Laplace-Verteilung

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Dichtefunktionen der Laplace-Verteilung für unterschiedliche Parameter

Die Laplace-Verteilung (benannt nach Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und Astronomen) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da sie die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen hat, wird sie auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine stetige Zufallsgröße unterliegt der Laplace-Verteilung mit dem Lageparameter und dem Skalenparameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

besitzt.

Ihre Verteilungsfunktion lautet

Mittels der Signum-Funktion lässt sie sich geschlossen darstellen als

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist achsensymmetrisch zur Geraden und die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt .

Erwartungswert, Median, Modalwert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Parameter ist gleichzeitig Erwartungswert, Median und Modalwert.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz wird durch den Parameter bestimmt.

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe der Laplace-Verteilung ist

.

Kurtosis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wölbung einer Laplace-Verteilung ist identisch 6 (entspricht einem Exzess von 3).

Kumulanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alle Kumulante mit ungeradem Grad sind gleich Null. Für gerade gilt

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion eine Laplace-verteilten Zufallsgröße mit Parametern und lautet

, für

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion entsteht aus der momenterzeugenden Funktion, indem man das Argument durch ersetzt, man erhält:

.

Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entropie der Laplace-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

.

Zufallszahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Erzeugung doppelexponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion lautet hierbei

.

Zu einer Folge von Standardzufallszahlen lässt sich daher eine Folge

doppelexponentialverteilter Zufallszahlen berechnen.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind unabhängige standardnormalverteile Zufallsgrößen, dann ist standardlaplaceverteilt ().

Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Zufallsvariable , die als Differenz zweier unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen und mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.[1]

Beziehung zur Rademacher-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist Rademacher-Verteilt, und ist Exponentialverteilt zum Parameter , so ist Laplace-Verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparametern .

Abgrenzung zur stetigen Gleichverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die so definierte stetige Laplaceverteilung hat nichts mit der stetigen Gleichverteilung zu tun. Sie wird mit ihr trotzdem gerne verwechselt, weil die diskrete Gleichverteilung nach Laplace benannt ist (Laplacewürfel).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930