Die Kerndichteschätzung (auch Parzen-Fenster-Methode;[1] englisch kernel density estimation, KDE) ist ein statistisches Verfahren zur Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable.

In der klassischen Statistik geht man davon aus, dass statistische Phänomene einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung folgen und dass sich diese Verteilung in Stichproben realisiert. In der nichtparametrischen Statistik werden Verfahren entwickelt, um aus der Realisation einer Stichprobe die zu Grunde liegende Verteilung zu identifizieren. Ein bekanntes Verfahren ist die Erstellung eines Histogramms. Nachteil dieses Verfahrens ist, dass das resultierende Histogramm nicht stetig ist. Vielfach ist aber davon auszugehen, dass die zu Grunde liegende Verteilung eine stetige Dichtefunktion hat. So etwa die Verteilung von Wartezeiten in einer Schlange oder die Rendite von Aktien.

Die im Folgenden beschriebenen Kerndichteschätzer sind dagegen Verfahren, die eine stetige Schätzung der unbekannten Verteilung ermöglicht. Genauer: Ein Kerndichteschätzer ist ein gleichmäßig konsistenter, stetiger Schätzer der Dichte eines unbekannten Wahrscheinlichkeitsmaßes durch eine Folge von Dichten.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kerndichteschätzung

Im folgenden Beispiel wird die Dichte einer Standardnormalverteilung (schwarz gestrichelt) durch Kerndichteschätzung geschätzt. In der konkreten Situation des Schätzens ist diese Kurve natürlich unbekannt und soll durch die Kerndichteschätzung geschätzt werden. Es wurde eine Stichprobe (vom Umfang 100) generiert, die gemäß dieser Standardnormalverteilung verteilt ist. Mit verschiedenen Bandbreiten wurde dann eine Kerndichteschätzung durchgeführt. Man sieht deutlich, dass die Qualität des Kerndichteschätzers von der gewählten Bandbreite abhängt. Eine zu kleine Bandbreite erscheint "verwackelt", während eine zu große Bandbreite zu "grob" ist.

Kerne[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kerndichteschätzung mit Cauchykern

Mit Kern wird die stetige Lebesgue-Dichte eines fast beliebig zu wählenden Wahrscheinlichkeitsmaßes bezeichnet. Mögliche Kerne sind etwa:

  • Gaußkern
  • Cauchy-Kern
  • Picard-Kern
  • Epanechnikov-Kern

Diese Kerne sind Dichten von ähnlicher Gestalt wie der abgebildete Cauchykern. Der Kerndichteschätzer stellt eine Überlagerung in Form der Summe entsprechend skalierter Kerne dar, die abhängig von der Stichprobenrealisation positioniert werden. Die Skalierung und ein Vorfaktor gewährleisten, dass die resultierende Summe wiederum die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes darstellt. Der folgenden Abbildung wurde eine Stichprobe vom Umfang 10 zu Grunde gelegt, die als schwarze Kreise dargestellt ist. Darüber sind die Cauchykerne (grün gestrichelt) dargestellt, aus deren Überlagerung der Kerndichteschätzer resultiert (rote Kurve).

Der Epanechnikov-Kern ist dabei derjenige Kern, der unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehörigen Kerndichteschätzers minimiert.

Der Kerndichteschätzer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Stichprobe, ein Kern, so wird der Kerndichteschätzer zur Bandbreite definiert als:

.

Die Wahl der Bandbreite ist entscheidend für die Qualität der Approximation. Mit entsprechender, in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang gewählter Bandbreite konvergiert die Folge der Kerndichteschätzer fast sicher gleichmäßig gegen die Dichte des unbekannten Wahrscheinlichkeitsmaßes. Diese Aussage wird im folgenden Satz von Nadaraja konkretisiert.

Satz von Nadaraja[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz[2] liefert die Aussage, dass mit entsprechend gewählter Bandbreite eine beliebig gute Schätzung der unbekannten Verteilung durch Wahl einer entsprechend großen Stichprobe möglich ist.

Sei ein Kern von beschränkter Variation. Die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes sei gleichmäßig stetig. Mit und seien für die Bandbreiten definiert. Dann konvergiert die Folge der Kerndichteschätzer mit Wahrscheinlichkeit 1 gleichmäßig gegen , d. h.

.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kerndichteschätzung wird von Statistikern seit etwa 1950 eingesetzt und wird in der Ökologie häufig zur Beschreibung des Aktionsraumes eines Tieres verwendet, seitdem diese Methode in den 1990ern in den Wissenschaftszweig Einzug hielt. Damit kann die Wahrscheinlichkeit errechnet werden, mit der ein Tier sich in einem bestimmten räumlichen Bereich aufhält. Aktionsraum-Voraussagen werden durch farbige Linien (z. B. Isolinien) dargestellt.[3]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Parzen E. (1962). On estimation of a probability density function and mode, Ann. Math. Stat. 33, pp. 1065–1076. doi:10.1214/aoms/1177704472
  2. É. Nadaraya: On Non-Parametric Estimates of Density Functions and Regression Curves. In: Theory of Probability & Its Applications. Band 10, Nr. 1, 1. Januar 1965, ISSN 0040-585X, S. 186–190, doi:10.1137/1110024 (siam.org [abgerufen am 24. Juni 2016]).
  3. Arthur R. Rodgers, John G. Kie: HRT: Home Range Tools for ArcGIS®. User’s Manual. 10. August 2011, S. 6 ff. (online [PDF; abgerufen am 24. Oktober 2011]).