Momenterzeugende Funktion

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Die momenterzeugende Funktion ist eine Funktion, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie einer Zufallsvariablen zugeordnet wird. In vielen Fällen ist diese Funktion in einer Umgebung des Nullpunktes in den reellen bzw. komplexen Zahlen definiert und kann dann mittels Ableitung zur Berechnung der Momente der Zufallsvariablen verwendet werden, woraus sich ihr Name erklärt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen ist definiert durch[1]

,

wobei für reelle bzw. komplexe Zahlen eingesetzt werden können, sofern der Erwartungswert auf der rechten Seite existiert. Dieser Ausdruck ist mindestens für definiert. In vielen Fällen, siehe unten, ist diese Funktion in einer Umgebung der 0 definiert, und kann dann wie folgt in eine Potenzreihe entwickelt werden.

.

Dabei gilt und die sind die Momente von .

Die momenterzeugende Funktion hängt nur von der Verteilung von ab. Wenn die momenterzeugende Funktion einer Verteilung in einer Umgebung von 0 existiert, so sagt man, etwas unpräzise aber allgemein gebräuchlich, die Verteilung habe eine momenterzeugende Funktion. Existiert nur für , so sagt man entsprechend, dass die Verteilung keine momenterzeugende Funktion habe.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichte hat, kann man obigen Erwartungswert mittels dieser Dichte schreiben und erhält für die momenterzeugende Funktion

gegeben, wobei das -te Moment von ist. Der Ausdruck ist also gerade die zweiseitige Laplacetransformation des durch festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ursprung des Begriffs der momenterzeugenden Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bezeichnung momenterzeugend bezieht sich darauf, dass die -te Ableitung von im Punkt 0 (Null) gleich dem -ten Moment der Zufallsvariablen ist:

.

Das liest man direkt an der oben angegebenen Potenzreihe ab. Durch die Angabe aller nicht verschwindenden Momente ist jede Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt, falls die momenterzeugende Funktion auf einem offenen Intervall existiert .

Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion steht in engem Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion . Es gilt , falls die momenterzeugende Funktion existiert. Im Gegensatz zur momenterzeugenden Funktion existiert die charakteristische Funktion für beliebige Zufallsvariablen.

Zusammenhang mit der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Des Weiteren besteht noch ein Zusammenhang zur wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion. Diese ist jedoch nur für -wertige Zufallsvariablen definiert und zwar als . Damit gilt für diskrete Zufallsvariablen.

Zusammenhang mit der kumulantenerzeugenden Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kumulantenerzeugende Funktion wird als natürlicher Logarithmus der momenterzeugenden Funktion definiert. Aus ihr wird der Begriff der Kumulante abgeleitet.

Summen unabhängiger Zufallsvariablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist das Produkt ihrer momenterzeugenden Funktionen: Sind unabhängig, dann gilt für

,

wobei beim vorletzten Gleichheitszeichen verwendet wurde, dass der Erwartungswert eines Produktes unabhängiger Zufallsvariablen gleich dem Produkt ihrer Erwartungswerte ist.

Eindeutigkeitseigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsgröße in einer Umgebung von endlich, so bestimmt sie die Verteilung von eindeutig.[2] Formal bedeutet das:

Seien und zwei Zufallsgrößen mit momenterzeugenden Funktionen und derart, dass es ein gibt mit für alle . Dann gilt genau dann, wenn für alle gilt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für viele Verteilungen kann man die momenterzeugende Funktion direkt angeben:

Verteilung Momenterzeugende Funktion MX(t)
Bernoulli-Verteilung
Betaverteilung [3]
Binomialverteilung
Cauchy-Verteilung Die Cauchy-Verteilung hat keine momenterzeugende Funktion.[4]
Chi-Quadrat-Verteilung [5]
Erlang-Verteilung für
Exponentialverteilung für
Gammaverteilung
Geometrische Verteilung mit Parameter
Gleichverteilung über
Laplace-Verteilung mit Parametern [6]
Negative Binomialverteilung für
Normalverteilung
Poisson-Verteilung mit Parameter

Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Zufallsvariablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion lässt sich auf -dimensionale reelle Zufallsvektoren wie folgt erweitern:

,

wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 378 ff.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Robert G. Gallager: Stochastic Processes. Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-1-107-03975-9, Kapitel 1.5.5: Moment generating functions and other transforms
  2. J. H. Curtiss: A Note on the Theory of Moment Generating Functions. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 13, Nr. 4, 1942, ISSN 0003-4851, S. 430–433, abgerufen 30. Dezember 2012, (PDF; 402 KB).
  3. Otto J.W.F. Kardaun: Classical Methods of Statistics. Springer-Verlag, 2005, ISBN 3-540-21115-2, S. 44.
  4. Allan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Kapitel 8, Beispiel 8.2.
  5. A. C. Davison: Statistical Models. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-1-4672-0331-9, Kapitel 3.2.
  6. Hisashi Tanizaki: Computational Methods in Statistics and Econometrics. Verlag Taylor and Francis, 2004, ISBN 0-203-02202-5, Abschnitt 2.2.11.