Erlang-Verteilung

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Die Erlang-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, eine Verallgemeinerung der Exponential-Verteilung und ein Spezialfall der Gamma-Verteilung. Sie wurde von Agner Krarup Erlang für die statistische Modellierung der Intervall-Längen zwischen Telefonanrufen entwickelt.

Die Erlang-Verteilung wird in der Warteschlangentheorie verwendet, um die Verteilung der Zeitspanne zwischen Ereignissen eines Poisson-Prozesses, beispielsweise der Ankunft von Kunden, zu erfassen, sowie in der Qualitätssicherung zur Beschreibung von Lebensdauern. In Callcentern wird diese Verteilung für die Personaleinsatzplanung genutzt, um die Anzahl der benötigten Agents auf Grund des erwarteten Anrufvolumens im Zeitintervall zu bestimmen.

Die Erlang-Verteilungsdichte liefert die Verteilung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach Verstreichen des Orts- oder Zeitabstands das -te Ereignis eintritt, wenn man Ereignisse pro Einheitsintervall erwartet (siehe Herleitung). Sie beschreibt eine Kette von nacheinander erfolgenden Ereignissen. Der wahrscheinlichste Abstand bis zum -ten Ereignis (Modus) ist kleiner als der Mittelwert (Erwartungswert), weil kürzere Ereignisabstände häufiger auftreten. Füllt man die der Größe nach sortierten Abstände der jeweiligen Einzelereignisse in ein Histogramm, so zeigt dieses dementsprechend eine Exponential-Verteilung.[1]

Dichte der Erlangverteilung,

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Erlang-Verteilung mit den Parametern (einer positiven reellen Zahl) und (einer natürlichen Zahl) ist eine spezielle Gammaverteilung, die durch die Dichtefunktion

festgelegt wird, und die sich von der allgemeinen Gammaverteilung durch die Beschränkung auf natürliche Zahlen im zweiten Parameter unterscheidet.

Für eine erlangverteilte Zufallsvariable ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb des Intervalls liegt, durch die Verteilungsfunktion

gegeben, wobei bzw. die unvollständige Gammafunktion bezeichnet.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Orts- oder Zeitvariable und die konstante Eintretenshäufigkeit von Ereignissen im Einheitsintervall von , dann ist die Verteilung der Größe des Abstandes bis zum Eintreten des -ten Ereignisses gesucht. Wie ist die Größe der möglichen -Bereiche für bereits eingetretene Ereignisse verteilt?

Diese Verteilung ergibt sich aus der Poisson-Verteilung: die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ereignissen innerhalb des Intervalls ist

Betrachtet man nun diesen Ausdruck nicht mehr bei festem Bereich als Funktion für die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, sondern bei gegebenem als Funktion für die Wahrscheinlichkeit der Bereichsgröße , so entsteht nach der noch notwendigen Normierung (Integral der Dichte gleich eins)

die Wahrscheinlichkeitsdichte

der Erlang-Verteilung.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da eine erlangverteilte Zufallsvariable die Summe von unabhängig und identisch mit Parameter exponentialverteilten Zufallsvariablen ist, ergeben sich die folgenden Eigenschaften.

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Erlang-Verteilung besitzt den Erwartungswert

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog ergibt sich die Varianz zu

Modus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Modus, das Maximum der Dichte, liegt bei

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der charakteristischen Funktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen erhält man die einer erlangverteilten Zufallsvariable:

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog ergibt sich für die Momenterzeugende Funktion

Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entropie der Erlang-Verteilung beträgt

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

Beziehungen zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Erlang-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, denn sie geht für in diese über .
  • Es seien viele, alle mit dem gleichen Parameter exponentialverteilte Zufallsvariablen , die stochastisch unabhängig sind, gegeben. Dann ist die Zufallsvariable Erlang-verteilt mit den Parametern und .

Beziehung zur Poisson-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung bestimmt, die zufällige Zeit bis zum -ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über, mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.
  • Die Erlang-Verteilung ist die zur Poisson-Verteilung konjugierte Verteilung.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Erlang-Verteilung kann als Faltung von gleichmäßig stetig verteilten Funktionen erzeugt werden:

Beziehung zur Gamma-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Erklärung dieser Beziehung findet man am Anfang des Artikels in der Definition.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics, Universitetsforlaget, Bergen Oslo Tromsö S. 98.