Modulhomomorphismus

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In der Mathematik ist ein Modulhomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Moduln und über einem Ring , welche mit der Modulstruktur verträglich ist. Sie übersetzt beispielsweise die Addition von in die Addition von . Eine Addition kann man zweifach übersetzen.

  1. Man addiert zunächst in und übersetzt dann mit .
  2. Man übersetzt mit die Summanden und berechnet die Summe in .

Bei einem Homomorphismus ergibt sich stets dasselbe. Ersetzt man in der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen den Körper durch einen Ring, erhält man einen Modulhomomorphismus. Der Ring braucht nicht kommutativ zu sein.

Es seien zwei Rechtsmoduln über einem Ring gegeben. Eine Abbildung heißt Homomorphismus von nach , wenn für alle und alle gilt:

und

Entsprechend erklärt man den Begriff des Homomorphismus zwischen Linksmoduln: Eine Abbildung zwischen zwei Linksmoduln und über dem Ring heißt Homomorphismus von nach , wenn für alle und alle gilt:

und

Die Menge der Homomorphismen von nach wird mit bezeichnet.

Ein Homomorphismus von einem Modul in sich selbst heißt Endomorphismus von .

Sind und zwei --Bimoduln über Ringen und , so heißt eine Abbildung ein Homomorphismus von S-R-Bimoduln, wenn für alle gilt:

und .
  1. Ist ein beliebiger Modul, so gibt es genau einen Homomorphismus , nämlich . Es ist ein Anfangsobjekt in der Kategorie der Rechtsmoduln. Genauso gibt es nur einen Homomorphismus , die Nullabbildung ( für alle ). Es ist auch ein Endobjekt. Man fasst zusammen, wenn man sagt, ist ein Nullobjekt.
  2. Die Identität ist ein Homomorphismus.
  3. Das Zentrum eines Ringes ist die Menge ist ein Unterring des Ringes . Ist im Zentrum des Ringes, so ist ein Homomorphismus.
  4. Sind zwei Homomorphismen, so ist ihre Summe ein Homomorphismus.
  • Ist ein Homomorphismus und ist ein Untermodul von so ist ein Untermodul von . Insbesondere ist ein Untermodul von . Dieser Untermodul heißt Kern des Homomorphismus . Er wird oft mit oder auch einfach bezeichnet.
  • Ist ein Untermodul von und ein Modulhomomorphismus, so ist ein Untermodul von . Er heißt Bild von unter . Insbesondere ist , die Bildmenge von , ein Untermodul von . Er wird oft mit oder einfach bezeichnet.
  • Die Verkettung oder Komposition zweier Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Menge der Moduln über einem Ring bilden zusammen mit den Homomorphismen eine Kategorie.
  • Ist ein Modul, so bildet die Menge der Endomorphismen einen unitären Ring. Dabei ist die Addition die Addition der Endomorphismen und die Multiplikation ist die Verkettung.

Für einen Homomorphismus zwischen Moduln sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Für alle mit ist .
  2. ist links kürzbar. Das heißt: Für alle Moduln und alle Homomorphismen gilt: .

Erfüllt ein Homomorphismus eine und damit alle äquivalenten Eigenschaften des Satzes, so heißt Monomorphismus zwischen den Moduln. Die dritte Aussage des Satzes besagt, dass im Sinne der Kategorientheorie ein Monomorphismus ist.

  1. Ist ein Untermodul, so ist die Inklusionsabbildung ein Monomorphismus.
  2. Jeder -Homomorphismus von der Menge der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen, welcher nicht die Nullabbildung ist, ist ein Monomorphismus.
  1. Sind und Monomorphismen, so ist ein Monomorphismus.
  2. Ist ein Monomorphismus, so ist ein Monomorphismus.
  3. Ist ein Monomorphismus, so ist .

Für einen Modulhomomorphismus sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. . Dabei ist der Faktormodul von N modulo f(M).
  2. Die Abbildung ist surjektiv.
  3. ist rechts kürzbar. Das heißt, für alle Moduln und alle Homomorphismen gilt: .

Ein Homomorphismus, der eine und damit alle diese Eigenschaften erfüllt, heißt Epimorphismus. Die dritte Eigenschaft des Satzes besagt, dass der Homomorphismus im Sinne der Kategorientheorie ein Epimorphismus ist.

  1. Die Identität ist ein Epimorphismus.
  2. Ist ein Integritätsring und sein Quotientenkörper, so ist jeder Homomorphismus ein Monomorphismus und ein Epimorphismus.
  3. Es sei p eine Primzahl und der kleinste Unterring der rationalen Zahlen, der enthält. Ist , so ist jeder Endomorphismus von , der ungleich der Nullabbildung ist, ein Epimorphismus. Aber die Multiplikation mit p ist kein Monomorphismus.
  1. Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus.
  2. Ist und ein Epimorphismus, so ist ein Epimorphismus und es ist .

Ein Homomorphismus heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomorphismus gibt, so dass und ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist. Dabei ist die Identität auf dem Modul und analog die Identität auf dem Modul . Zwei Moduln heißen isomorph, in Zeichen , wenn es einen Isomorphismus gibt.

Produktzerlegungen von Homomorphismen

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Homomorphiesatz

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Ist ein Homomorphismus, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus , so dass gilt. Dabei ist mit der kanonische Epimorphismus. ist stets ein Monomorphismus. Ist ein Epimorphismus, so ist ein Isomorphismus.

Der Homomorphiesatz besagt also, dass das folgende Diagramm kommutiert.

1. Isomorphiesatz

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Seien Untermoduln von Dann gilt: . Der Isomorphismus ist

Folgerung: Seien und Untermoduln von mit , so ist .[1]

2. Isomorphiesatz

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Es seien Untermoduln von . Dann gilt:

.[2]

Der Hom-Funktor

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Sind Moduln, so ist die Menge der Homomorphismen .

Moduleigenschaften von Hom

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  • Die Menge wird zu einer abelschen Gruppe, wenn für zwei Homomorphismen die Summe folgendermaßen definiert ist: .
  • Ist ein Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring und auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring , so wird auf der rechten Seite zu einem Modul über dem Ring , wenn man für und definiert: . Ist insbesondere der Endomorphismenring von , so ist auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring .
  • Ist ein Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring und auf der rechten Seite über dem Ring , so wird auf der linken Seite zu einem Modul über dem Ring , wenn man für und definiert: .

Der kovariante Funktor Hom

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Ist ein Modul, so ordnet man jedem Modul die abelsche Gruppe zu. Jedem Homomorphismus wird der Homomorphismus zugeordnet. Es gilt dann für alle : . Außerdem werden die Identitäten auf die entsprechenden Identitäten abgebildet. ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Moduln über dem Ring in die Kategorie der abelschen Gruppen. Ist wie oben ein Bimodul, so ist ein Funktor von der Kategorie der Moduln über in die Kategorie der Moduln über .

Linksexaktheit von Hom

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Für einen Komplex , das heißt, es gilt , sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  • ist exakt.
  • Für alle Moduln ist exakt.
  • Es gibt einen Generator , so dass die Folge exakt ist.

Auch wenn surjektiv ist, so ist das für im Allgemeinen nicht der Fall, das heißt, der Hom-Funktor ist im Allgemeinen nicht exakt. Die Abweichung von der Exaktheit wird durch den Ext-Funktor gemessen.

Einzelnachweise

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  1. Friedrich Kasch, Moduln und Ringe, Teubner, Stuttgart 1977, Seite 57
  2. Friedrich Kasch, Moduln und Ringe, Teubner, Stuttgart 1977, Seite 58
  • Frank W. Anderson and Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
  • Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1